При показательном законе распределения времени обслуживания вероятность [pic] события, что время обслуживания продлиться не более чем t, равна:
[pic] где v - интенсивность обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством, которая определяется из соотношения:
[pic], (1) где [pic][pic]- среднее время обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством.
Следует заметить, что если закон распределения времени обслуживания показательный, то при наличии нескольких обслуживающих устройств одинаковой мощности закон распределения времени обслуживания несколькими устройствами будет также показательным:
[pic][pic] где n - количество обслуживающих устройств.
Важным параметром СМО является коэффициент загрузки [pic], который определяется как отношение интенсивности поступления требований [pic] к интенсивности обслуживания v.
[pic] (2) где a - коэффициент загрузки; [pic] - интенсивность поступления требований в систему; v - интенсивность обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством.
Из (1) и (2) получаем, что
[pic]
Учитывая, что [pic] - интенсивность поступления требований в систему в единицу времени, произведение [pic] показывает количество требований, поступающих в систему обслуживания за среднее время обслуживания одного требования одним устройством.
Для СМО с ожиданием количество обслуживаемых устройств п должно быть строго больше коэффициента загрузки (требование установившегося или стационарного режима работы СМО) :
[pic].
В противном случае число поступающих требований будет больше суммарной производительности всех обслуживающих устройств, и очередь будет неограниченно расти.
Для СМО с отказами и смешанного типа это условие может быть ослаблено, для эффективной работы этих типов СМО достаточно потребовать, чтобы минимальное количество обслуживаемых устройств n было не меньше коэффициента загрузки [pic]: [pic]
Раздел ІІ.Обслуживание с ожиданием
1. Постановка задачи.
СМО с ожиданием распространены наиболее широко. Их можно разбить на 2 большие группы - разомкнутые и замкнутые. Эти системы определяют так же, как системы с ограниченным входящим потоком.
К замкнутым относятся системы, в которых поступающий поток требований ограничен. Например, мастер, задачей которого является наладка станков в цехе, должен периодически их обслуживать. Каждый налаженный станок становится в будущем потенциальным источником требований на подналадку.
В подобных системах общее число циркулирующих требований конечно и чаще всего постоянно.
Если питающий источник обладает бесконечным числом требований, то системы называются разомкнутыми. Примерами подобных систем могут служить магазины, кассы вокзалов, портов и др. Для этих систем поступающий поток требований можно считать неограниченным.
Мы рассмотрим здесь классическую задачу теории массового обслуживания
в тех условиях, в каких она была рассмотрена и решена К.Эрлангом. на n
одинаковых приборов поступает простейший поток требований интенсивности
[pic]. Если в момент поступления имеется хотя бы один свободный прибор, оно
немедленно начинает обслуживаться. Если же все приборы заняты, то вновь
прибывшее требование становится в очередь за всеми теми требованиями,
которые поступили раньше и ещё не начали обслуживаться. Освободившийся
прибор немедленно приступает к обслуживанию очередного требования, если
только имеется очередь. Каждое требование обслуживается только одним
прибором, и каждый прибор обслуживает в каждый момент времени не более
одного требования. Длительность обслуживания представляет собой случайную
величину с одним и тем же распределением вероятностей F(x). Предполагается,
что при x[pic]0.
[pic] где [pic] - постоянная.
Только что описанная задача представляет значительный прикладной интерес, и результаты, с которыми мы познакомимся, широко используются для практических целей. Реальных ситуаций, в которых возникают подобные вопросы, исключительно много. Эрланг решил эту задачу, имея в виду постановки вопросов, возникших к тому времени в телефонном деле.
Выбор распределения (1) для описания длительности обслуживания
произведен не случайно. Дело в том, что в этом предположении задача
допускает простое решение, которое с удовлетворительной для практики
точностью описывает ход интересующего нас процесса. Распределение (1)
играет в теории массового обслуживания исключительную роль, которая в
значительной мере вызвана следующим его свойством:
При показательном распределении длительности обслуживания распределение
длительности оставшейся части работы по обслуживанию не зависит от того,
сколько оно уже продолжалось.
Действительно, пусть [pic] означает вероятность того, что
обслуживание, которое ужо продолжается время а, продлится еще не менее чем
[pic]. В предположении, что длительность обслуживания распределена
показательно, [pic]. Далее ясно, что [pic] и [pic]. А так как всегда и
[pic], [pic] и, следовательно,
[pic]
Требуемое доказано.
Несомненно, что в реальной обстановке показательное время обслуживания
является, как правило, лишь грубым приближением к действительности. Так,
нередко время обслуживания не может быть меньше, чем некоторая определенная
величина. Предположение же (1) приводит к тому, что значительная доля
требовании нуждается лишь в кратковременной операции, близкой к 0. Позднее
перед нами возникает задача освобождения от излишнего ограничения,
накладываемого предположением (1). Необходимость этого была ясна уже самому
Эрлангу, и он в ряде работ делал усилия найти иные удачные распределения
для длительности обслуживания. В частности, им было предложено так
называемое распределение Эрланга, плотность распределения которого дается
формулой
[pic][pic][pic] где [pic]>0, a k— целое положительное число.
