Анализ динамического поведения механической системы
Содержание:
Аннотация
Исходные данные
1. Применение основных теорем динамики механической системы
1.1 Постановка второй основной задачи динамики системы
1.2 Определение закона движения системы
1.3 Определение реакций внешних и внутренних связей
2. Построение алгоритма вычислений
3. Применение принципа Даламбера-Лагранжа и уравнений Лагранжа второго рода.
3.1 Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера-Лагранжа.
Анализ результатов
Аннотация
Дана механическая система с одной степенью свободы, представляющая собой совокупность абсолютно твердых тел, связанных друг с другом посредством невесомых растяжимых нитей, параллельных соответствующим плоскостям. Система снабжена внешней упругой связью с коэффициентом жесткости с. На первое тело системы действует сила сопротивления и возмущающая гармоническая сила . Трением качения и скольжения пренебрегаем. Качение катков происходит без скольжения, проскальзывание нитей на блоках отсутствует. Применяя основные теоремы динамики системы и аналитические методы теоретической механики, определен закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей. Произведен численный анализ полученного решения с использованием ЭВМ.
Исходные данные:
|
m = 1 кг |
||
|
r = 0.1 мс = 4000 H/м |
||
Часть 1. Применение основных теорем динамики механической системы
1.1 Постановка второй основной задачи динамики системы.
Расчетная схема представлена на рисунке 1.
Здесь обозначено:
; ; - силы тяжести;
- нормальная реакция опорной плоскости;
- сила сцепления;
- упругая реакция пружины;
- реакция подшипников;
- сила вязкого сопротивления;
- возмущающая сила.
Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы (нити нерастяжимые, качение катка (3) происходит без скольжения). Будем определять ее положение с помощью координаты S. Начало отсчета координаты совместим с положением статического равновесия центра масс груза (1).
Для построения дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в форме:
- сумма мощностей внешних сил;
- сумма мощностей внутренних сил;
Тогда кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий тел,
(1.2)
(1.3) Груз (1) совершает поступательное движение, ;
(1.4) Блок (2) совершает вращательное движение, , где
(1.5) Каток (3) совершает плоскопараллельное движение, , где
Кинетическая энергия всего механизма равна:
(1.6) ;
Выразим - через скорость груза (1)
(1.7) ; ;
Подставляя кинематические соотношения (1.7) в выражение (1.6), получаем:
(1.8)
(1.9)
;
Найдем производную от кинетической энергии по времени:
(1.10)
Вычислим сумму мощностей внешних и внутренних сил. Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость в точке ее приложения;
(1.11)
Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, т.е. тела, входящие в систему, недеформируемые и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому сумма мощностей всех внутренних сил будет равняться нулю:
(1.12) = 0;
Будут равняться нулю и мощности следующих внешних сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю:
Сумма мощностей остальных внешних сил:
(1.13)
С учетом кинематических соотношений (1.7) сумму мощностей внешних сил определим:
(1.14)
где приведенная сила.
Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины, которое равно сумме статического и динамического удлинений:
(1.15)
Сила вязкого сопротивления , тогда
(1.16)
В состоянии покоя системы приведенная сила равна нулю. Полагая в (1.16) S=0, =0 и F(t)=0, получаем условие равновесия системы:
(1.17)
Отсюда статическое удлинение пружины равно:
(1.18)
Подставляя (1.18) в (1.16), получаем окончательное выражение для приведенной силы:
(1.19)
Подставив выражения для производной от кинетической энергии и сумму мощностей всех сил с учетом (1.19) в (1.1), получаем дифференциальное уравнение движения системы:
(1.20)
(1.21)
где k циклическая частота свободных колебаний;
n - показатель степени затухания колебаний;
1.2 Определение закона движения системы
Проинтегрируем дифференциальное уравнение (1.20). общее решение этого неоднородного уравнения складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного :
S = + ;
Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному, имеет вид:
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
т.к. n < k => решение однородного уравнения имеет вид:
где частное решение дифференциального уравнения ищем в виде правой части:
далее получаем:
Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева, получаем систему алгебраических уравнений для определения состояния А и В
Решая эту систему получаем следующие выражения:
А = 0.04 м;
В = - 0.008 м;
Общее решение дифференциального уравнения:
Постоянные интегрирования определяем из начальных условий, при t = 0 имеем:
Решая эту систему получаем:
1.3 Определение реакций внешних и внутренних связей
Для решения этой задачи расчленим механизм на отдельные части и изобразим расчетные схемы отдельно для каждого тела. Определение реакций связей проведем с помощью теоремы об изменении кинетического момента и теоремы об изменении количества движения.
Тело №1:
Тело №2:
Тело №3:
C учётом кинематических соотношений (1.7) полученную систему уравнений преобразуем к вид:
Решая эту систему, получаем выражение для определения реакций связей:
2. Построение алгоритма вычислений:
(2.1) Исходные данные:
(2.2) Вычисление констант:
(2.3) Задание начального времени: t=0;
(2.4) Вычисление значений функций в момент времени t=0;
(2.5) Вычисление реакций связей:
(2.6) Вывод на печать значений искомых функций в момент времени t;
(2.7) Определение значения времени на следующем шаге
(2.8) Проверка условия окончания цикла:
(2.9) Возврат к пункту (2.4).
3. Применение принципа Даламбера-Лагранжа и уравнения Лагранжа второго рода
3.1 Применение принципа Даламбера-Лагранжа
Общее уравнение динамике системы есть математическое выражение принципа Даламбера-Лагранжа.
сумма элементарных работ всех активных сил на возможном перемещении системы;
сумма элементарных работ всех инерции сил на возможном перемещении системы.
Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис.3)
Идеальные связи:
Не учитываем, и не отображаем на расчетной схеме, поскольку по определению работа их реакций на любом возможном перемещении системы равна 0.
Сообщим системе возможное перемещение.
Вычисляя последовательно элементарные работы активных сил и суммируя получим:
(2)
Найдём возможную работу сил инерции:
Запишем выражение для главных векторов и главных моментов сил инерции;
Используя кинематические соотношения (1.7), определим:
Теперь возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду:
(3)
Далее подставляя выражения (2) и (3) в (1), т.е в общее уравнение динамики получаем
Поделив это уравнение на , получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы:
Анализ результатов
В данной курсовой работе мы исследовали динамическое поведение механической системы с использованием основных теорем и уравнений теоретической механики. Дифференциальное уравнение движения механической системы получено тремя способами. Во всех случаях коэффициенты , n, k получились одинаковыми и совпали с компьютерной распечаткой, что говорит об их правильности. В процессе решения дифференциального уравнения данной механической системы были получены законы движения первого груза, его скорость и ускорение в зависимости от времени t. На основании этих зависимостей были определены законы изменения всех остальных характеристик механической системы, в том числе и реакции связей.
