Оптимизационная модель межотраслевого баланса продукции и производственных мощностей.
При анализе возможностей использования модели межотраслевого баланса в планировании отмечалось, что при краткосрочном планировании наиболее существенными ограничениями роста производства являются наличные производственные мощности.
Решение модели должно удовлетворять условиям xj ≤ Nj, где Nj – максимально возможный выход продукции j с производственных мощностей планируемого года. Так же, как и в § 1, включим в модель условия оптимизации конечной продукции (27), обозначая вектор ассортиментных коэффициентов прироста конечной продукции, а вектор заданных объемов конечной продукции Q = (qi).
В векторно-матричных обозначениях модель имеет вид:,
(24)
Решение модели существует, если значения компонент вектора Q заданы не слишком большими. Оптимальный план обращает первую группу условий строго в равенства (невыгодно производить сверхкомплектные излишки конечной продукции). Поэтому в дальнейшем анализе исходим из того, что (Е – А) X – = Q, откуда
(25)
Поскольку , то при условие Х ≥ 0 всегда выполняется. Вследствие этого задача сокращается:
Вектор представляет собой коэффициенты полных потребностей в продукции для получения одного комплекта конечной продукции; есть вектор максимально возможных объемов продукции для получения переменной части конечной продукции. Очевидно, что
(26)
Определив , находим X* = β+ (E – A)–1Q.
Таким образом, определяется «узким» местом в системе производственных мощностей. Как правило, мощность только одного вида продукции будет использована полностью. Оптимальная оценка мощности по этому виду продукции (k) равна .
Выявление дефицитной мощности служит сигналом для ее максимального расширения в планируемом году за счет концентрации строительства на пусковых объектах, дополнительных поставок оборудования, изменения специализации соответствующих предприятий и режима их работы (сменности) и т. д.
Для определения программы первоочередных мероприятий по расширению производственных мощностей целесообразно упорядочить мощности по их дефицитности.
Для каждого вида мощности рассчитаем показатель , характеризующий максимальное число комплектов конечной продукции, которое можно получить с мощности вида j при условии неограниченности других мощностей. Упорядочив ряд чисел , начиная с , получим последовательность мощностей, упорядоченную по степени их дефицитности. При новой нумерации разности покажут прирост числа комплектов конечной продукции после «расшивки» k-го «узкого» места в системе производственных мощностей.
По модели (24) можно проводить многовариантные расчеты, показывающие влияние изменения параметров аij,, Nj на объемы производства и конечной продукции. В результате таких расчетов выявляется группа устойчиво дефицитных мощностей, на расширение которых ресурсы должны направляться в первую очередь. Важным направлением развития модели является непосредственный учет в ней элементов случайности и неопределенности. Разработана и экспериментально апробирована модель, в которой производственные мощности Ni рассматриваются как случайные независимые величины.
Модели с ограничениями по общим ресурсам.
Рассмотрим модель, в которой балансы производства и распределения продукции дополняются ограничениями по общим невоспроизводимым ресурсам:
(27)
Подставляя (25) в ограничения по общим ресурсам, получаем
или
(28)
где = (s) = (E – А) –1 – вектор полных затрат ресурсов на один комплект прироста конечной продукции, – вектор ресурсов, которые могут использоваться для получения переменной части конечной продукции.
Из (28) следует:
(29)
Максимальное число комплектов достигается, как правило, при полном использовании только одного ресурса (k). Тогда только оценка этого ресурса будет положительна: , a оптимальные оценки всех видов продукции будут пропорциональны коэффициентам полных затрат дефицитного ресурса: . Если же в оптимальном плане используются полностью несколько ресурсов, то система оптимальных оценок ресурсов и продуктов будет неединственной.
Полное использование только одного вида ресурсов (или наличие только одного «узкого» места) как типичное свойство оптимального решения не обязательно связано с условиями максимизации конечной продукции в заданном ассортименте. Для сравнения рассмотрим модель, в которой условия максимизации переменной части конечной продукции заданы в виде ЦФП:
(30)
Выражая X через Y, приходим к сокращенной модели:
(31)
где F = f (Е – А) –1 – матрица коэффициентов полных затрат ресурсов, .
Оптимальное решение этой модели всегда существует и является единственным. Оптимальный план Y* есть точка касания наиболее удаленной от начала координат поверхности безразличия и выпуклого многогранника, образованного условиями . Если эта поверхность безразличия касается вершины многогранника, то это означает полное использование нескольких ресурсов. Очевидно, что в случае применения ЦФП вероятность того, что точкой оптимума будет вершина многогранника, выше, чем в случае применения ассортиментного критерия. Однако вполне возможно, что максимум u(Y) достигается на одной из граней многогранника, т. е. при полном использовании только одного ресурса.
Таким образом, общим свойством рассмотренных в этом параграфе моделей является то, что оптимальный план чаще всего достигается при полном использовании только одного ресурса. А это означает, что только один вид ресурсов влияет на формирование оптимального решения. Данное свойство не адекватно экономической реальности; оно обусловлено недостатком моделей.
В моделях (24), (27), (30) почти отсутствуют возможности маневрирования ресурсами, имеющими различную дефицитность. По каждому виду продукции задается только один производственный способ, а поэтому технология производства не реагирует на выявляющиеся в процессе оптимизации соотношения наличия ресурсов и потребностей в них. Благодаря корректировке исходных данных на основе анализа оптимальных решений этот недостаток можно преодолевать лишь отчасти.
Напрашивается вывод о том, что оптимизационные модели народного хозяйства должны включать условия выбора между различными способами- производства одноименной продукции.
§3. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МЕЖОТРАСЛЕВЫЕ МОДЕЛИ С ПРОИЗВОДСТВЕННЫМИ СПОСОБАМИ
Первый вариант модели (минимизация затрат труда на производство заданной конечной продукции).
Построим модель, представляющую собой непосредственное обобщение модели межотраслевого баланса, записанной в форме (22). В модели предусматривается возможность выбора между различными производственными способами. Пусть каждый вид продукции производится несколькими способами , где Tj= {1, ... , sj}. При этом каждым способом выпускается только один продукт. Введем новые обозначения:
– объем производства продукции j способом j;
– коэффициент прямых затрат продукции i на производство единицы продукции j способом j;
– затраты труда на единицу продукции j, производимой способом j.
Модель имеет вид:
(32)
Модель (32) всегда имеет решение, если выполняются условия, аналогичные условию продуктивности матрицы коэффициентов прямых материальных затрат модели межотраслевого баланса. Например, одно допустимое решение может быть получено, если включить в план по одному способу для каждого вида продукции, а все остальные переменные считать равными нулю. Так может быть составлено систем уравнений межотраслевого баланса производства и распределения продукции, каждая из которых имеет решение, если матрица продуктивна.
Анализ модели позволяет выявить ряд ее интересных специфических свойств.
Теорема 1. При положительном векторе конечной продукции Y0 > 0 производятся все продукты и каждый продукт производится только одним способом.
Доказательство. Напомним, что мы исходим из предположения, что оптимальный план – единственный. Введем в условия дополнительные переменные Δyi (излишки конечной продукции сверх минимально необходимых объемов ), превращающие неравенства в равенства.
В каждом i-м уравнении
положительными являются только коэффициенты при переменных Х. Но поскольку все , то и все , т. е. оптимальном плане должны производиться все виды продуктов.
Максимальное число положительных переменных в оптимальном плане равно п (числу уравнений). Следовательно, в каждой сумме переменных положительной может быть только одна переменная. Иначе говоря, в оптимальном плане каждый продукт производится только одним способом.