Доказательством важности этого вопроса, а также отсутствия однозначно оптимальных решений, является изобилие всевозможных критериев отбора значимых компонент. Достаточно назвать такие известные методы, как расчет варимакс-критерия, n-критерий, отбор при помощи t-критерия Стьюдента и т.п.
Очевидно, что вводить в модель очередной фактор целесообразно только в том случае, если он в достаточной степени понижает уровень энтропии, а, следовательно, увеличивает значение R-квадрат. Каким образом численно выразить прирост данной величины в зависимости от количества вводимых факторов? Рассмотрим эту проблему в свете коэффициентов последовательной детерминации.
Пусть имеются N факторов X1...XN, предположительно влияющих на
доходность инвестиционного портфеля. При вводе в уравнение регрессии
фактора Xi показатель R-квадрат принимает некоторое определенное значение.
Выберем фактор, при котором оно будет наибольшим:
[pic] [1,стр.145]
где P12 - коэффициент последовательной детерминации для данного фактора, ryx1 - парный коэффициент корреляции между доходностью и этим фактором.
Теперь вводится в полученное уравнение регрессии второй фактор таким образом, чтобы значение R-квадрат снова оказалось максимально возможным, и затем рассчитываем второй коэффициент последовательной детерминации:
[pic] [1,стр.147]
Аналогичным образом рассчитываем следующие коэффициенты:
[pic] и т.д. [1,стр.147]
Базовый отбор факторов продолжается до тех пор, пока величина получаемых коэффициентов последовательной детерминации не станет меньше некоторого критического значения. Учитывая, что в механизм расчета скорректированной величины R-квадрат входит поправка на возрастание энтропии при вводе новых факторов, ее прирост на каждой итерации алгоритма должен быть положительным и, следовательно, критическое значение p должно быть больше нуля.
Данный метод позволяет отобрать из всех имеющихся факторов именно те, которые оказывают наибольшее влияние на доходность рассматриваемых ценных бумаг. Это позволяет существенно понизить размерность модели, создаваемой на основе методики, ускорить вычисления и при этом отбросить данные, не имеющие большого влияния на интересующие нас показатели. Как правило, от выявленных главных компонент зависит не менее 85% общей дисперсии, что лишний раз показывает эффективность выбранного метода анализа.
Теперь, когда определены методы отбора факторов и технология разбиения
множества ценных бумаг на отдельные кластеры, можно приступать
непосредственно к построению методики оптимизации инвестиционного портфеля.
Учитывая, что в настоящее время внедрение любой экономической методики
немыслимо без автоматизации, существует алгоритм, по которому надлежит
производить операции для получения искомого результата: оптимизированного
набора ценных бумаг, позволяющих получить максимальную прибыль при заданном
уровне риска.
На первом этапе определяются исходные массивы данных, которые подлежат математической обработке.
В начале имеются следующими исходными данными: S1, S2, ..., SN – рассматриваемое множество ценных бумаг;
[pic] [1,стр.149]
матрица доходности ценных бумаг S1-SN за периоды [0 ; T], где Rij – доходность по ценной бумаге i за j-й период;
[pic] [1,стр.151]
матрица факторов X1-XK за периоды [0 ; T], где Xij – значение фактора Xi за j-й период;
(п – оценка риска предполагаемого портфеля ценных бумаг.
Теперь необходимо определить доли m1, ..., mN имеющихся в инвестиционном портфеле ценных бумаг с целью максимизации доходности в следующем периоде при заданном уровне риска:
[pic] [1,стр.153]
где уровень доходности Ri вычисляется как отношение ожидаемой в отчетный период стоимости ценной бумаги Si к курсовой стоимости в момент формирования портфеля за вычетом единицы.
Так, доходность за месяц в момент времени t=1 вычисляется следующим образом:
[pic] [1,стр.155]
В случае, когда инвестор не имеет возможностей продавать ценные бумаги без покрытия, вводится дополнительное условие: my>0 , где y – номер соответствующей ценной бумаги.
Вывод: принято группирование ценных бумаг на основе существующих индустриальных и прочих классификаций.
3. Алгоритм оптимизации портфеля с применением кластерного анализа
Предлагаемый алгоритм можно условно разбить на четыре основные стадии:
1) Разбиение множества ценных бумаг на отдельные кластеры;
2) Определение факторов, влияющих на доходность составляющих каждого кластера. Расчет факторных весов. Построение уравнения регрессии;
3) Прогнозирование динамики выбранных факторов;
4) Вычисление ожидаемой доходности и степени риска для каждой ценной бумаги;
5) Определение оптимального набора ценных бумаг и их долевого веса в инвестиционном портфеле для обеспечения максимизации доходности.
Теперь можно рассмотреть эти стадии подробнее:
1. Разбиение множества ценных бумаг на отдельные кластеры.
