Для малих (коли <<c ) дістанемо відомий вираз:
.
Тут - кут, що визначає величину аберації зірок.
З другої формули (5) визначимо :
. (9)
Отже, якщо тіло випромінює хвилі з частотою , рухається з швидкість , то в нерухомій системі К частота, згідно з (9), буде . Це явище буде ефектом Доплера. На відміну від класичної теорії, релятивістський ефект Доплера існує і при (поперечний ефект Доплера).
1.3 Повздовжній ефект Доплера
Світлова хвиля розповсюджується уподовж напрямку відносної швидкості руху приймача , тобто =1. Тоді, згідно маємо:
(10)
Це явище має назву повздовжній ефект Доплера. При малих () відносних швидкостях , розкладаючи (10) в ряд за степенями і нехтуючи членом порядку 2, отримаємо:
(11)
З (11) можна обрахувати доплерівське зміщення частоти :
(12)
Або, зважаючи на те, що , то :
(13)
Як випливає з (12) і (13), при видаленні джерела і приймача один від одного, тобто при їх позитивно відносній швидкості відбувається зрушення в область довших хвиль , що називається червоним зрушенням. При зближенні джерела і приймача світла тобто відбувається так зване фіолетове зміщення.
Досліди Білопольського і Голіцина по виявленню подовжнього ефекту Доплера. Подовжній ефект Доплера був вперше виявлений в лабораторних умовах російським астрофізиком А. А. Білопольським в 1898 р. Остаточні результати Білопольського були опубліковані в 1900 р. Аналогічні досліди були повторені Б. Б. Голіциним в 1907 р. Схема досвіду Білопольського представлена на (рис. 2)
Рис. 2
В середині між двох дзеркал А і В, здатних переміщатися один відносно одного, поміщено джерело світла S. Багатократне віддзеркалення світла від рухомих дзеркал дозволяє збільшити швидкість руху джерела. Позначимо відстань від джерела S до одного з дзеркал А і В через х. Тоді відстані від джерела до його першого, другого, j-го зображення відповідно будуть:
SS' = 2x, SS" = 4х ..., SSij = 2jx.
Очевидно, що при русі дзеркал із швидкістю нормально до їх поверхонь рухаються і всі зображення. Тоді для швидкості j-го зображення маємо:
,
звідки видно значне підвищення швидкості спостережуваного джерела, яким є j-е зображення дійсного джерела. У дослідах Білопольського = 670 м/с (в Голіцина від 250 до 350 м/с). Як спектральний прилад, реєструючий зсув частоти, Білопольським був використаний трьохпризматичний спектрограф, Голіциним — ешелон Майкельсона. У запропонованій схемі Белопольського дзеркала були радіальними лопастями двох коліс (рис. 3), що приводяться в обертання за допомогою моторів, що забезпечують строго постійну швидкість.
Рис. 3
1.4 Поперечний ефект Доплера
Дослідимо як змінюються проміжки часу в системах, зв’язаних з рухомими тілами.
Нехай у системах К` і К є два однакових годинники А` і А, які в певний момент часу містяться в тій самій точці (мал. 2); таким годинником може бути не лише точний механізм, а й будь-який періодичний процес. У цей момент годинник А в системі К показуватиме час t1, а годинник А` в системі К` - час t`1. Через деякий час годинник А` в системі К` показуватиме час t`2. Але тепер А` не міститься в одній точці з А (внаслідок руху системи К`). І для порівняння часу, який він показує, з часом у системі К треба скористатися іншим годинником В, що міститься в тій самій точці з В` у момент t`2. Годинник В покаже в цей момент якийсь час t2. Звичайно, годинники А і В синхронізовані і показують однаковий час.
Між двома моментами в системі К` минув час Т = t`2 - t`1, а в системі К – час Т= t2 - t1. Користуючись перетвореннями Лоренца (14)
(14)
і враховуючи, що годинник А` перебуває при обох вимірюваннях у точці з тією самою координатою x`, матимемо:
; ,,(15)
Тут Т0 має зміст проміжку часу в системі, у якій годинник А` нерухомий;
Цей час звичайно називають Власним часом. Т – це проміжок часу у системі К, що минув між двома положеннями рухомого годинника А`.
Оскільки <1 , то з (15) випливає, що проміжок часу, виміряний у системі К, більший за проміжок часу, що його зареєструє годинник, який рухається разом із системою К`. Отже в рухомій системі К` час протікає повільніше, ніж у нерухомій К.
Слід мати на увазі, що цей результат знайдено на основі вимірювань у системі К. Якби ми порівняли хід годинника, нерухомого в К, тобто такого, що рухається відносно К`, з годинниками , нерухомими відносно К` , то прийшли б до висновку, що час у системі К протікає повільніше, ніж у К`. Але суперечності тут немає, бо результати, знайдені при цих міркуваннях, виведені різними шляхами. У першому випадку ми порівнювали покази годинника у системі К` з показами двох годинників у системі К, а в другому, навпаки, покази одного годинника в системі К - з двома годинниками в системі К`
Результати , які тут знайдено, різко відрізняються від відомих у класичній механіці.
