Рис.2.
Если разрешенная зона заполнена не полностью, то электроны могут ускоряться и переходить под действием электрического поля на свободные уровни в пределах одной зоны. Такой материал — типичный металл. Металлическая проводимость образуется и при перекрытии заполненной энергетической зоны с незаполненной зоной.
Расчет эффективных масс плотности состояний для электронов и дырок.
Зона проводимости кремния представляет собой наложение трех ветвей E(k), одна из которых лежит значительно ниже других. Положение абсолютного минимума определяет дно зоны проводимости (Рис.3). Он лежит в направлении [100], поэтому всего имеется 6 эквивалентных минимумов энергии или 6 долин.
Рис.3.Зонная структура кремния.
Изоэнергетические поверхности около абсолютных минимумов представляют собой эллипсоиды вращения относительно большой полуоси, которая совпадает с направлением [100] (Рис.4)
Рис.4. Поверхности равной энергии в зоне проводимости кремния.
Зависимость энергии от к можно представить в виде
.
Опыты по циклотронному резонансу дают для компонентов тензора эффективной массы электрона в кремнии следующие значения: m1=m2=0,19m0; m3=0,98m0.
В соответствии с тем, что имеется 6 эллипсоидов равной энергии, плотность состояний, которая выражается для одного эллипсоида равенством
,
увеличится в 6 раз. Если учесть, что для кремния m1=m2, то
,
а эффективная масса плотности состояний для электронов с учетом значений m1=0,19m0 и m3=0,98m0 будет:
. (1)
Следовательно, у кремния все 6 эллипсоидов изоэнергетической поверхности зоны проводимости можно заменить одной сферической поверхностью с эффективной массой плотности состояний для электронов, равной 1,08m0.
Для валентной зоны максимум энергии находится в центре зоны Бриллюэна к=0 для всех трех полос, при этом в этой точке все три зоны смыкаются, так что энергия в центре зоны Бриллюэна оказывается вырожденной(Рис.5).
Рис.5. Поверхности равной энергии в валентной зоне кремния.
Учет спин-орбитального взаимодействия (тонкой структуры уровней) приводит к тому, что вырождение частично снимается. Связь между энергией и волновым вектором задается формулой:
,
,
где и - энергии, которые соответствуют тяжелым и легким дыркам соответственно, а - отщепленным дыркам, скалярные эффективные массы которых можно посчитать по формулам:
, .
- безразмерные константы.
Опыт дает mT*=0,49m0, mЛ*=0,16m0.
Плотность состояний будет определяться суммой плотности состояний в зонах тяжелых и легких дырок:
.
Изоэнергетические поверхности обеих зон можно заменить одной приведенной сферой с плотностью состояний
,
для которой эффективная масса плотности состояний для дырок равна:
. (2)
Расчет уровня Ферми и концентрации носителей заряда в примесном полупроводнике.
Рассмотрим полупроводник, в который введена примесь одного вида, например, донорная. Уравнение нейтральности для такого полупроводника принимает вид
.
Для перевода электрона из валентной зоны в зону проводимости необходима энергия, равная ширине запрещенной зоны, в то время как для перевода электрона с уровня примеси в зону проводимости необходима энергия, равная энергии ионизации примеси, которая много меньше ширины запрещенной зоны. Поэтому при низкой температуре основную роль будут играть переходы электронов с примесного уровня, следовательно p<<ND+. Неравенство сохранится до тех пор, пока вся примесь не будет ионизована. Однако с ростом температуры произойдет ионизация примеси, и рост концентрации электронов n будет происходить вместе с ростом концентрации дырок p. При больших температурах p>>ND+=ND, и полупроводник станет собственным.
Область низких температур.
, или n=pD.
Решая уравнение, получим
.
Из этих соотношений можно найти уровень Ферми:
.
Выражение для концентрации электронов будет иметь вид
.
С ростом температуры стремится к единице, Nc возрастает и может стать больше ND, однако при достаточно малых температурах может быть выполнено неравенство
,
и выражение для положения уровня Ферми записывается в виде:
.
При T=0
,
т.е. уровень Ферми лежит посередине между дном зоны проводимости и примесным уровнем. При повышении температуры уровень Ферми повышается, проходит через максимум, а затем опускается.
При 2NC=ND уровень Ферми снова находится в середине между EC и ED.
Концентрация электронов
.
Рассмотрим противоположный случай:
,
тогда для уровня Ферми будет справедливым выражение:
.
С ростом температуры уровень Ферми опускается. Концентрация электронов для этого случая: n=ND, т.е. концентрация электронов не зависит от температуры и равна концентрации примеси. Эта область температур носит название области истощения примеси. Переход от области примесной проводимости к области истощения происходит при температуре насыщения Ts. Ts — температура, при которой F=ED, ее можно определить из условия
.
Отсюда
.
Область высоких температур.
С ростом температуры концентрация дырок возрастает и может стать сравнимой с концентрацией электронов, тогда уравнение электронейтральности будет иметь вид: .
Решая это уравнение, получим
.
Учитывая связь между n и F и предыдущую формулу, то можно записать выражение для уровня Ферми в области высоких температур:
.
По мере приближения уровня Ферми к середине запрещенной зоны концентрация дырок возрастает при практически неизменной концентрации электронов. При дальнейшем росте концентрации дырок будет происходить и рост концентрации электронов, достигается равенство n=p, и полупроводник из примесного превращается в собственный. Температура, при которой происходит этот переход, называется температурой истощения примеси.
Условием перехода будет выступать равенство p=ND или n=2ND, откуда можно найти эту граничную температуру:
,
или
.
