Исследования согласованного фильтра
Государственный комитет Российской Федерации по высшему
образованию
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра электронной техники
УТВЕРЖДАЮ
проректор по учебной работе
“ИССЛЕДОВАНИЕ СОГЛАСОВАННОГО ФИЛЬТРА”
Методические указания к проведению лабораторных работ
Москва
1998г.
Цель работы - ознакомление с принципом действия согласованного фильтра и исследование его помехоустойчивости.
Задание по работе
1. Проработать теоретический материал по источникам [1,2] и данным методическим указаниям.
2. Изучить функциональную схему лабораторной установки.
3. Выполнить работу.
4. Ответить на контрольные вопросы.
Основные теоретические положения
Из теории оптимальных методов радиоприема известно, что в условиях действия гауссовской помехи типа белого шума оптимальный приемник должен вычислять интеграл вида
(1)
где N0 - односторонняя спектральная плотность шума ; Т - длительность сигнала; u(t) - принятый сигнал; s(t) - полезный сигнал;
Интеграл (1) можно рассматривать как меру взаимной корреляции принятого сигнала u(t) и полезного сигнала s(t) сигналов. Чтобы осуществить реализацию выражения (1), используют корреляционный приемник. С другой стороны, интеграл (1) можно рассматривать как свертку сигнала u(t) с импульсной характеристикой некоторого фильтра. В этом случае необходимо использовать согласованный фильтр.
Рассмотрим задачу синтеза оптимального фильтра в условиях действия аддитивной помехи.
Пусть принятый сигнал имеет вид
(2)
где s(t) - полезный сигнал известной формы со спектральной плотностью Fs(jw); n(t)стационарный случайный процесс со спектральной плотностью мощности Fn(w).
Будем отыскивать оптимальный фильтр в классе линейных фильтров. Тогда сигнал на входе фильтра с учетом принципа суперпозиции можно представить как
(3)
Найдем отношение р мощности полезного сигнала к мощности помехи на выходе фильтра в некоторый момент времени t0.
(4)
где K(jw) - комплексно-частная характеристика фильтра.
Соответственно в момент времени t0
(5)
Мощность помехи на выходе фильтра
(6)
В формулах (4) и (6) через Fs,вых(jw) и Fn,вых(w) обозначены спектральная плотность полезного сигнала и спектральная плотность мощности помехи на выходе фильтра.
С учетом (5) и (6) выражение для р в момент времени t0 запишется как
(7)
Понятно, что чем больше величина р, тем выше помехоустойчивость приема. Поэтому определим фильтр, который обеспечивал бы на выходе максимальное соотношение сигнал/помеха.
Воспользуемся неравенством Буняковского - Шварца
(8)
справедливым для любых функций А(w) и В(w), для которых интегралы в (8) имеют смысл. Заметим, что неравенство (8) превращается в строгое равенство, если
(9)
где а- постоянная; В* (w) - функция, комплексно-сопряженная с функцией В(w). С учетом (8) можно записать
|
(10) |
и, соответственно,
(11)
С учетом (9) находим, что максимальное отношение сигнал/помеха
достигается при
(12)
где Fs*(jw) - комплексно-сопряженный сигнал.
Таким образом фильтр с комплексно - частотной характеристикой, определяемой формулой (12), является наилучшим в классе линейных фильтров, а при гауссовских помехах также наилучшим образцом и в классе нелинейных фильтров.
Из выражения (12) следует, что коэффициент передачи фильтра зависит от отношения спектральной плотности сигнала к спектральной плотности мощности помехи: коэффициент передачи тем больше, чем больше это отношение. Таким образом, оптимальный фильтр избирательно пропускает те или иные частотные составляющие. Очевидно, что отношение сигнал/помеха будет тем больше, чем сильнее отличается спектр сигнала от спектра помехи.
Рассмотрим случай, когда помеха представляет собой белый шум со спектральной плотностью мощности N0/2. В этом случае комплексно - частотная характеристика оптимального фильтра
(13)
а соотношение сигнал/помеха
(14)
где Е - энергия сигнала.
Фильтр с характеристикой (13), оптимальный для помехи типа белого шума называется согласованным.
Максимальное отношение сигнал/помеха (14) на выходе такого фильтра определяется только энергией сигнала и спектральной плотностью мощности помехи и не зависит от формы сигнала. По значению это отношение совпадает с максимальным отношением сигнал/ помеха на выходе корреляционного приемника. Отсюда, в частности, следует, что в условиях действия помехи типа белого шума помехоустойчивость корреляционного приемника и согласованного фильтра одинаковы.
Рассмотрим более подробно комплексно - частотную спектральную плотность полезного сигнала в виде
где |Fs(jw)| и j(w) - амплитудный и фазовый спектр сигнала соответственно.
Тогда
|
(15) |
С другой стороны,
Страницы: 1, 2
