Если сопротивление контура равно нулю, то указанный процесс периодического превращения электрической энергии в магнитную и обратно будет продолжаться неограниченно долго, и мы получим незатухающие электрические колебания.
При этом изменение заряда конденсатора с течением времени выражалось бы кривой (а. рис.3), которая есть синусоида. По такому закону изменялось бы и напряжение на конденсаторе и сила тока в контуре и колебания были бы гармоническими.
Рис. 3 Затухание электрических колебаний
В действительности же сопротивление контура всегда не равно нулю. Вследствие этого энергия, первоначально запасенная в контуре, непрерывно расходуется на выделение тепла Ленца - Джоуля, так что интенсивность электрических колебаний постепенно уменьшается, и в конце концов колебания прекращаются вовсе. Поэтому на экране осциллографа мы видим кривую (б) затухающие электромагнитные колебания. Если увеличить сопротивление контура, то затухание колебаний увеличивается (в).
В связи с изложенным отметим, что периодическими называется такие процессы, в которых изменяющиеся физические величины через определенные промежутки времени принимают одинаковые значения:
Так, гармонические колебания, изображаемые кривой (а), есть периодический процесс, имеющий совершенно определенный конечный период Т. Напротив, затухающие колебания, изображаемые кривыми б и в на рис.3, не имеют конечного периода (Т = ∞) и поэтому, строго говоря, не является периодическим процессом. Тем не менее, если затухание мало, небольшой отрезок кривых б и в можно приближенно рассматривать как отрезок соответствующей синусоиды и говорить о затухающих колебаниях как о гармонических колебаниях, амплитуда которых постепенно уменьшается.
Для количественной характеристики затухание пользуется тем, что отношение двух последовательных амплитуд qn и qn+1 на рис. 3б остается постоянным в течение всего процесса. Натуральный логарифм этого отношения принимают за меру затухания колебаний и называют логарифмическим затуханием.
Если постепенно увеличивать сопротивление контура r, то затухание колебаний увеличивается и логарифмически растет.
Когда сопротивление превышает некоторое определенное для данного контура значение rк, колебания не возникают вовсе и разряд описывается кривой (г). В этом случае заряд конденсатора уменьшается монотонно, сначала медленно, а затем с большей скоростью, и асимптотически стремится к нулю. При дальнейшем увеличении сопротивления эта кривая постепенно переходит в кривую (д).
Сопротивление r k называется критическим сопротивлением контура. Оно зависит от величины емкости и индуктивности контура. Для возможности электрических колебаний, следовательно, необходимо, чтобы сопротивление контура r было меньше r k. При r > rk имеем апериодический разряд.
Отметим, что рассмотренные особенности разряда в электрическом колебательном контуре совершенно аналогичны особенностям механической колебательной системы, обладающей трением.
Механические колебания, возникающие под действием сил, развивающихся в самой колебательной системе, называются собственными колебаниями. Они возникают при всяком нарушении равновесия колебательной системы. Подобно этому, электрические колебания, происходящие под действием процессов в самом колебательном контуре, получили название собственных электрических колебаний.
Пользуясь аналогией между механическими и электрическими колебаниями, можно просто вычислить период электрических колебаний, не прибегая к точной теории. Из механики известно, что период колебаний груза на пружине выражается формулой:
где m – масса груза, а k – упругость пружины. В случае электрических колебаний роль массы играет индуктивность L, а роль упругости – величина, обратная емкости, т. е 1/C. Если мы заменим m на L, а k на 1/C, находим:
Видно если изменять емкость конденсатора или величину индуктивности, можно легко продемонстрировать влияние L и C на период колебаний.
Уравнения собственных электрических колебаний (в отсутствие затухания и при наличии затухания)
Электрические колебания – это колебания q, I и U. Возбудителями электромагнитных колебаний является электрические заряды, движущиеся с ускорением.
Условимся считать заряд конденсатора q положительным, если знаки зарядов на обкладках таковы, как показано на рис.4, а силу тока – положительной, если ток направлен против часовой стрелки.
Рис.4 Электрические колебания в контуре постоянные
Согласно второму закону Кирхгофа сумма падений напряжения в контуре равна сумме действующих в нем ЭДС. В нашем случае имеются два падения напряжения: на сопротивлении r, равное ri, и напряжение Uc на конденсаторе, которое противоположно по закону падению ri. Кроме того, имеется ЭДС самоиндукции, которая равна . Поэтому
(1)
Далее, напряжение на конденсаторе равно:
(2)
а сила тока связана с зарядом конденсатора соотношением
(3)
Знак минус в последнем соотношении стоит потому, что выбранное положительное направление i соответствует уменьшению заряда конденсатора.
Если рассмотреть теперь реальный контур, сопротивление которого не равно нулю. В этом случае колебания описываются полным дифференциальным уравнением.
(4)
Решение этого уравнения имеет различный вид в зависимости от соотношения между коэффициентами.
Предположим сначала, что
(5)
тогда решение есть:
(6)
Здесь А и φ – по-прежнему постоянные, значения которых определяются начальными условиями, величина же ω равна:
(7)
В том, что (5) совместно с выражением (6) действительно является решением уравнения (4), проще всего можно убедиться, подставляя (6) в (4).
Полученное решение есть аналитическое выражение кривых затухающих колебаний б и в на рис.3. Кривая (в) соответствует большему значению коэффициента α. То есть решение формулы (6) можно истолковать как гармоническое колебание с круговой частотой ω и с амплитудой, которая не остается постоянной, а непрерывно уменьшается с течением времени. Показатель α называется коэффициентом затухания колебаний.
Вынужденные электрические колебания. Переменные токи
В данной главе ограничимся только цепями с сосредоточенными емкостями и индуктивностями и будем считать переменные токи. Иными словами, будем предполагать, что время τ, в течение которого электрические величины принимают установившиеся значения, мало по сравнению с периодом колебаний Т, и поэтому будем применять к мгновенным значениям всех электрических величин законы постоянного тока.
Далее, мы будем рассматривать только такие токи, сила которых меняется по синусоидальному закону:
Это объясняется несколькими причинами. Во-первых, как мы знаем все технические генераторы переменных токов, имеют ЭДС, изменяющуюся по закону, очень близкому к синусоидальному, и потому создаваемые ими токи практически являются синусоидальными. Вторая причина заключается в том, что теория синусоидальных токов особенно проста и вследствие этого на примере таких токов можно особенно просто выяснить основные особенности электрических колебаний.
Электрические лампы в наших квартирах и на улице, холодильник и пылесос, телевизор и магнитофон работают, используя энергию электромагнитных колебаний.
На применении электромагнитных колебаний основана работа электромоторов, приводящих в действие станки на заводах и фабриках, движущих электровозы.
Во всех этих примерах речь идет об использовании переменного электрического тока. Переменный электрический ток в энергетических электрических цепях является результатом возбуждения в них вынужденных электромагнитных колебаний. Эти вынужденные колебания создаются генераторами переменного тока, работающими на электростанциях.
Переменный ток – это по существу вынужденные колебания электрических зарядов в проводнике под действием приложенной переменной ЭДС.
Сопротивление в цепи переменного тока
Рассмотрим процессы, происходящие в проводнике, включенном в цепь переменного тока. Если индуктивность проводника настолько мала, что индукционные электрические поля оказываются пренебрежимо малыми, то движение электрических зарядов в проводнике определяется действием электрического поля, напряженность которого в проводнике пропорциональна напряжению между концами проводника.
Теперь рассмотрим случай, когда генератор переменного тока замкнут на внешнюю цепь, имеющую настолько малые индуктивность и емкость, что ими можно пренебречь. Положим, что в цепи имеется переменный ток.
Будем считать, что напряжение на зажимах цепи меняется по гармоническому закону:
Как и в случае постоянного тока, мгновенное значение силы тока прямо пропорционально мгновенному значению напряжения.
Рис. 5 Сопротивление в цепи переменного тока
И найдем, по какому закону изменяется напряжение между концами цепи а и б. Применяя к участку аRб закон Ома, тогда получим:
Таким образом, напряжение на концах участка изменяется также по закону синуса, причем разность фаз между колебаниями тока и напряжения равна нулю.