Распределение Эрланга представляет собой распределение суммы k- независимых слагаемых, каждое из которых имеет распределение (1).
Обозначим для случая распределения (1) через [pic] время обслуживания требования. Тогда средняя длительность обслуживания равна
[pic]
Это равенство даст нам cпособ оценки параметра [pic] по опытным данным. Как
легко вычислить, дисперсия длительности обслуживания равна
[pic]
2. Процесс обслуживания как марковский случайный процесс.
В указанных нами предположениях о потоке требований и о длительности обслуживания задачи теории массового обслуживания приобретают некоторые черты, облегчающие проведение исследований. Мы отмечали уже вычислительную простоту. Теперь отметим более принципиальное соображение, которое станем развивать применительно к изучаемой задаче.
В каждый момент рассматриваемая система может находиться в одном из
следующих состоянии: в момент t в системе находятся k требовании (k=0, 1,
2, ...). Если k[pic]rn, то в системе находятся и обслуживаются k
требований, а m-k - приборов свободны. Если k[pic]m, то m требований
обслуживаются, а k-m находятся в очереди и ожидают обслуживания. Обозначим
через [pic] состояние, когда в системе находятся k требований. Таким
образом, система может находиться в состояниях [pic] ... Обозначим через
[pic] — вероятность того, что система в момент t окажется в состоянии
[pic].
Сформулируем, в чем заключается особенность изучаемых нами задач в
сделанных предположениях. Пусть в некоторый момент [pic] наша система
находилась и состоянии [pic]. Докажем, что последующее течение процесса
обслуживания не зависит в смысле теории вероятностей от того, что
происходило до момента [pic]. Действительно, дальнейшее течение
обслуживания полностью определяется тремя следующими факторами: моментами окончания обслуживаний, производящихся в момент [pic]; моментами появления новых требований; длительностью обслуживания требований, поступивших после [pic].
В силу особенностей показательного распределения длительность остающейся
части обслуживания не зависит от того, как долго уже продолжалось
обслуживание до момента [pic]. Так как поток требований простейший, то
прошлое не влияет на то, как много требований появится после момента [pic].
Наконец длительность обслуживания требований, появившихся после [pic],
никак не зависит от того, что и как обслуживалось до момента [pic].
Известно, что случайные процессы, для которых будущее развитие зависит только от достигнутого в данный момент состояния и не зависит от того, как происходило развитие в прошлом, называются процессами Маркова или же процессами без последействия. Итак, система с ожиданием в случае простейшего потока и показательного времени обслуживания представляет собой случайный процесс Маркова. Это обстоятельство облегчает дальнейшие рассуждении.
3. Составление уравнений.
Задача теперь состоит в том, чтобы найти те уравнения, которым удовлетворяют вероятности [pic]. Одно из уравнения очевидно, a именно для каждого t
[pic] (2)
Найдём сначала вероятность того, что и момент t.+h все приборы свободны. Это может произойти следующими способами: в момент t все приборы были свободны и за время h новых требований не поступало; в момент t один прибор был занят обслуживанием требования, все остальные приборы свободны; за время h обслуживание требования было завершено и новых требований не поступило.
Остальные возможности, как-то: были заняты два или три прибора и за время h работа на них біла закончена - имеют вероятность о(h), как легко в этом убедится.
Вероятность первого из указанных событий равна
[pic], вероятность второго события
[pic].
Таким образом
[pic].
Отсюда очевидным образом приходим уравнению
Перейдём теперь к составлению уравнений для [pic] при [pic]1.
Рассмотрим отдельно два различных случая: 1[pic] и [pic]. Пусть в начале
1[pic]. Перечислим только существенные состояния, из которых можно прийти в
состояние [pic] в момент t+h. Эти состояния таковы:
В момент t система находилась в состоянии [pic], за время h новых
требований не поступило и ни один прибор не окончил обслуживания.
Вероятность этого события равна:
[pic]
В момент t система находилась в состоянии [pic], за время h поступило новое требование, но ни одно ранее находившееся требование не было закончено обслуживанием. Вероятность этого события равна
[pic]
В момент t система находилась в состоянии [pic], за время h новых
требований не поступило, но одно требование было обслужено. Вероятность
этого равна
[pic] Все остальные мыслимые возможности перехода в состояние [pic] за
промежуток времени h имеют вероятность, равную о(h).
Собрав воедино найденные вероятности, получаем следующее равенство:
[pic] Несложные преобразования приводят от этого равенства к такому
уравнению для 1[pic];
[pic] (4)
Подобные же рассуждения для [pic] приводят к уравнению
[pic] (5)
Для определения вероятностей [pic] получили бесконечную систему дифференциальных уравнений (2)-(5). Её решение представляет несомненные технические трудности.
4. Определение стационарного решения.
В теории массового обслуживания обычно изучают лишь установившееся решение
для [pic]. Существование таких решений устанавливается так называемыми
эргодическими теоремами, некоторые из них позднее будут установлены. В
рассматриваемой задаче оказывается, что предельные или, как говорят обычно,
стационарные вероятности существуют. Введём для них обозначения [pic].
Заметим дополнительно, что [pic] при [pic].
Сказанное позволяет заключить, что уравнения (3), (4), (5) для стационарных вероятностей принимают следующий вид:
[pic] (6) при 1[pic]
[pic] (7) при [pic]
[pic] (8)
К этим уравнениям добавляется нормирующее условие
[pic] (9)
Для решения полученной бесконечной алгебраической системы введём обозначения: при 1[pic]
[pic] при [pic]
[pic]
Система уравнений (6)-(8) в этих обозначениях принимает такой вид:
[pic] [pic] при [pic]
Отсюда заключаем, что при всех [pic]
[pic] т.е. при 1[pic]
[pic] (10) и при [pic]
[pic] (11)
Введём для удобства записи обозначение
[pic].
Уравнение (10) позволяет заключить, что при 1[pic]
[pic] (12)
При [pic] из (11) находим, что
[pic] и, следовательно, при [pic]
[pic] (13)
Остаётся найти [pic]. Для этого в (9) подставляем выражения [pic] из
(12) и (13). В результате
[pic] так как бесконечная сумма, стоящая в квадратных скобках, сходится только при условии, что
[pic] (14) то при этом предположении находим равенство
[pic] (15)
Если условие (14) не выполнено, т.е. если [pic], то ряд, стоящий в
квадратной скобке уравнения для определения [pic], расходится и, значит,
[pic] должно быть равно 0. Но при этом, как следует из (12) и (13), при
всех [pic] оказывается [pic].
Методы теории цепей Маркова позволяют заключить, что при [pic] с течением времени очередь стремится к [pic] по вероятности.
Поясним полученный результат на нескольких практических примерах, которые покажут, что обычные в практической деятельности подсчеты, основанные на чисто арифметических соображениях, при которых не учитывается специфика случайных колебаний в поступлении требований на обслуживание, приводят к серьезным просчетам.
Пусть врач успевает удовлетворительно осмотреть больного и заполнить
его историю болезни в среднем за 15 минут. Планирующие органы из этого
обычно делают вывод: за четырёхчасовый рабочий день врач должен принимать
16 человек. Однако больные приходят в случайные моменты времени. В
результате при таком подсчете пропускной способности врача к нему неизбежно
скапливается очередь, так как при проведенном подсчете [pic] принимается
равным 1. Те же заключения относятся и к расчету числа коек в больницах,
числа работающих касс в магазинах, числа официантов в ресторанах и т. д. К
сожалению, некоторые экономисты совершают такую же ошибку и при расчете
погрузочных средств в карьерах, числе приемщиков на элеваторах, числе
причалов в морских портах и пр.
Во всем дальнейшем мы предполагаем, что условие (14) выполнено.
5. Некоторые подготовительные результаты.
Для задачи с ожиданием основной характеристикой качества обслуживания
является длительность ожидания требованием начала обслуживания.
Длительность ожидания представляет собой случайную величину, которую
обозначим буквой [pic]. Рассмотрим сейчас только задачу определения
распределения вероятностей длительности ожидания в уже установившемся
процессе обслуживания. Обозначим далее через [pic] вероятность того, что
длительность ожидания превзойдёт t, и через [pic] вероятность неравенства,
указанного в скобке при условии, что в момент поступления требования, для
которого подсчитывается длительность ожидания, в очереди уже находится k
требований. В силу формулы полной вероятности имеем равенство
[pic] (16)
Прежде чем преобразовать эту формулу к виду, удобному для
использования, приготовим некоторые необходимые для дальнейшего сведения.
Прежде всего для случаев m=1 и m=2 найдем простые формулы для [pic].
Несложные преобразования приводят к таким равенствам: при m=1
[pic]=1-[pic], (17) а при m=2
[pic] (18)
Вычислим теперь вероятность того, что все приборы будут заняты в какой- то наудачу взятый момент. Очевидно, что эта вероятность равна
[pic] (19)
Эта формула для m=1 принимает особенно простой вид:
[pic] (20) при m=2
[pic] (21)
В формуле (19) [pic] может принимать любое значение от 0 до m
(исключительно). Так что в формуле (20) [pic]< 1, а в (21) [pic]
Страницы: 1, 2
