Динамика материальной точки
Федеральное Агентство по Образованию
Московский государственный индустриальный университет
РЕФЕРАТ ПО ФИЗИКЕ
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Москва, 2010
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. Основные формулы и понятия
2. Классификация задач и рекомендации по методам их решения
3. Примеры решения типовых задач
Заключение
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
Основная задача динамики материальной точки состоит в том, чтобы найти закон движения материальной точки, зная приложенные к ней силы, или наоборот, по известному закону движения определить силы, действующие на эту точку.
Задачи на динамику материальной точки удобно решать в следующей последовательности:
1. Представив по условию задачи физический процесс, следует сделать схематический чертеж и указать на нем все тела, участвующие в движении, и связи между ними (нити, пружины и т.д.). Изобразить направления ускорений этих тел, если это возможно по условию задачи. В противном случае направления ускорений следует проставить произвольным образом.
2. Изобразить все силы, приложенные к телам, движение которых изучается. При этом прежде чем рисовать силу, надо ответить мысленно на вопрос: «А какое именно тело (Земля, подставка, нить или пружина) действует на данное тело с силой, которую Вы пытаетесь изобразить?» Если Вы не в состоянии указать такое тело, то это означает, что сила реально не существует и ее изображать не надо. Расставляя силы, приложенные к телу, необходимо все время помнить, что силы могут действовать на данное тело только со стороны каких-то других тел: со стороны Земли – это сила тяжести , со стороны нити – сила натяжения , со стороны пружины – сила упругости ; со стороны подставки – сила реакции и, если поверхности подставки и тела шероховатые, сила трения . Кроме этого, в некоторых задачах на тело могут действовать силы сопротивления и силы притяжения (или отталкивания) с другими телами; если в условии задачи нет специальных оговорок, этими силами обычно пренебрегают.
При изображении сил следует помнить, что:
а) сила тяжести направлена вертикально вниз (к центру Земли);
б) сила натяжения нити направлена вдоль нити от тела;
в) сила упругости направлена вдоль пружины от тела, если пружина в процессе движения растянута, или к телу, если пружина сжата;
г) сила реакции опоры направлена перпендикулярно поверхности соприкосновения тела с подставкой;
д) сила трения скольжения направлена по касательной к поверхности подставки в сторону противоположную скорости движения точек поверхности тела, соприкасающихся с подставкой;
е) сила сопротивления направлена в сторону, противоположную вектору скорости тела.
При расстановке сил, приложенных к телу, не обязательно их прикладывать к строго определенным точкам тела (например, силу тяжести к центру масс). Обычно, все силы изображают приложенными к какой-либо произвольной точке тела, выбор которой определяется удобством и наглядностью рисунка.
После того, как проставлены все силы, желательно проверить, имеется ли сила противодействия каждой из сил, изображенных на рисунке. Нет необходимости рисовать силы противодействия силе тяжести, силам реакции опоры и трения , если подставкой, по которой движется тело, является другое неподвижное тело, например, Земля.
3. Выбрать инерциальную систему отсчета, оси координат которой направить наиболее удобным для решения задачи образом. В некоторых задачах бывает удобным для каждого из тел, участвующих в движении, выбрать свое направление осей. Обычно удобно для каждого тела одну из осей системы координат направить вдоль вектора ускорения.
4. Записать уравнение второго закона Ньютона для каждого тела в векторной форме.
5. Записать уравнения второго закона Ньютона в проекциях на оси выбранной системы координат. При наличии трения скольжения, силы трения, входящие в уравнения, нужно представить через соответствующие коэффициенты трения и силы нормального давления.
6. Упростив, если можно, уравнение динамики, дополнить их необходимыми соотношениями кинематики для получения замкнутой системы уравнений, которую решить относительно искомых неизвестных величин.
1. Основные формулы и понятия
Силы
1. Сила трения скольжения
где коэффициент трения скольжения; абсолютная величина силы нормального давления; единичный вектор в направлении скорости тела.
2. Сила упругости
где коэффициентами жесткости;
- коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин с коэффициент жесткости и соответственно;
=+
коэффициент жесткости при параллельном соединении пружин с коэффициентами жесткости и соответственно; координата незакрепленного конца пружины; она же для нерастянутой пружины. Знак минус показывает, что сила направлена в сторону, обратную деформации.
3. Сила гравитационного взаимодействия (закон всемирного тяготения)
,
где Нм/кг2 – гравитационная постоянная; ; радиус вектор тела 2 относительно тела 1. Знак минус указывает на притяжение тел.
4. Сила тяжести
,
где ускорение свободного падения (вблизи поверхности Земли); м/с2;
,
где масса и радиус Земли (планеты, звезды) соответственно; высота над поверхностью Земли.
5. Принцип независимости действия сил: если на материальную точку действуют одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было. Согласно этому принципу, силы и ускорения можно разлагать на составляющие. Сила, действующая на материальную точку, движущуюся по кривой, может быть разложена на две составляющие – тангенциальную и нормальную.
Тангенциальная (или касательная) сила
,
где единичный вектор направленный по касательной к траектории.
Нормальная (или центростремительная) сила
,
где радиус кривизны траектории; единичный вектор, направленный по нормали к траектории.
Импульс
1. Импульс материальной точки
,
где – скорость материальной точки.
2. Импульс системы материальных точек
,
где – масса -ой частицы, – её скорость в инерциальной системе отсчета.
Второй закон Ньютона
1. ,
где геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку; – её импульс; – число сил, действующих на точку.
2. Если масса постоянна, то второй закон Ньютона классической механики может быть выражен формулой
.
3. Если не известен точный закон, по которому изменяется полная сила
,
действующая на тело, то можно использовать понятие средней силы за какой-то промежуток времени от момента до :
.
Тогда уравнение второго закона Ньютона можно записать в виде
,
где - изменение импульса за тот же промежуток времени; иногда произведение называют средним импульсом силы.
4. Второй закон Ньютона в координатной (скалярной) форме
, , ,
или
, ,
,
где под знаком суммы стоят проекции сил на соответствующие оси координат.
Третий закон Ньютона
,
где – сила, действующая на i-ую материальную точку со стороны k-ой материальной точки; – сила, действующая на k-ую материальную точку со стороны i-ой материальной точки. Силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, приложены к разным материальным точкам, противоположно направлены, всегда действуют парами и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки.
2. Классификация задач и рекомендации по методам их решения
Задачи на динамику прямолинейного движения материальной точки, исходя из методики их решения, можно разбить на следующие основные типы.
1) Все силы , действующие на тело совпадают с прямой, вдоль которой направлен вектор ускорения. В этом случае уравнение второго закона Ньютона в векторном виде и решение в скалярной форме проводится с учетом направления сил.
2) Если действующие на тело силы разнонаправлены (а тем более некоторые из них не совпадают по направлению с , например, движение тела по наклонной плоскости):
· выбрать две произвольные оси ОХ и OY (для упрощения решения желательно одну из них направить вдоль вектора ускорения);
· спроецировать все действующие силы на оси ОХ и OY;
· записать второй закон Ньютона соответственно для осей ОХ:
OY: ;
· решить систему уравнений совместно (при необходимости дополнить соответствующими кинематическими уравнениями движения).
3) Движение нескольких сил, связанных невесомыми и нерастяжимыми нитями (движение нескольких тел по горизонтальной и наклонной плоскостях; задачи на блоки, через которые перекинута нить - веревка, канат, шнур и т.д.).
Основные закономерности при решении задач на блоки можно сформулировать следующим образом:
· блок считать невесомым (или его массой можно пренебречь);
· нити между телами считать невесомыми и нерастяжимыми;
· силы натяжения нити по обе стороны блока одинаковы;
· второй закон Ньютона записывать для каждого тела в отдельности (с учетом выбранного направления движения системы тел);
· если нить перекинута, например, через 2 невесомых блока (один – подвижный, второй – неподвижный), сила натяжения нити будет по всей длине одинакова, но ускорение грузов вследствие движения подвижного блока разные.
3. Примеры решения типовых задач
Пример 1
Аэростат массой m250 кг начал опускаться с ускорением 0,2м/с2. Определить массу балласта, который следует сбросить, чтобы аэростат получил такое же ускорение, но направленное вверх. Ускорение свободного падения 9,8 м/с2. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Дано:
250 кг;
0,2м/с2;
9,8 м/с2.
_______________
m ?
Рис. 2.1.
Решение: Так как аэростат опускается с ускорением , меньшим ускорения свободного падения , и по условию задачи сопротивление воздуха отсутствует, то это означает, что на него кроме силы тяжести действует подъемная сила , направленная вертикально вверх.
Действующие на аэростат силы направлены вертикально, следовательно, уравнение движения
(1)
достаточно спроецировать только на одну ось системы координат OY:
. (2)
Откуда подъемная сила . (3)
Если сбросить балласт массой , то уравнение движения можно записать в виде
, (4)
или с учетом полученного выражения для подъемной силы (3)
(5)
Следовательно, масса сброшенного балласта равна
10 кг.
Пример 2
Автомобиль, трогаясь с места, за время 5с равноускоренно набирает скорость 72 км/ч.
Найти минимально возможный коэффициент трения между колесами автомобиля и дорогой при таком движении.
Какой наименьший тормозной путь автомобиля, набравшего эту скорость?
Дано:
5с;
72 км/ч20 м/с;
9,8 м/с2.
_________________
? ?
Рис. 2.2
Решение: При движении автомобиля, как при разгоне, так и при торможении, на него действуют три силы: сила тяжести , сила нормальной реакции со стороны дороги и сила трения
а) При ускоренном движении автомобиля сила трения препятствует проскальзыванию ведущих колес по поверхности дороги, поэтому, она направлена в сторону движения и является силой трения покоя. Именно сила трения покоя в данном случае будет являться движущей силой. Исходя из выбранной системы координат XOY, уравнение движения имеет вид
(1)
В проекциях на оси системы координат:
ОХ: , (2)
ОY: . (3)
Выразив силу трения через силу реакции и коэффициент трения между колесами и дорогой
, (4)
из уравнения движения определим ускорение автомобиля:
. (5)
С другой стороны, так как по условию задачи автомобиль двигаясь равноускоренно за время приобрел скорость , то его ускорение равно . (6)
Из выражений (5) и (6) имеем 0,41. Следовательно,
0,41. (7)
б) При торможении сила трения направлена в сторону, противоположную движению и является силой трения скольжения. Уравнение движения автомобиля в этом случае в проекциях на оси координат
Рис. 2.3.
ОХ: , (8)
ОY: . (9)
Учитывая, что , ускорение автомобиля при торможении
. (10)
Путь, пройденный автомобилем, движущимся равнозамедленно с начальной скоростью равен
(11)
Время движения до остановки можно определить из условия, что конечная скорость автомобиля
следовательно, (12)
Тогда (13)
Учитывая выражения для коэффициента трения (7), получаем
50 м.
Пример 3
На гладкой наклонной плоскости с углом при основании лежит доска массой М, а на доске – брусок массой m. На доску действует сила, направленная вверх по склону. При какой величине этой силы, груз начнёт соскальзывать? Коэффициент трения между доской и бруском . Ускорение свободного падения .
Дано:
;
М;
m;
;
.
___________
F ?
Решение: Силы, действующие на каждое из тел, в инерциальной системе отсчета XOY указаны на Рис.2.4.
Рис. 2.4
На брусок действует сила тяжести , сила трения , сила и сила реакции ; на доску действует сила тяжести , сила реакции , сила трения и вес бруска равный по величине . Учтём, что
. (1)
Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси выбранной системы координат при условии, что брусок по доске не скользит:
(2)
(3)
. (4)
Решая систему уравнений (2) и (3), получим .
Используем условие (1): .
Следовательно, при брусок будет соскальзывать с доски.
Пример 4
На наклонной плоскости с углом при основании неподвижно лежит кубик. Коэффициент трения между клином и кубиком равен . Наклонная плоскость движется с ускорением в направлении, показанном на рис. 2.5. При каком минимальном значении этого ускорения кубик начнет соскальзывать?
Дано:
;
;
.
________
?
Рис. 2.5
Решение: Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси ОХ и ОY инерциальной системы отсчета, связанной с Землей, считая, что кубик относительно клина покоится:
(1)
(2)
Откуда
Так как кубик покоится относительно клина, то и связаны соотношением , т.е.
Откуда получим .
Следовательно, при кубик начнёт соскальзывать при ускорении клина, равном .
Если , то тело начнет соскальзывать при любом сколь угодно малом ускорении.
Заключение
При решении задач динамики нужно в первую очередь выбрать систему координат и задать начало отсчета времени.
Описание движения в различных системах координат эквивалентны между собой в том смысле, что при известном расположении двух систем координат относительно друг друга по величинам, найденным в первой системе, можно определить соответствующие величины во второй.
При решении задач следует выбрать такую систему координат, в которой уравнения, описывающие движение, получаются проще. При прямолинейном движении система уравнений получается проще, если одна из осей координат направлена вдоль движения.
При решении задач на движение нескольких тел рекомендуется пользоваться одной системой координат.
Список литературы
1. Калашников Н.П., Смондырев М.А.. Основы физики. Т.1. М.: Дрофа, 2003
2. Калашников Н.П., Смондырев М.А. Основы физики. Упражнения и задачи. М.: Дрофа, 2004.
3. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. М.: Высш. шк., 1988.
4. Новодворская Е.М., Дмитриев Э.М. Сборник задач по физике с решениями для втузов. М.: ООО Издательство «Мир и Образование», 2003.
5. Демков В.П., Третьякова О.Н. В помощь поступающим в ВУЗы. Физика. Механика. – М.: Издательство МАИ, 1996.
6. Касаткина И.Л. Репетитор по физике. Т.1. Ростов н/Д: Феникс, 2002.
