Построение и исследование динамической модели портального манипулятора

В (2.4) для упрощения приняты следующие обозначения:

, , , , , .

Для составления дифференциальных уравнений свободных колебаний в форме уравнений Лагранжа второго рода, выразим потенциальную энергию через обобщенные координаты. Рассмотрим равновесие системы, на которую действуют силы …,. Потенциальная энергия в состоянии устойчивого равновесия имеет минимум, равный нулю, а при вызванном действием сил  отклонении от него выражается квадратичной формой вида (2.4).

Элементарная работа всех сил действующих на систему, по принципу возможных перемещений должна быть равна нулю:

.

(2.5)

Замечая, что


а также приравнивая к нулю коэффициенты при независимых вариациях ,  и , получаем три уравнения:

,

(2.6)

Здесь ,  и  - обобщенные силы для системы сил   …,, уравновешивающих потенциальные силы, возникающие при отклонении системы из положения равновесия . Заменяя в (2.6) производные потенциальной энергии их выражениями согласно (2.4), получим систему уравнений, определяющих значение координат ,  и  в положении равновесия:

,

(2.7)

причем ,  и .

Решение системы (2.7) имеет вид:

,

(2.8)

где

(2.9)

.

На систему действуют обобщенные силы, которыми являются инерционные силы и силы сопротивления движению. Обычно в сложных системах в целях упрощения [4, 5[DG27] ] силу сопротивления принимают пропорциональной первой степени скорости движения. С целью упрощения условимся, что угол  мал и координаты массы m можно записать как . Поэтому на основании кинетостатики можем записать:

,

(2.10)

где  - обобщенная сила,  - коэффициент сопротивления пропорциональный первой степени скорости движения массы m. Так как масса собственно консоли манипулятора МРЛ-901П меньше массы закрепленных на ней рабочих головок, захватов и деталей, для упрощения примем условие, что точка исследования колебаний (практически - рабочий орган манипулятора) совпадает с точкой приложения сосредоточенной массы m.

Сила  действует на все звенья манипулятора  следовательно:

(2.11)

Коэффициенты в (2.7) будем определять из того, что согласно (2.11) звенья можно рассматривать независимо друг от друга. Положим сначала, что   действует только по координате , затем только по координате  и наконец только по координате , тогда в выражение (2.7) можно переписать:

,

(2.12)

таким образом , используя (2.9) находим:

(2.13)


Коэффициенты ,  и  определяют податливость звеньев манипулятора по координатам ,  и  соответственно. Выражая податливость звеньев через их жесткость, запишем:

,

(2.14)

  где ,  и  жесткости звеньев по координатам ,  и  соответственно.

Подставляя (2.14) , (2.11) и (2.10) в (2.8) получим:

(2.15)

 Для решения этой системы нужно выразить скорость и ускорение массы m через их составляющие:

.

(2.16)

Поскольку в манипуляторе суммарную жесткость удобно экспериментально определять, прикладывая соответствующее усилие к его рабочему органу, и так как в конечном итоге необходимо определить положение массы m, координаты которой выражаются как , то для этого достаточно сложить уравнения в выражении (2.15):

(2.17)

или:

,

(2.18)

где С - суммарная жесткость звеньев манипулятора.

Анализ показывает, что величина C является переменной и зависит от плеча приложения l сосредоточенной массы m.

Преобразуя (2.18), получаем уравнение описывающие переходный процесс в системе:

.

(2.19)

Уравнение (2.19) легко решается классическим способом при следующих начальных условиях:

 ,

(2.20)


где  - скорость рабочего органа манипулятора в момент выхода на конечную точку.

Выражение (2.19) представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Будем искать частное решение уравнения в виде:

,

(2.21)

где  и  - произвольные постоянные, которые могут быть определены из начальных условий: при t = 0;  и  - корни характеристического уравнения:

.

(2.22)

Решение уравнения (2.22) будет иметь вид:

(2.23)

Определим произвольные постоянные  и , решая систему уравнений:

.

(2.24)

Решение системы (2.24) будет иметь вид:

,

(2.25)

если учесть (2.20) то:

(2.26)

подставляя (2.26) в (2.21) и с учетом (2.23) имеем:


(2.27)

где  - реальная часть;  - мнимая часть.

Тогда разделяя реальную и мнимую части в (2.27) получим:

.

(2.28)

Учитывая что:

,

(2.29)

имеем:

(2.30)

Преобразуя (2.30) получим решение уравнения (2.19):

(2.31)

Прологарифмируем выражение (2.31) предварительно подставив в него значение допустимой погрешности позиционирования:

,

(2.32)

где  - допустимая погрешность позиционирования.

Преобразуя (2.32) получим выражение для определения времени переходного процесса:

(2.33)

Для расчета жесткости C и коэффициента демпфирования  в модели используются экспериментально полученные зависимости. В частности коэффициент демпфирования определяется по осциллограмме затухания колебаний рабочего органа.

Таким образом,  время переходного процесса, для данного типа манипулятора при заданной массе положении рабочего органа определяется по  выражению (2.33), в котором коэффициенты жесткости и демпфирования предварительно определены экспериментально.


2.2 Анализ переходных процессов в манипуляторе МРЛ-901П

Источниками возникновения переходных процессов в манипуляторе МРЛ-901П являются: зубчатая ременная передача линейного модуля манипулятора и его свободная консоль.

На этапе зондирующих экспериментов исследовались парные зависимости коэффициента демпфирования от натяжения зубчатого ремня и смещения рабочего органа вдоль консоли. Результаты анализа полученных осциллограмм сведены в таблицы 2.1 и 2.2.

Анализ результатов показывает, что натяжение зубчатого ремня существенным образом влияет на коэффициенты демпфирования модуля линейного перемещения: так при увеличении начального натяжения ремня от минимального значения h = 0,03778 до максимального h = 0,00667 (в исследуемых приделах) коэффициент демпфирования уменьшается в 3 раза. Таким образом, можно сделать вывод о том, что демпфирование линейного модуля с зубчатой ременной передачей может задаваться и варьироваться в широких пределах, как на этапе конструирования, так и в процессе его эксплуатации.

Табл. 2.1

Результаты анализа осциллограмм собственных колебаний рабочего органа манипулятора МРЛ-901П на консоли

Величина смещения рабочего органа вдоль консоли ly, мм

Период колебаний рабочего органа T, с.

Частота колебаний w, с-1

Логарифмический декремент затухания n

Коэффициент демпфирования b, кг/c

Время затухания колебаний tп.п., с.

0

0,057

17,54

0,956

369

0,6

175

0,067

15

0,693

227,55

0,9

350

0,08

12,5

0,446

122,65

1,2

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12



Реклама
В соцсетях
рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать