Моделирование дискретной случайной величины и исследование ее параметров
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра РЭС (РТС)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
По курсу «Методы проектирования и оптимизации РЭA»
Вариант №7
Выполнил:
ст.гр. РТз – 98 – 1
Чернов В.В.
Шифр 8209127
Проверил:
Карташов В. И.
____________________
Харьков 2003
Задание 1. Выполнить моделирование на ЭВМ базовой случайной величины (БСВ) Х. Получить выборки реализаций БСВ объемом n = 170, 1700. Для каждого случая найти минимальное и максимальное значения, оценить математическое ожидание и дисперсию. Сравнить полученные числовые характеристики с теоретическими значениями.
Решение
Базовой называют случайную величину, равномерно распределенную на интервале (0,1). Моделирование производится при помощи функции rnd(m) пакета MathCad 2000, возвращающей значение случайной величины, равномерно распределенной в интервале 0xm.
а) для выборки объемом 170 (рис. 1.1): Xmin = 0.0078, Xmax = 0.996.
Первый начальный момент (математическое ожидание) равен среднему арифметическому значений выборки:
МХ = 0.502 , (1.1)
второй центральный момент (дисперсия):
D = 0.086 , (1.2)
среднеквадратичное отклонение:
s = 0.293 . (1.3)
Рисунок 1.1 Выборка объемом 170.
Для выборки объемом 1700 (рис. 1.2): Xmin = 0.0037, Xmax = 0.998,
МХ = 0.505 , (1.4)
D = 0.085 , (1.5)
s = 0.292 . (1.6)
Рисунок 1.2 Выборка объемом 1700.
Теоретически значения математического ожидания и дисперсии БСВ рассчиты-ваются из определения плотности распределения вероятности:
pравн(x) = , (1.7)
математическое ожидание:
Mx = 0.5 , (1.8)
дисперсия:
Dx =
=0.083 , (1.9)
что хорошо совпадает с результатами моделирования (1.1) – (1.5).
Задание 2. Получить выборку реализаций БСВ объемом n = 1700. Построить гистограмму распределений и сравнить ее с плотностью распределения равномерно распределенной случайной величины.
Решение
а) выборка получается аналогично Заданию 1(рис. 2.1):
Рисунок 2.1 Выборка объемом 1700
Приняв Xmin = 0, Xmax = 1, разбиваем интервал на q = 10 равных промежутков, каждый из которых равен:
DX = . (2.1)
Количества выборок, попадающих в каждый из интервалов, частоты попадания, оценки плотности сведены в табл. 2.1. Гистограмма распределений представлена на рис. 2.2. Как видно, она достаточно хорошо совпадает с равномерным законом распределения (1.7).
Таблица 2.1 Результаты оценки плотности распределения
Номеринтер-вала
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Диапа-зон значе-ний
0-0.1
0.1-0.2
0.2-0.3
0.3-0.4
0.4-0.5
0.5-0.6
0.6-0.7
0.7-0.8
0.8-0.9
0.9-1
Коли-чество попа-даний
151
174
149
189
190
161
166
182
177
161
Часто-та по-пада-ния Pi
0.089
0.102
0.088
0.111
0.112
0.095
0.098
0.107
0.104
0.095
Оцен-ка плот-ности
pi
0.888
1.024
0.876
1.112
1.118
0.947
0.976
1.071
1.041
0.947
Рисунок 2.2 Гистограмма распределений
Задание 3. Получить выборку БСВ объемом n = 1700, По этой выборке проверить свойства независимости полученной случайной последовательности (вычислить 10 значений коэффициента корреляции).
Решение
а) снова получим выборку значений БСВ объемом n = 1700 (рис. 3.1):
Рисунок 3.1 Выборка объемом 1700
б) значения математического ожидания и дисперсии:
M = 0.512 , (3.1)
D = 0.088 . (3.2)
в) функция корреляции:
R(j) = , (3.3)
значения R(j) для j = 1…10 приведены в табл. 3.1 , значение R(0) = 0.088 совпадает с дисперсией.
Таблица 3.1 Значения функции корреляции:
j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
R(j)
-9.6·10-4
3.53·10-3
2.7·10-4
4.24·10-3
-1.73·10-3
6.61·10-4
4.11·10-4
6.74·10-5
3.95·10-4
1.12·10-3
Задание 4. Выполнить моделирование случайной величины, распределенной по закону Релея. Объем выборки n = 17, s2 = 27.
Решение
Ддя получения случайной величины с заданным законом распределения из БСВ применим метод обратной функции:
а) для распределения Релея
p(x) = (4.1)
случайная величина
x = F(x) = (4.2)
равномерно распределена в интервале 0…1, и может быть задана с помощью БСВ. Решив уравнение (4.2) относительно x, получаем случайную величину, распределенную по закону (4.1):
xi = ,
xi = , (4.3)
где xi – значения выборки БСВ
Результат моделирования случайной величины xi представлен на рис. 4.1:
Рисунок 4.1 Выборка случайной величины, распределенной по закону Релея
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М. Физматгиз, 1962. – 246 с.
2. Тихонов В. И. и др. Примеры и задачи по статистической радиотехнике. М. – Сов. радио, 1970. – 600 стр.
3. Трохименко Я.К., Любич Ф.Д. Радиотехнические расчеты на ПК: Справочник. М. – Радио и связь, 1988. – 304 с.