У класичній механіці розміри тіл при їх русі не змінюються, перебіг часу не залежить від руху тіл. Як ми бачили, в торії відносності висновки зовсім інші. Щоб зберегти старі уявлення, часто зустрічаються твердження про те, що при спостереженні рухомих тіл спостерігачеві «здається», що тіла скорочуються в напрямі свого руху, «здається», що в рухомих системах час протікає повільніше, тощо. Ці твердження неправильні. Явища, що ми їх розглянули, є реальними, вони залежать не від того, що здається спостерігачеві, а лише від стану досліджуваних тіл.
Слід зауважити, що описані явища стають помітними лише при швидкостях руху, близьких до швидкості світла. Такі швидкості зустрічаються в земних умовах при русі елементарних частинок. Саме тут і були знайдені переконливі докази реальності уповільнення часу в рухомій системі відліку.
Наприклад, при поширенні в атмосфері космічних променів у них внаслідок певних взаємодій виникають - і - мезони - заряджені елементарні частинки, що мають масу 207 мас електрона; - мезони - нестабільні частинки, вони розпадаються. При спостереженнях повільних - мезонів було встановлено, що час їх життя становить величину порядка Т02,2*10-6сек. Проте - мезони, що утворюються космічними променями, пролітають з швидкість vc відстань порядку 20 км, що відповідає часові життя:
Тсек0,7*10-4сек.
Отже, в системі відліку, зв’язаній із Землею (її часто називають лабораторною системою), час життя швидких - мезонів значно більший від Т0. Цей факт можна пояснити, якщо врахувати, що в системі відліку, зв’язаній з рухомим мезоном, час протікає повільніше, ніж у лабораторній системі, згідно (15).
Іншим доказом існування уповільненого часу в рухомій системі відліку є існування так званого поперечного ефекту Доплера. Відомо, що коли рухоме тіло випромінює хвилі (акустичні або електромагнітні), то у фіксованій точці, до якої наближається тіло, спостерігається збільшення сатоти, а в точці, від якої віддаляється тіло, - зменшення частоти. З класичної теорії відомо, що для довільного напряму спостереження з фіксованої точки ефект Допплера визначається за формулою:
, (16)
де v – частота, що спостерігається, v0 - частота у системі, зв’язаній з джерелом, - швидкість руху джерела, c – швидкість поширення хвиль, - кут між напрямом руху джерела і напрямом спостереження. У випадку, коли напрям спостереження перпендикулярний до напрямку руху джерела хвиль, = і з (16) випливає, що v=v0, тобто ефект Доплера не спостерігається.
У теорії відносності це не так. Справді, з формули (16) випливає, що в цьому випадку:
v = v0, (17)
бо якщо Т- період коливань, то 1/Т = v. Формула (17) описує релятивістський, так званий поперечний, ефект Доплера.
Для довільного напрямку спостереження релятивістська формула для зміни частоти v, яка враховує поперечний ефект Доплера має вигляд:
.
Існування поперечного ефекту Доплера було підтверджено в дослідах Айвсв і Стілуелла. У цих дослідах спостерігалось випромінювання моно енергетичного пучка іонізованих атомів водню для фіксованого значення кута . Величина зміщення спектральної лінії НВ при спостереженнях з високою точністю збігалася з теоретично обчисленою за формулою
(13). Це доводить, що в системі відліку, зв’язаний з рухомими іонами, час протікає повільніше, ніж у системі, зв’язаній з лабораторією.
2. Застосування
Цим відкриттям Доплер зробив великий внесок в розвиток науки та техніки, зокрема це:
· Доплерівський радар - радар, який вимірює зміну частоти сигналу відображеного від об’єкта. За зміною частоти обраховується радіальна складова швидкості об’єкта(проекція швидкості на пряму, яка проходить через об’єкт і радар). Доплерівські радари широко застосовуються в різних областях: для визначення швидкості літаючих апаратів, кораблів, автомобілів, гідро метеорів (наприклад, хмар), морських і річкових течій, а також інших об’єктів.
· Асторонмія – по зміщенню ліній спектру визначають швидкусть руху зірок. За допомогою ефекту Доплера за спектром небесних тіл визначається їх променева швидкість. Зміна довжин хвиль світлових коливань призводять до того, що всі спектральні лінії в спектрі джерела зміщуються в сторону довгих хвиль, якщо променева швидкість його направлена від спостерігача (червоне зміщення), і в сторону коротких, якщо напрям променевої швидкості – до спостерігача. Якщо швидкість джерела мала в порівняно з швидкість світла, то променева швидкість рівна швидкості світла помноженій на зміну довжини хвилі будь-якої спектральної лінії і поділеній на довжину хвилі цієї ж лінії в рухомому джерела.
· Також за збільшенням ширини ліній спектра визначають температуру зірок.
· Неінвазивний вимір потоку рідини – за допомогою ефекту Доплера вимірюють швидкість потоку рідин. Перевага цього методу полягає в тому, що не потрібно поміщати датчики безпосередньо в потік. Швидкість визначається за розсіянням ультразвуку на неоднорівдностях середовища.
· Автосигналізації – для виявлення рухомих об’єктів поблизу і в середині автомобіля.
