, (2.32)
где
a)
б)
Рис 2.1. Возмущение поля в точке P источником с плотностью тока J в точке Q (а) и сферические полярные координаты точек Р и Q (б).
Достаточно далеко в оболочке поля всех источников являются локально плоскими и имеют вид .
(2.33)
(2.34)
Отсюда запишем полную мощность излучения в виде
, (2.35)
где с - скорость света; S¥ - сферическая поверхность с радиусом ¥; W - пространственный угол; S = | r | - радиус среды;- единичный вектор, параллельный радиальному вектору.
Если векторы P и Q выразить в сферической системе координат (S,Q,j) (рис 1.б), которая ориентирована так, что если угол j равен нулю, радиус-вектор расположен в плоскости Z, то уравнение (2.35) с использованием (2.32) и (2.33) можно записать так
, (2.36)
где Mq и Mj , q и j - составляющие вектора в точке Р
В случае поперечно-ориентированного источника (токи параллельны оси x) вектор будет иметь только составляющую Мх. Полную излученную мощность можно определить подстановкой в (2.36):
(2.37)
Здесь q0 - угол, под которым происходит излучение источника к оси световода. Из рис 2.1.б следует, что
, (2.38)
где a = S/ sin (q/) и z = S/ cos (q/) на трубке.
Подставляя (2.38) и (2.37) в (2.33) получаем
(2.39)
Интеграл по j/ является интегральным представлением функций Бесселя первого рода, нулевого порядка и тогда
, (2.40)
где J0(...) - функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
Запишем величину плотности тока трубчатого источника (2.5) с учетом выражения полученного в [2]
(2.41)
где DS(r,z) - отклонение функции профиля показателя преломления вследствие нерегулярностей.
(2.42)
Подставив (2.41) в (2.40) получим
, (2.43)
где B =
Поскольку Мx является случайной величиной, в (2.36) необходимо подставить средний квадрат <| Мx |2>. Воспользовавшись результатами полученными в [3] запишем
, (2.44)
где DDS - дисперсия функции профиля показателя преломления; rDS (t) - нормированная корреляционная функция распределения неоднородностей по длине световода DS (r,z).
При радиусе корреляции l0<<l
, (2.45)
где GDS (0) - спектральная плотность распределения неоднородностей по длине световода, определяемая соотношением :
(2.46)
Поскольку аргумент спектральной плотности должен быть равен нулю, находим величину угла, под которым в среднем происходит излучение
(2.47)
Полная средняя излученная мощность будет равна
(2.48)
Таким образом, мы получили выражение для нахождения характеристик излученной мощности по известным статистическим характеристикам функций профиля показателя преломления, определяющих трубчатый источник тока DDS и GDS (0) или rDS (t).
Мощность основной моды P(z) на длине световода при наличии нерегулярностей затухает вследствие потерь на излучение. Если нерегулярный участок разделить на элементарные участки длиной dz, малые по сравнению с длиной z, то можно записать выражение для потери мощности моды на участке длиной dz:
, (2.49)
в котором использовались соотношения (2.25),(2.26)
, (2.50)
где a1 - амплитуда моды; N - параметр нормировки.
Интегрируя (50) по длине l, получаем:
[Нп/км], (2.51)
где a - коэффициент затухания мощности.
Подстановка выражения для N с произвольным профилем,
,
где R0 = r0 / a и использование выражения (2.51) дают
(2.52)
Полученное выражение даёт возможность, подставляя R0 для различных профилей показателя преломления, определять коэффициенты затухания вследствие потерь мощности на излучение для любого профиля показателя преломления.
В практике волоконно-оптических гироскопов интерес представляют волокна с различными профилями показателя преломления. Определим необходимые для разработчиков устройства параметры волокон используемых в этой области.
Рассмотрим световод со ступенчатым профилем показателя преломления, в котором граница между сердцевиной и оболочкой по длине деформирована случайным образом, т.е.
r(z) = a + F(z) , (2.53)
где а - радиус сердцевины регулярного световода;
F(z) - функция искажения границы, которая может отражать изгибы оси, изменение радиуса сердцевины или эллиптичность поперечного сечения.
При этом в случаях
искривления оси:
F(z) = f(z) / a (2.54)
отклонения радиуса:
F(z) = - x(z) / a, (2.55)
эллиптичности:
F(z) = - h(z) cos 2j / a. (2.56)
На рис 2.2. показано изменение радиуса сердцевины. Отклонение показателей преломления регулярного и нерегулярного световодов Dn = n - изменяется как ± (n1 - n2) в области нерегулярностей и равно нулю во всех остальных областях. Поскольку отклонения F(z) малы, можно предположить , что вынужденные токи сосредоточены в области границы сердцевины с оболочкой, поэтому имеем:
Dn = (n1 - n2) d (r-a) F(z), (2.57)
a
DS = F(z). (2.58)
Рис 2.2. Нерегулярный ступенчатый световод со случайными колебаниями радиуса сердцевины и эквивалентное распределение токов.
Таким образом, нерегулярный световод заменяем регулярным, возбуждаемым трубчатым источником тока, радиус которого равен радиусу сердцевины световода, ток направлен параллельно оси x, а амплитуда его определяется выражением (2.57).
Корреляционная функция DS будет равна
,
где rF (t) - нормированная корреляционная функция распределения неоднородностей по длине.
Дисперсия DS равна
DDS = KDS(0) = DF,
а соответствующая rF (t) спектральная плотность имеет вид:
В случае гауссова профиля отклонение функции профиля показателя преломления определяется выражениями полученными в [2]:
изменения радиуса сердцевины
DS(r,z) = (2 r2 / a3) x(z) exp [-(r/a)2]
случайные изгибы оси
DS(r,z) = (2 r / a2) x(z) exp [-(r/a)2]
эллиптичность сердцевины
S(r,z) = exp [-(r/(a+h(z)cos 2j)]
Определим статистические характеристики DS
для изменения радиуса сердцевины
DDS = ( 4r4/ a6 )Dx exp [-2(r/a)2] (2.59)
rDS (t) = rx (t)
для случайных изгибов оси:
DDS = ( 4r2/a4Dfexp [-2(r/a)2]
rDS (t) = rf(t)
для эллиптичности
DDS = ( 2r4/a6Dhexp [-2(r/a)2]
rDS (t) = rh(t)
Для световодов со степенным профилем показателя преломления отклонение функции профиля преломления описывается выражением :
DS(r,z) = - [q (r/a)q x(z)]/a
для флуктуаций радиуса,
DS(r,z) = q (r/a)q f(z)]/r
для случайных изгибов и эллиптичности,
Исходя из этих выражений запишем:
для флуктуаций радиуса:
DDS = (q2/a2)(r/a)2q Dx
rDS (t) = rx(t)
для случайных изгибов оси
DDS = (q2/a2)(r/a)2q Df
rDS (t) = rf(t)
для эллиптичности
DDS = (q2/2a2)(r/a)2q Dh
rDS (t) = rh(t)
На основании полученных выражений можно проводить оценку статистических характеристик волокон с различными профилями показателя преломления. Численная оценка параметров волокна обеспечивающего одномодовый режим работы показывает, что с уменьшением радиуса корреляции нерегулярностей (точности изготовления и эксплуатационных параметров) коэффициент затухания падает, причём у световодов со ступенчатым профилем показателя преломления его относительная величина превышает коэффициент затухания световода с гауссовым профилем примерно в 1.6 раза. (рис 2.3.)
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