Концентрация, при которой наступает полное вырождение полупроводника (), находится из соотношения:
и будет равна
.
Вывод формул для дырочного полупроводника аналогичен выводу для электронного.
Основные формулы для дырочного полупроводника:
Зависимость концентрации дырок от температуры в области низких температур:
Зависимость уровня Ферми от температуры в области низких температур:
Зависимость концентрации дырок от температуры в области высоких температур:
Зависимость уровня Ферми от температуры в области высоких температур:
Температура насыщения примеси:
Температура истощения примеси:
Концентрация акцепторов, при которой наступает полное вырождение:
.
Расчет времени жизни носителей заряда.
Реальные полупроводниковые материалы содержат обычно примеси нескольких типов, каждая из которых может создавать один или несколько уровней в запрещенной зоне полупроводника. Дефекты решетки, обычно нейтральные в состоянии термодинамического равновесия и способные захватывать подвижные носители заряда одного знака и освобождать их, называются ловушками захвата. Ограничимся рассмотрением случая, когда в полупроводнике имеется один тип ловушек, создающий энергетический уровень.
Время жизни носителей заряда определяется формулой
.
В случае малого уровня возбуждения, когда , время жизни неравновесных носителей заряда имеет вид:
,
,,
где Sp и Sn – сечения захвата электронов и дырок,
Nt – концентрация рекомбинационных центров,
VT – тепловая скорость.
Расчет s(T). Формулы для подвижности.
Удельная электропроводность примесных полупроводников определяется по формуле s=qnmn для донорного и по формуле s=qpmp для акцепторнрго полупроводника. Для вычисления s(T) необходимо найти температурную зависимость подвижности.
Кремний является неполярным полупроводником. Для него существуют два основных механизма рассеяния, которые существенно влияют на подвижность, а именно рассеяние на акустических фононах и на ионизированных примесях.
При низких температурах, когда число фононов в кристалле сильно уменьшено охлаждением, подвижность определяется рассеянием на ионизованных примесных центрах.
Каждый ионизованный центр в кристалле представляет собой неподвижный отрицательный или положительный заряд, который может отклонить траекторию пролетающего электрона.
Подвижность, связанная с рассеянием на ионах примеси, описывается формулой Бруккса-Херринга:
,
где NI – концентрация ионов примеси, n – концентрация электронов проводимости.
При высоких температурах в Si электроны рассеиваются преимущественно продольными акустическими фононами.
При возникновении продольных акустических колебаний происходит смещение центра тяжести элементарной ячейки и происходит упругая деформация кристаллической решетки, которая приводит к изменению положения краев зоны проводимости и валентной зоны, что адекватно возникновению на пути движения носителей заряда потонциального барьера и рассеянию на нем носителей заряда.
Подвижность, связанная с рассеянием на акустических фононах описывается формулой Бардина-Шокли:
,
где D-плотность; V-скорость звука; E1 – акустический потенциал деформации.
После подстановки коэффициентов получаем для кремния:
, см2/В*с.
Результирующая подвижность .
Расчет зависимости RH(T).
Рассмотрим образец для Холловских измерений (Рис.6).
Рис.6. Схема Холловских измерений.
Внешнее поле Ex приложено вдоль оси x. Перпендикулярно ему (вдоль оси z) направлено магнитное поле Bz, а с верхнего и нижнего контактов снимается так называемое холловское напряжение VH. Для определенности будем считать образец дырочным (p-типа). Сила Лоренца qvx*B2 отклоняет дырки к нижней поверхности образца, где они частично накапливаются, что приводит к возникновению вертикального электрического поля Eу — холловского поля, которое компенсирует действие силы Лоренца на дырки и обеспечивает равенство нулю вертикального тока Jу. Холловское поле пропорционально плотности продольного тока Jx и напряженности магнитного поля Bz. Его величину находят, измеряя холловское напряжение VH: Ey=Vy/W=RHJxBz,
где RH—коэффициент Холла, определяемый выражениями
,
.
Параметр t — среднее время свободного пробега носителей. Его величина зависит от энергии носителей E. В частности, в полупроводниках со сферическими изоэнергетическими поверхностями при рассеянии на фононах и при рассеянии на ионизированных примесях. В общем случае можно считать что , где а и s— постоянные.
Для рассмотренных механизмов рассеяния коэффициент r оказывается равным 3p/8 = 1,18 при рассеянии на фононах и 315p/512 = 1,93 при рассеянии на ионизированных примесях.
Холловская подвижность mH определяется как произведение коэффициента Холла на проводимость:
.
Ее следует отличать от дрейфовой подвижности mn (или mp). Для полупроводников с ярко выраженным типом пооводимости (n>>p или р >> п) получаем
и .
Следовательно, в этих случаях из холловскнх измерений можно непосредственно определить и тип проводимости (электроны или дырки), и концентрацию носителей.
При построении температурной зависимости коэффициента Холла
необходимо учитывать температурную зависимость концентрации носителей заряда от температуры и различные механизмы рассеяния в области низких и высоких температур, определяющие холл-фактор AH.
Список литературы:
1. Дж. Займан Электроны и фононы – изд-во иностранной литературы, 1962г.
2. Киреев П.С. Физика полупроводников – М.: Высшая школа, 1975г.
3. Шалимова К.В. Физика полупроводников – М.: Энергия, 1976г.
4. Горбачев В.В., Спицына Л.Г. Физика полупроводников и металлов – М.:Металлургия, 1982г.
5. Блейкмор Дж. Физика твердого тела. – М.:Мир, 1988.
6. Мартынов В.Н. Лекции по физике твердого тела за V семестр.
Страницы: 1, 2
