В (2.4) для упрощения приняты следующие обозначения:
, , , , , .
Для составления дифференциальных уравнений свободных колебаний в форме уравнений Лагранжа второго рода, выразим потенциальную энергию через обобщенные координаты. Рассмотрим равновесие системы, на которую действуют силы …,. Потенциальная энергия в состоянии устойчивого равновесия имеет минимум, равный нулю, а при вызванном действием сил отклонении от него выражается квадратичной формой вида (2.4).
Элементарная работа всех сил действующих на систему, по принципу возможных перемещений должна быть равна нулю:
. |
(2.5) |
Замечая, что
|
а также приравнивая к нулю коэффициенты при независимых вариациях , и , получаем три уравнения:
, |
(2.6) |
Здесь , и - обобщенные силы для системы сил …,, уравновешивающих потенциальные силы, возникающие при отклонении системы из положения равновесия . Заменяя в (2.6) производные потенциальной энергии их выражениями согласно (2.4), получим систему уравнений, определяющих значение координат , и в положении равновесия:
, |
(2.7) |
причем , и .
Решение системы (2.7) имеет вид:
, |
(2.8) |
где
(2.9) |
.
На систему действуют обобщенные силы, которыми являются инерционные силы и силы сопротивления движению. Обычно в сложных системах в целях упрощения [4, 5[DG27] ] силу сопротивления принимают пропорциональной первой степени скорости движения. С целью упрощения условимся, что угол мал и координаты массы m можно записать как . Поэтому на основании кинетостатики можем записать:
, |
(2.10) |
где - обобщенная сила, - коэффициент сопротивления пропорциональный первой степени скорости движения массы m. Так как масса собственно консоли манипулятора МРЛ-901П меньше массы закрепленных на ней рабочих головок, захватов и деталей, для упрощения примем условие, что точка исследования колебаний (практически - рабочий орган манипулятора) совпадает с точкой приложения сосредоточенной массы m.
Сила действует на все звенья манипулятора следовательно:
(2.11) |
Коэффициенты в (2.7) будем определять из того, что согласно (2.11) звенья можно рассматривать независимо друг от друга. Положим сначала, что действует только по координате , затем только по координате и наконец только по координате , тогда в выражение (2.7) можно переписать:
, |
(2.12) |
таким образом , используя (2.9) находим:
(2.13) |
Коэффициенты , и определяют податливость звеньев манипулятора по координатам , и соответственно. Выражая податливость звеньев через их жесткость, запишем:
, |
(2.14) |
где , и жесткости звеньев по координатам , и соответственно.
Подставляя (2.14) , (2.11) и (2.10) в (2.8) получим:
(2.15) |
Для решения этой системы нужно выразить скорость и ускорение массы m через их составляющие:
. |
(2.16) |
Поскольку в манипуляторе суммарную жесткость удобно экспериментально определять, прикладывая соответствующее усилие к его рабочему органу, и так как в конечном итоге необходимо определить положение массы m, координаты которой выражаются как , то для этого достаточно сложить уравнения в выражении (2.15):
(2.17) |
или:
, |
(2.18) |
где С - суммарная жесткость звеньев манипулятора.
Анализ показывает, что величина C является переменной и зависит от плеча приложения l сосредоточенной массы m.
Преобразуя (2.18), получаем уравнение описывающие переходный процесс в системе:
. |
(2.19) |
Уравнение (2.19) легко решается классическим способом при следующих начальных условиях:
, |
(2.20) |
где - скорость рабочего органа манипулятора в момент выхода на конечную точку.
Выражение (2.19) представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Будем искать частное решение уравнения в виде:
, |
(2.21) |
где и - произвольные постоянные, которые могут быть определены из начальных условий: при t = 0; и - корни характеристического уравнения:
. |
(2.22) |
Решение уравнения (2.22) будет иметь вид:
(2.23) |
Определим произвольные постоянные и , решая систему уравнений:
. |
(2.24) |
Решение системы (2.24) будет иметь вид:
, |
(2.25) |
если учесть (2.20) то:
(2.26) |
подставляя (2.26) в (2.21) и с учетом (2.23) имеем:
|
(2.27) |
где - реальная часть; - мнимая часть.
Тогда разделяя реальную и мнимую части в (2.27) получим:
. |
(2.28) |
Учитывая что:
, |
(2.29) |
имеем:
(2.30) |
Преобразуя (2.30) получим решение уравнения (2.19):
(2.31) |
Прологарифмируем выражение (2.31) предварительно подставив в него значение допустимой погрешности позиционирования:
, |
(2.32) |
где - допустимая погрешность позиционирования.
Преобразуя (2.32) получим выражение для определения времени переходного процесса:
(2.33) |
Для расчета жесткости C и коэффициента демпфирования в модели используются экспериментально полученные зависимости. В частности коэффициент демпфирования определяется по осциллограмме затухания колебаний рабочего органа.
Таким образом, время переходного процесса, для данного типа манипулятора при заданной массе положении рабочего органа определяется по выражению (2.33), в котором коэффициенты жесткости и демпфирования предварительно определены экспериментально.
2.2 Анализ переходных процессов в манипуляторе МРЛ-901П
Источниками возникновения переходных процессов в манипуляторе МРЛ-901П являются: зубчатая ременная передача линейного модуля манипулятора и его свободная консоль.
На этапе зондирующих экспериментов исследовались парные зависимости коэффициента демпфирования от натяжения зубчатого ремня и смещения рабочего органа вдоль консоли. Результаты анализа полученных осциллограмм сведены в таблицы 2.1 и 2.2.
Анализ результатов показывает, что натяжение зубчатого ремня существенным образом влияет на коэффициенты демпфирования модуля линейного перемещения: так при увеличении начального натяжения ремня от минимального значения h = 0,03778 до максимального h = 0,00667 (в исследуемых приделах) коэффициент демпфирования уменьшается в 3 раза. Таким образом, можно сделать вывод о том, что демпфирование линейного модуля с зубчатой ременной передачей может задаваться и варьироваться в широких пределах, как на этапе конструирования, так и в процессе его эксплуатации.
Табл. 2.1 |
|||||
Результаты анализа осциллограмм собственных колебаний рабочего органа манипулятора МРЛ-901П на консоли |
|||||
Величина смещения рабочего органа вдоль консоли ly, мм |
Период колебаний рабочего органа T, с. |
Частота колебаний w, с-1 |
Логарифмический декремент затухания n |
Коэффициент демпфирования b, кг/c |
Время затухания колебаний tп.п., с. |
0 |
0,057 |
17,54 |
0,956 |
369 |
0,6 |
175 |
0,067 |
15 |
0,693 |
227,55 |
0,9 |
350 |
0,08 |
12,5 |
0,446 |
122,65 |
1,2 |
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12