Динамика вращательного движения твердого тела
Федеральное Агентство по Образованию ГОУ ВПО
Московский государственный индустриальный университет
РЕФЕРАТ ПО ФИЗИКЕ
ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Москва, 2010
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. Теоретические основы
2. Методические рекомендации по решению задач
3. Классические примеры решения некоторых типовых задач
Заключение
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
Решение конкретных физических задач является необходимой практической основой при изучении курса физики. Оно способствует приобщению студентов к самостоятельной творческой работе, учит анализировать изучаемые явления, выделять главные факторы, обуславливающие то или иное явление.
Основная цель практических занятий состоит в том, чтобы научить школьников и студентов самостоятельно использовать физические закономерности и математический аппарат при решении физических и технических задач.
При подготовке к практическим занятиям по курсу общей физики студенты младших курсов технических вузов сталкиваются со слабой методической базой при решении физических и технических задач, с неумением выявлять условия применимости физических законов и положений.
1. Теоретические основы
Момент силы
1. Момент силы относительно оси вращения , (1.1) где – проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси вращения, – плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).
2. Момент силы относительно неподвижной точки О (начала координат) . (1.2) Определяется векторным произведением радиуса-вектора , проведенного из точки О в точку приложения силы , на эту силу; – псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к («правило буравчика»). Модуль момента силы , (1.3) где – угол между векторами и , – плечо силы, кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой приложения силы.
Момент импульса
1. Момент импульса тела, вращающего относительно оси , (1.4) где – момент инерции тела, – угловая скорость. Момент импульса системы из тел есть векторная сумма моментов импульсов всех тел системы: . (1.5)
2. Момент импульса материальной точки с импульсом относительно неподвижной точки О (начала координат) . (1.6) Определяется векторным произведением радиуса-вектора , проведенного из точки О в материальную точку, на вектор импульса ; – псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к («правило буравчика»). Модуль вектора момента импульса , (1.7) где – угол между векторами и , – плечо вектора относительно точки О.
Момент инерции относительно оси вращения
1. Момент инерции материальной точки , (1.8) где – масса точки, – расстояние её от оси вращения.
2. Момент инерции дискретного твердого тела , (1.9) где – элемент массы твердого тела; – расстояние этого элемента от оси вращения; – число элементов тела.
3. Момент инерции в случае непрерывного распределения массы (сплошного твердого тела) . (1.10) Если тело однородно, т.е. его плотность одинакова по всему объему, то используется выражение (1.11), где и объем тела.
4. Теорема Штейнера. Момент инерции тела любой оси вращения равен моменту его инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между ними . (1.12)
Основной закон динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси
1. , (1.13) где – момент силы, – момент инерции тела, – угловая скорость, – момент импульса.
2. В случае постоянного момента инерции тела – , (1.14) где угловое ускорение.
3. В случае постоянных момента силы и момента инерции изменение момента импульса вращающегося тела, равно произведению среднего момента сил, действующего на тело на время действия этого момента . (1.15)
2. Методические рекомендации по решению задач
В задачах по курсу общей физики обычно рассматривают вращение твердого тела лишь вокруг неподвижной оси или оси, перемещающейся в пространстве параллельно самой себе. В этом случае все векторные величины, характеризующие вращательное движение тела: направлены вдоль оси вращения, что позволяет сразу переходить к алгебраической (скалярной) записи соответствующих уравнений. Некоторое направление вращения выбирается за положительное, используя, например, направление поступательного движения правого винта (правило буравчика), когда вращение его головки совпадает с направлением вращения твердого тела; естественно, перед величинами, вектора которых антинаправлены положительному направлению, будут использованы знаки «минус». При ускоренном вращении тела знаки всех четырех величин совпадают; при замедленном движении две пары величин и имеют противоположные знаки.
Момент силы , действующей на тело, относительно оси вращения определяется по формуле (1.1, раздел 1.1).
Момент импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси, определяется по формуле (1.4). Для определения момента импульса материальной точки с импульсом относительно начала координат используют выражение (1.6).
Для системы тел используют выражение (например, суммарный момент импульса гири массой , прикрепленной на шнуре к вращающемуся маховику радиусом , равен где момент импульса движущегося груза гири, линейная скорость гири и точек цилиндрической поверхности маховика; момент импульса, вращающегося с угловой скоростью и обладающего моментом инерции , маховика).
Момент инерции тела зависит в общем случае от его массы, расположения массы в теле, размеров и формы тела и положения оси вращения.
Момент инерции относительно оси вращения:
а) материальной точки (см. формулу (1.8));
б)дискретного твердого тела (см. формулу (1.9));
в) сплошного твердого тела (см. формулу (1.10)).
В случае непрерывного распределения массы тела (сплошное однородное твердое тело), тело делится на бесконечно малые участки массы и, считая их за материальные точки, находятся моменты инерции этих участков относительно оси вращения, а затем производится интегрирование.
Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы приведены в таблице 1.
Таблица 1
|
Тело |
Ось, относительно которой определяется момент инерции |
Формула момента инерции |
|
Однородный тонкий стержень массой и длиной |
Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно стержню. Проходит через конец стержня перпендикулярно стержню. |
1/12 1/3 |
|
Тонкое кольцо, обруч, труба радиусом и массой , маховик радиусом и массой , распределенной по ободу |
Проходит через центр перпендикулярно плоскости основания |
|
|
Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом и массой |
Проходит через центр диска перпендикулярно плоскости основания |
1/2 |
|
Однородный шар массой и радиусом |
Проходит через центр шара |
2/5 |
|
Диск массой и радиусом , толщина которого много меньше его диаметра |
Относительно оси вращения, совпадающей с диаметром диска |
1/4 |
Если ось вращения не проходит через центр масс тела, то момент инерции тела относительно этой оси можно определить по теореме Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме моментов инерции этого тела относительно оси вращения О1О2, проходящей через центр масс тела С параллельно оси , и произведения массы тела на квадрат расстояния между этими осями (см. Рис. 1), т.е. .
Момент инерции системы отдельных тел равен (например, момент инерции физического маятника равен , где момент инерции стержня, на котором крепится диск с моментом инерции ).
Чаще всего при решении задач основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси в случае постоянных момента силы и момента инерции используется в виде , где изменение момента импульса вращающего тела равно произведению среднего момента сил, действующего на тело, на время действия этого момента.
В общем случае в момент сил могут входить: вращающий момент сил, момент сил трения, моменты сил натяжения нитей (при решении задач на блоки, через которые перекинута нить и т.д.). При решении задач на блоки необходимо обычно учитывать массу блока, и, следовательно, момент инерции блока, что приводит к тому, что силы натяжения нитей по обе стороны блока не будут одинаковыми и как следствие к появлению вращающего момента сил, равного разности моментов сил по обе стороны блока.
3. Классические примеры решения некоторых типовых задач
Пример 1
Страницы: 1, 2
