Динамика твердого тела

Министерство образования и науки

Республики Казахстан

Карагандинский Государственный Университет

имени Е.А.Букетова

Кафедра общей и теоретический физики

Курсовая работа на тему:

Динамика твердого тела

Подготовил:

________________

________________

Проверил:

________________

________________

Караганды – 2003г.

Введение o I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

. Кинетическая энергия вращающегося тела и работа внешних сил (ось вращения неподвижна)

. Свободные оси. Устойчивость свободного вращения

. Центр удара o II. Плоское движение твердого тела

. Кинетическая энергия при плоском движении
Заключение

Введение

В общем случае абсолютно твердое тело имеет 6 степеней свободы, и для описания его движения необходимы 6 независимых скалярных уравнений или 2 независимых векторных уравнения.

Вспомним, что твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, и, следовательно, к нему применимы те уравнения динамики, которые справедливы для системы точек в целом.

Обратимся к опытам.

Возьмем резиновую палку, утяжеленную на одном из концов и имеющую лампочку точно в центре масс (рис. 3.1). Зажжем лампочку и бросим палку из одного конца аудитории в другой, сообщив ей произвольное вращение - траекторией лампочки будет при этом парабола - кривая, по которой полетело бы небольшое тело, брошенное под углом к горизонту.
|[pic] |
|Рис. 3.1. |

Стержень, опирающийся одним из концов на гладкую горизонтальную плоскость (рис.1.16), падает таким образом, что его центр масс остается на одной и той же вертикали - нет сил, которые сдвинули бы центр масс стержня в горизонтальном направлении.

Опыт, который был представлен на рис. 2.2 а, в, свидетельствует о том, что для изменения момента импульса тела существенна не просто сила, а ее момент относительно оси вращения.

Тело, подвешенное в точке, не совпадающей с его центром масс
(физический маятник), начинает колебаться (рис. 3.2а) - есть момент силы тяжести относительно точки подвеса, возвращающий отклоненный маятник в положение равновесия. Но тот же маятник, подвешенный в центре масс, находится в положении безразличного равновесия (рис. 3.2б).
|[pic] |
|Рис. 3.2. |

Роль момента силы наглядно проявляется в опытах с "послушной" и
"непослушной" катушками (рис. 3.3). Плоское движение этих катушек можно представить как чистое вращение вокруг мгновенной оси, проходящее через точку соприкосновения катушки с плоскостью. В зависимости от направления момента силы F относительно мгновенной оси катушка либо откатывается (рис.
3.За), либо накатывается на нитку (рис. 3.Зб). Держа нить достаточно близко к горизонтальной плоскости, можно принудить к послушанию самую
"непослушную" катушку.
|[pic] |
|Рис. 3.3. |

Все эти опыты вполне согласуются с известными законами динамики, сформулированными для системы материальных точек: законом движения центра масс и законом изменения момента импульса системы под действием момента внешних сил. Таким образом, в качестве двух векторных уравнений движения твердого тела можно использовать:

Уравнение движения центра масс
|[pic] |(3.1) |

Здесь [pic]- скорость центра масс тела, [pic]- сумма всех внешних сил, приложенных к телу.

Уравнение моментов
|[pic] |(3.2) |

Здесь L- момент импульса твердого тела относительно некоторой точки,
[pic]- суммарный момент внешних сил относительно той же самой точки.

К уравнениям (3.1) и (3.2), являющимся уравнениями динамики твердого тела, необходимо дать следующие комментарии:

1. Внутренние силы, как и в случае произвольной системы материальных точек, не- влияют на движение центра масс и не могут изменить момент импульса тела.

2. Точку приложения внешней силы можно произвольно перемещать вдоль линии, по которой действует сила. Это следует из того, что в модели абсолютно твердого тела локальные деформации, возникающие в области приложения силы, в расчет не принимаются. Указанный перенос не повлияет и на момент силы относительно какой бы то ни было точки, так как плечо силы при этом не изменится.

Векторы L и M в уравнении (3.2), как правило, рассматриваются относительно некоторой неподвижной в лабораторной системе XYZ точки. Во многих задачах L и M удобно рассматривать относительно движущегося центра масс тела. В этом случае уравнение моментов имеет вид, формально совпадающий с (3.2). В самом деле, момент импульса тела [pic]относительно движущегося центра .масс О связан с моментом импульса [pic]относительно неподвижной - точки O' соотношением:
|[pic] |(3.3) |

где R - радиус-вектор от O' к О, p - полный импульс тела. Аналогичное соотношение легко может быть получено и для моментов силы:
|[pic] |(3.4) |

где F - геометрическая сумма всех сил, действующих на твердое тело.

Поскольку точка O' неподвижна, то справедливо уравнение моментов (3.2):
|[pic] |(3.5) |

Тогда
|[pic] |(3.6) |

Величина [pic]есть скорость точки О в лабораторной системе XYZ.
Учитывая (3.4), получим
|[pic] |(3.7) |

Поскольку движущаяся точка O - это центр масс тела, то [pic]([pic] - масса тела), [pic]и [pic]то есть уравнение моментов относительно движущегося центра масс имеет такой же вид, что и относительно неподвижной точки. Скорости всех точек тела при определении [pic]следует брать относительно центра масс тела.

Ранее было показано, что произвольное движение твердого тела можно разложить на поступательное (вместе с системой x0y0z0, начало которой находится в некоторой точке - полюсе, жестко связанной с телом) и вращательное (вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс). С точки зрения кинематики выбор полюса особого значения не имеет, с точки же зрения динамики полюс, как теперь понятно, удобно поместить в центр масс. Именно в этом случае уравнение моментов (3.2) может быть записано относительно центра масс (или оси, проходящей через центр масс) как относительно неподвижного начала (или неподвижное оси).

Если [pic]не зависит от угловой скорости тела, а [pic]- от скорости центра масс, то уравнения (3.1) и (3.2) можно рассматривать независимо друг от друга. В этом случае уравнение (3.1) соответствует просто задаче из механики точки, а уравнение (3.2) - задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки или неподвижной оси. Пример ситуации, когда уравнения
(3.1) и (3.2) нельзя рассматривать независимо - движение вращающегося твердого тела в вязкой среде.

Далее в этой лекции мы рассмотрим уравнения динамики для трех частных случаев движения твердого тела: вращения вокруг неподвижной оси, плоского движения и, наконец, движения твердого тела, имеющего ось симметрии и закрепленного в центре масс.

I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

В этом случае движение твердого тела определяется уравнением
|[pic] |

Здесь [pic]- это момент импульса относительно оси вращения, то есть проекция на ось момента импульса, определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси. [pic]- это момент внешних сил относительно оси вращения, то есть проекция на ось результирующего момента внешних сил, определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси, причем выбор этой точки на оси, как и в случае с [pic]значения не имеет. Действительно
(рис. 3.4), [pic]где [pic]- составляющая силы, приложенной к твердому телу, перпендикулярная оси вращения, [pic]- плечо силы [pic]относительно оси.
|[pic] |
|Рис. 3.4. |

Поскольку [pic]([pic] - момент инерции тела относительно оси вращения), то вместо [pic]можно записать
|[pic] |(3.8) |

или
|[pic] |(3.9) |

поскольку в случае твердого тела [pic]

Уравнение (3.9) и есть основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Его векторная. форма имеет вид:
|[pic] |(3.10) |

Вектор [pic]всегда направлен вдоль оси вращения, а [pic]- это составляющая вектора момента силы вдоль оси.

В случае [pic]получаем [pic]соответственно и момент импульса относительно оси [pic]сохраняется. При этом сам вектор L, определенный относительно какой-либо точки на оси вращения, может меняться. Пример такого движения показан на рис. 3.5.
|[pic] |
|Рис. 3.5. |

Стержень АВ, шарнирно закрепленный в точке А, вращается по инерции вокруг вертикальной оси таким образом, что угол [pic]между осью и стержнем остается постоянным. Вектор момента импульса L, относительно точки А движется по конический поверхности с углом полураствора [pic]однако проекция L на вертикальную ось остается постоянной, поскольку момент силы тяжести относительно этой оси равен нулю.

Кинетическая энергия вращающегося тела и работа внешних сил (ось вращения неподвижна).

Скорость i -й частицы тела
|[pic] |(3.11) |

где [pic]- расстояние частицы до оси вращение Кинетическая энергия
|[pic] |(3.12) |

так как угловая скорость вращения для всех точек одинакова.

В соответствии с законом изменения механической энергии системы элементарная работа всех внешних сил равна приращению кинетической энергии тела:
|[pic] |(3.13) |

Работа внешних сил при повороте тела на конечный угол [pic]равна
|[pic] |(3.14) |

опустим, что диск точила вращается по инерции с угловое скоростью
[pic]и мы останавливаем его, прижимая какой-либо предмет к краю диска с постоянным усилием. При этом на диск будет действовать постоянная по величине сила [pic]направленная перпендикулярно его оси. Работа этой силы
|[pic] |

где [pic]- радиус диска, [pic]- угол его поворота. Число оборотов, которое сделает диск до полной остановки,
|[pic] |

где [pic]- момент инерции диска точила вместе с якорем электромотора.

Замечание. Если силы таковы, что [pic]то работу они не производят.

Свободные оси. Устойчивость свободного вращения.

При вращении тела вокруг неподвижной оси эта ось удерживается в неизменном положении подшипниками. При вращении несбалансированных частей механизмов оси (валы) испытывают определенную динамическую нагрузку,
Возникают вибрации, тряска, и механизмы могут разрушиться.

Если твердое тело раскрутить вокруг произвольной оси, жестко связанной с телом, и высвободить ось из подшипников, то ее направление в пространстве, вообще говоря, будет меняться. Для того, чтобы произвольная ось вращения тела сохраняла свое направление неизменным, к ней необходимо приложить определенные силы. Возникающие при этом ситуации показаны на рис.
3.6.
|[pic] |
|Рис. 3.6. |

В качестве вращающегося тела здесь использован массивный однородный стержень АВ, прикрепленный к достаточно эластичной оси (изображена двойными штриховыми линиями). Эластичность оси позволяет визуализировать испытываемые ею динамические нагрузки. Во всех случаях ось вращения вертикальна, жестко связана со стержнем и укреплена в подшипниках; стержень раскручен вокруг этой оси и предоставлен сам себе.

Страницы: 1, 2