, ,
где - сопротивление нагрузки (приводится в задании), .
В результате расчета элементов может оказаться, что номиналы индуктивностей и емкостей одиночных параллельных контуров на несколько порядков отличаются от значений соответствующих элементов, стоящих в других звеньях. Это неудобно, поскольку повышает чувствительность характеристик фильтра к изменениям величин элементов. Чтобы избежать ухудшения характеристик, следует использовать автотрансформаторное включение контура, где , , - коэффициент трансформации.
Расчет.
Итак, используя вышесказанное, получим лестничную - структуру:
,
,
Схема 2 . Принципиальная схема синтезируемого ППФ.
Пересчитаем значения элементов ():
Номер, i
1
4.401818
0.227179
2
0.236559
4.227272
3
4.390909
0.227743
4
0.438596
2.280000
и , и , и , и отличаются на порядок. Чтобы устранить такие резкие различия, Положим коэффициент трансформации . В этом случае (смотри таблицу 3.2[7]) получим новые значения:
Номер, i
1
0.489090
2.044611
2
0.236559
4.227272
3
0.487878
2.049687
4
0.438596
2.280000
Проведем денормирование элементов, полученной электрической цепи:
Номер, i
, [нФ]
, [мГн]
1
15.57
0.163
2
7.53
0.336
3
15.53
0.163
4
13.96
0.181
Каскадное соединение - звеньев.
Теория.
Существует возможность реализовать фильтр путем каскадного соединения - звеньев первого и второго порядка. Каждое из звеньев рассчитывается независимо от других. Для сведения к минимуму (в первом приближении – исключения вообще) взаимовлияния звеньев между ними ставят буферный каскад (БК). Такой каскад должен обладать высоким входным сопротивлением, значительно превышающим выходное сопротивление - звеньев, и малым выходным сопротивлением, позволяющим считать БК почти идеальным источником напряжения для последующего - звена. В других типах БК выходная цепь работает как источник тока. В качестве БК используется эмиттерный или истоковый повторитель, повторитель на операционном усилителе (ОУ), усилитель на транзисторе или ОУ.
Синтез каскадной структуры - фильтра нужно начать с представления передаточной функции, полученной на этапе аппроксимации, в виде произведения дробей-сомножителей.
Важно правильно сгруппировать нули и полюсы, чтобы минимизировать чувствительность схемы к изменениям параметров элементов. Наиболее простое правило состоит в том, что нужно объединять нули с ближайшими к ним полюсами.
Каждый фрагмент передаточной функции реализуется своей схемой. Метод расчета состоит в сопоставлении коэффициентов передаточной функции, полученной на этапе аппроксимации, с коэффициентами, выраженными через элементы схемы. В таблице 3.3[8] приведены семь вариантов схем - звеньев первого и второго порядка, входной сигнал, в которые вводится источником напряжения, показаны диаграммы нулей и полюсов и их связь с передаточной функцией. Рядом со схемами помещены денормированные передаточные функции , где для ППФ.
В таблице 3.3 дается также порядок расчета каждого звена. При расчете любой из схем есть одна степень свободы. Предлагается задавать значение сопротивления, хотя вполне можно было бы задаваться величиной емкости или индуктивности, а остальные элементы рассчитать на основе имеющихся связей. Активные сопротивления, стоящие ближе к входу в последовательной ветви, должны учитывать сопротивление источника напряжения, подключенного к входу схемы. В качестве этого сопротивления может выступать выходное сопротивление предыдущего буферного каскада. Однако, если , то сопротивлением источника можно пренебречь. В таблице 3.4[9] представлены аналогичные сведения о схеме, входной сигнал, в которые вводится источником тока. В этом случае передаточная функция определяется как отношение изображения по Лапласу выходного напряжения к изображению входного тока и имеет смысл сопротивления прямой передачи.
Выбор типов звеньев, включаемых в синтезируемую схему, определяется на основе анализа диаграммы нулей и полюсов, а также вида передаточных функций первого и второго порядка, произведение которых дает реализуемую функцию. Следует обращать внимание на то, что источником напряжения или тока является БК для последующего - звена.
Расчет.
Итак, обратимся к таблице 3.4 и выберем нужный нам вариант схем:
Схема и диаграмма нулей и полюсов.
Передаточная функция
Расчет
,
1. Выбор кОм или ,
2. ,
3. .
Сгруппируем нули и полюсы, отталкиваясь от диаграммы нулей и полюсов ППФ:
,
[кОм]
[нФ]
[мГн]
,
[кОм]
[нФ]
[мГн]
,
[кОм]
[нФ]
[мГн]
,
[Ом]
[нФ]
[мкГн]
Запишем передаточную функцию, исходя из диаграмм нулей и полюсов.
И нарисуем принципиальную схему синтезируемого ППФ, см. Схема 3.
Схема 3. Каскадные соединения RLC-звеньев.
Гираторная реализация безиндуктивного фильтра.
Теория.
При использовании катушек индуктивности на низких частотах возникает множество неудобств, поэтому разработаны схемы, лишенные этих элементов. Рассмотрим схему фильтра, получаемую из лестничной -структуры заменой катушек индуктивности на гираторы, в качестве нагрузки которых используется емкостное сопротивление. Гиратором называется устройство, преобразующее импеданс. В частности, гиратор, нагруженный на емкость, ведет себя на входных зажимах как индуктивность. Схема гиратора представлена как Схема 4.
Схема 4. Гиратор.
Гирпторные схемы являются разновидностью активных -фильтров (-фильтров) и часто носят название активных лестничных фильтров (АЛФ). Основное соотношение гиратора:
, (3.2)
где - коэффициент гирации; - сопротивление, используемое в схеме гиратора.
В частности, если , то получим из (3.2) , где .
На рисунке 3.6[10] представлены основные преобразования индуктивностей, включенных в последовательные и параллельные ветви, - и -образных звеньев индуктивностей -структур. Такие преобразования позволяют составить схему АЛФ с наименьшим числом гираторов.
Порядок расчета АЛФ следующий:
1. составить схему АЛФ на основе схемы -фильтра, рассчитанной ранее;
2. найти емкости, полученные преобразованием соответствующих индуктивностей, по формуле . Коэффициент гирации подбирается таким, чтобы получающиеся значения емкостей были одного порядка со значениями емкостных элементов, уже использованными в лестничной -структуре.
Расчет.
Используя одну из схем замещения на рисунке 3.6.
Схема 5. Схема замещения.
Составим схему АЛФ на основе -фильтра.
Схема 6. Гираторная реализация безиндуктивного фильтра.
Уменьшим заданные частоты на порядок, то есть = 1000 [Гц], = 1200 [Гц], = 833 [Гц], = 1500 [Гц], = 667 [Гц]. И пересчитаем значения элементов для новых частот:
