Движение в центрально-симметричном поле

Национальный Технический Университет Украины

«Киевский Политехнический Институт»

Реферат

По курсу: Квантовая Механика

На тему:

« Движение в центрально – симметричном поле »

Выполнил студент группы ДС-71

Садрицкий Роман.

Киев-1999г.

Содержание:

Движение в центрально-симметричном поле.

Падение частицы на центр.

Движение в кулоновом поле ( сферические координаты ).

1.Движение в центрально-симметричном поле.

Задача о движении двух взаимодействующих друг с другом частиц в квантовой механике может быть сведена к задаче об одной частице, - аналогично тому, как это может быть сделано в классической механике. Гамильтониан двух частиц ( с массами [pic]) , взаимодействующих по закону [pic] [pic]- расстояние между частицами), имеет вид

[pic][pic] (1,1)

где [pic]- операторы Лапласа по координатам частиц. Введем вместо радиусов- векторов частиц [pic] и [pic] новые переменные [pic] и [pic]:

[pic] [pic]

(1,2)

[pic] - вектор взаимного расстояния, а [pic]- радиус-вектор центра инерции частиц. Простое вычисление приводит к результату:

[pic] (1,3)

( [pic] и [pic]- операторы Лапласа соответственно по компонентам векторов
[pic] и [pic];
[pic] - полная масса системы; [pic] - приведенная масса). Таким образом, гамильтониан распадается на сумму двух независимых частей. Соответственно этому, можно искать [pic] в виде произведения [pic], где функция [pic] описывает движение центра инерции ( как свободное движение частицы с массой
[pic]), а [pic] описывает относительное движение частиц ( как движение частицы массы [pic] в центрально-симметричном поле [pic] ).

Уравнение Шредингера для движения частицы в центрально-симметричном поле имеет вид

[pic]

(1,4)

Воспользовавшись известным выражением для оператора Лапласа в сферических координатах, напишем это уравнение в виде

[pic].

(1,5)

Если ввести сюда оператор квадрата момента:

[pic],

то мы получим

[pic] (1,6)

При движении в центрально-симметричном поле момент импульса сохраняется.
Будем рассматривать стационарные состояния с определенными значениями момента [pic] и его проекции [pic]. Заданием значений [pic] и [pic] определяется угловая зависимость волновых функций. Соответственно этому, ищем решения уравнения (1,6) в виде

[pic]

(1,7)

где [pic]- сферические функции. Поскольку [pic] , то для «радиальной функции» [pic] получаем уравнение

[pic] (1,8)

Это уравнение не содержит вовсе значения [pic], что соответствует [pic]- кратному вырождению уровней по направлениям момента.

Займемся исследованием радиальной части волновых функций. Подстановкой

[pic]

(1,9)

уравнение (1,8) приводится к виду

[pic] (1,10)

Если потенциальная энергия [pic] везде конечна, то должна быть конечной во всем пространстве, включая начало координат, также и волновая функция
[pic], а следовательно, и ее радиальная часть [pic]. Отсюда следует, что
[pic] должна обращаться в нуль при [pic]:

[pic]

(1,11)

В действительности это условие сохраняется также и для поля, обращающегося при [pic] в бесконечность.

Уравнение (1,10) по форме совпадает с уравнением Шредингера для одномерного движения в поле с потенциальной энергией

[pic]

(1,12)

равной сумме энергии [pic], и члена

[pic] ,

который можно назвать центробежной энергией. Таким образом, задача о движении в центрально-симметричном поле сводится к задаче об одномерном движении в области, ограниченной с одной стороны ( граничное условие при
[pic]). «Одномерный характер» имеет также и условие нормировки для функции
[pic], определяющееся интегралом

[pic].

При одномерном движении в ограниченной с одной стороны области уровни энергии не вырождены. Поэтому можно сказать, что заданием значения энергии решение уравнения (1,10), т.е. радиальная часть волновой функции, определяется полностью. Имея также в виду, что угловая часть волновой функции полностью определяется значениями [pic] и [pic], мы приходим к выводу, что при движении в центрально-симметричном поле волновая функция полностью определяется значениями [pic]. Другими словами, энергия, квадрат момента и его проекция составляют полный набор физических величин для такого движения.

Сведение задачи о движении в центрально-симметричном поле к одномерному позволяет применить осцилляционную теорему. Расположим собственные значения энергии ( дискретного спектра ) при заданном [pic] в порядке возрастания, перенумеровав их порядковыми номерами [pic], причем наиболее низкому уровню приписывается номер [pic]. Тогда [pic] определяет число узлов радиальной части волновой функции при конечных значениях [pic] (не считая точки
[pic]). Число [pic] называют радиальным квантовым числом. Число [pic] при движении в центрально-симметричном поле иногда называют азимутальным квантовым числом, а [pic]- магнитным квантовым числом.

Для обозначения состояний с различными значениями момента [pic] частицы существует общепринятая символика; состояния обозначаются буквами латинского алфавита со следующим соответствием:

[pic] 1 2 3 4 5 6 7 . . .[pic]

[pic] [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic] [pic] [pic] (1,13)

Нормальным состоянием при движении частицы в центрально-симметричном поле всегда является [pic]- состояние; действительно, при [pic] угловая часть волновой функции во всяком случае имеет узлы, между тем как волновая функция нормального состояния не должна иметь узлов вовсе. Можно также утверждать, что наименьшее возможное при заданном [pic] собственное значение энергии растет с увеличением [pic]. Это следует уже из того, что наличие момента связано с добавлением в гамильтониане существенно положительного члена [pic], растущего с увеличением [pic].
Определим вид радиальной функции вблизи начала координат. При этом будет считать, что

[pic]

(1,14)

Ищем [pic] в виде степенного ряда по [pic], оставляя при малых [pic] только первый член разложения; другими словами, ищем [pic] в виде [pic].
Подставляя это в уравнение

[pic],

получающееся из (1,8) умножением последнего на [pic] и переходя к [pic], найдем

[pic].

Отсюда

[pic] или
[pic].

Решение [pic] не удовлетворяет необходимым условиям; оно обращается в бесконечность при [pic] ( напомним, что [pic] ). Таким образом, остается решение с [pic], т.е. вблизи начала координат волновые функции состояний с данным [pic] пропорциональны [pic]:

[pic].

(1,15)

Вероятность частице находиться на расстоянии от центра между [pic] и [pic] определяется величиной [pic] и поэтому пропорциональна [pic]. Мы видим, что она тем быстрее обращается в нуль в начале координат, чем больше значение
[pic].

2. Падение частицы на центр.

Для выяснения некоторых особенностей квантовомеханического движения полезно изучить случай, не имеющий, правда, непосредственного физического смысла, - движение частицы в поле с потенциальной энергией, обращающейся в некоторой точке ( начале координат ) в бесконечность по закону [pic]; вид поля вдали от начала координат нас не будет интересовать. Этот случай – промежуточный между теми, когда имеются обычные стационарные состояния, и случаями, когда происходит «падение» частицы на начало координат.

Вблизи начала координат уравнение Шредингера в рассматриваемом случае будет следующим:

[pic]

(2,1)

( [pic]- радиальная часть волновой функции), где введена постоянная

[pic]

(2,2)

и опущены все члены более низкого порядка по [pic]; значение энергии [pic] предполагается конечным, и потому соответствующий член в уравнении тоже опущен.

Ищем[pic] в виде [pic]; тогда получаем для [pic] квадратное уравнение

[pic][pic] с двумя корнями

[pic], [pic]
(2,3)

Для дальнейшего исследования удобно поступить следующим образом. Выделим вокруг начала координат малую область радиуса [pic] и заменим функцию [pic] в этой области постоянной величиной [pic]. Определив волновые функции в таком «обрезанном» поле, мы затем посмотрим, что получается при переходе к пределу [pic].

Предположим сначала, что [pic]. Тогда [pic] и [pic] - вещественные отрицательные числа, причем [pic]>[pic]. При [pic] общее решение уравнения
Шредингера имеет вид ( везде речь идет о малых [pic])

[pic]

(2,4)

([pic]- постоянные). При [pic] решение уравнения

[pic]

конечное в начале координат, имеет вид

[pic]

(2,5)
При [pic] функция [pic] и ее производная [pic] должны быть непрерывными функциями. Удобно написать одно из условий в виде условия непрерывности логарифмической производной от [pic]. Это приводит к уравнению

[pic]

или

[pic].

Решенное относительно [pic], это уравнение дает выражение вида

[pic]

(2,6)

Переходя теперь к пределу [pic] , находим, что [pic] ( напоминаем, что [pic] ). Таким образом, из двух расходящихся в начале координат решений уравнения Шредингера (2,1) должно быть выбрано то, которое обращается в бесконечность менее быстро:

[pic].

Пусть теперь [pic]. Тогда [pic] и [pic] комплексны:

[pic].

Повторяя предыдущие рассуждения, снова придем к равенству (2,6), которое при подстановке значений [pic] и [pic] дает

[pic].

(2,8)

При [pic] это выражение не стремится ни к какому определенному пределу. Так что прямой переход к пределу [pic] невозможен. С учетом (2,8) общий вид вещественного решения может быть написан следующим образом:

[pic]. (2,9)

Эта функция обладает нулями, число которых неограниченно растет с уменьшением [pic]. Поскольку, с одной стороны, выражение (2,9) справедливо для волновой функции ( при достаточно малых [pic]) при любом конечном значении энергии [pic] частицы, а, с другой стороны, волновая функция нормального состояния совсем не должна иметь нулей, то мы можем заключить, что «нормальное состояние2 частицы в рассматриваемом поле соответствует энергии [pic]. Но во всяком состоянии дискретного спектра частица находится в основном в области пространства, в которой [pic]. Поэтому при [pic] частица находится в бесконечно малой области вокруг начала координат, т.е. происходит «падение» частицы в центр.

«Критическое» поле [pic] , при котором становится возможным падение частицы в центр, соответствует значению [pic]. Наименьшее значение коэффициента при [pic] получается при [pic], т.е.

[pic].

(2,10)

Из формулы (2,8) ( для [pic] ) видно, что допускаемое решение уравнения Шредингера ( вблизи точки, где [pic] ) расходится при [pic] не быстрее чем [pic]. Если поле обращается при [pic] в бесконечность медленнее чем [pic], то в уравнении Шредингера в области вблизи начала координат можно вовсе пренебречь [pic] по сравнению с остальными членами, и мы получим те же решения, что и для свободного движения, т.е. [pic] . Наконец, если поле обращается в бесконечность быстрее чем [pic] ( как [pic] с [pic]
), то волновая функция вблизи начала координат пропорциональна [pic]. Во всех этих случаях произведение [pic] обращается при [pic] в нуль.

Страницы: 1, 2