Эта стадия начинается с формирования таблицы эвклидовых расстояний между имеющимися ценными бумагами:
Таблица 1 – Таблица эвклидовых расстояний
|Ценные бумаги: |S1 |S2 |…Sj… |SN |
|S1 |- |r1,2|r1,j |r1,N|
|S2 | |- |r2,j |r2,N|
|…Si… | | |ri,j |ri,N|
|SN | | | |- |
Расстояния вычисляются по формуле
[pic] [2,стр.223]
Две ценные бумаги с наименьшим расстоянием объединяются в кластер, доходность которого вычисляется как средняя арифметическая доходностей этих ценных бумаг, после чего процедура расчета повторяется. Процесс объединения в кластеры прекращается, когда минимальное расстояние между группами превысит критическое значение:
[pic] [2,стр.224]
В результате описанной процедуры, вместо случайного множества ценных бумаг, мы получаем набор упорядоченных кластеров, объединенных на основе общих тенденций в динамике доходности. При этом достигаются сразу две важные цели: во-первых, значительно сокращается количество переменных, что в заметной степени упрощает вычисления, а во-вторых, уменьшается доля воздействия случайных факторов, которые могут в отдельные моменты коррелировать с доходностью отдельных ценных бумаг. В рамках кластера за счет произведенной диверсификации вероятность случайных совпадений уменьшается во много раз, что дает возможность гораздо более ясно определить факторы, реально воздействующие на доходность.
2. Определение факторов, влияющих на доходность составляющих каждого кластера. Расчет факторных весов. Построение уравнения регрессии.
Для того, чтобы вычислить величину влияния каждого фактора на соответствующий кластер ценных бумаг, представим доходность по кластерам в следующем виде:
[pic] [2,стр.231]
где Fi – коэффициент фактора Xi в уравнении множественной регрессии,
Et – ошибка в период времени t. При этом величина T должна значительно
(не менее чем в пять раз) превышать количество факторов k.
Значимые факторы отбираются при помощи описанного выше метода с применением коэффициентов последовательной детерминации. Факторы отбираются последовательно, а выбор определяется путем максимизации коэффициента
[pic] [2,стр.232]
Процесс добавления факторов продолжается до тех пор, пока максимальный скорректированный коэффициент последовательной детерминации не окажется отрицательной величиной. Для любого выбранного количества факторов коэффициенты F1, F2,...,Fk рассчитываются таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратов ошибок регрессии за период базы прогноза:
[pic] [2,стр.236]
Этой цели можно достигнуть путем математических преобразований матрицы факторных весов. В настоящее время существует ряд программных пакетов, позволяющих производить данные расчеты с высокой скоростью и за короткое время.
Исследование, проведенное Е.А. Дорофеевым в работе "Влияние колебаний
экономических факторов на динамику российского фондового рынка", выявило
значительную зависимость курсов акций отечественных компаний от величины
ВВП и индекса CPI.
3. Прогнозирование динамики выбранных факторов
Результатом вышеуказанных вычислений является получение формул множественной регрессии для каждого кластера, с помощью которых, опираясь на статистические данные о динамике факторов, можно получить прогноз развития доходности кластеров на последующий период и оценить величину существующего риска. Преимущество прогнозирования факторов по сравнению с прогнозированием курсов отдельных ценных бумаг состоит в наличии значительно большего количества авторитетных исследований по движению макроэкономических факторов, а также статистических сводок органов государственного регулирования.
Четвертый этап будет посвящен переходу от изучения общих кластерных тенденций к расчету индивидуальных уравнений регрессии для каждой из имеющихся ценных бумаг.
4. Вычисление ожидаемой доходности и степени риска для каждой ценной бумаги.
В большинстве моделей, опирающихся на CAPM, для ценных бумаг
рассчитывается бета-коэффициент, отражающий взаимосвязь между динамикой
доходности изучаемой ценной бумаги и существующими рыночными тенденциями.
Простая линейная регрессия по отношению к рыночной динамике может оказаться
слишком неточной, так как не позволяет учитывать специфические факторы,
оказывающие на данную ценную бумагу влияние весомее, чем на фондовый рынок
в целом. Поэтому для более подробного изучения прибегают к более
эффективным средствам, в частности: к факторному анализу. Без сопоставления
с существующими тенденциями велик риск усиления влияния случайных факторов.
Таким образом, для получения достоверного результата методика анализа рынка
ценных бумаг должна совмещать оба вышеописанных подхода.
Достаточно высокая эффективность прогнозирования, основанная на использовании бета-коэффициента показывает, что между отдельными ценными бумагами и состоянием фондового рынка в целом наблюдается существенная зависимость, которую можно использовать для проведения оценки будущей доходности. При этом корреляция доходности ценных бумаг со средней доходностью по кластеру значительно выше, чем с рынком в целом. Поэтому в данной методике бета-коэффициент каждой отдельной ценной бумаги рассчитывается, опираясь на не рыночный индекс, а относительно кластера:
[pic] [2,стр.240]
где ric – коэффициент корреляции между доходностью ценной бумаги и средней доходностью кластера, к которому она принадлежит,
(i и (с – соответственно их среднеквадратические отклонения.
После расчета бета-коэффициента доходность каждой из исследуемых ценных бумаг можно будет выразить при помощи следующего уравнения регрессии:
