Интегрирование уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил
«Интегрирование уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил»
Задание: На наклонном участке АВ трубы на груз D, массой m действуют сила тяжести и сила сопротивления R, расстояние от точки А, где V=V0, до точки В, равно L. На горизонтальном участке ВС на груз действует сила тяжести и переменная сила F = F(t).
Дано:
m = 4, кг
V0 = 12, м/с
Q = 12, Н
R = 0,8V2, Н
L = 2.5, м
Fx = -8cos(4t), Н
Определить:
Закон движения груза на участке ВС ( x = f(t) ).
Решение:
1. Пусть груз – материальная точка. Изобразим и . Проведем ось Ax и составим дифференциальное уравнение в проекции на эту ось:
Далее находим:
Учитывая, что Vx = V:
или
Выведем:
где g = 10 м/с.
Тогда:
Разделяя переменные и интегрируя:
По Н.У. при x = 0: V = V0, откуда:
;
Получим:
;
Откуда:
и
В результате:
Полагая, что x=L=2.5 и заменяя k и n определим VB:
2. Рассмотрим движение на BC.
Рассмотрим движение ВС (V0 = V). Изобразим , , и .
или , где
При t=0; V = V0 = VB = 8.29 м/с:
С2 = VB = 8.29 м/с.
К-3 Вариант 18
авр
А
aA Cv
авр
ac
ацс
Eoa aцс C
aB
Woa
aB О В
Y
aB
X
Дано: ОА=10 АВ=10 АС=5 Woa=2 EOA=6
Найти: Ускорения во всех точках
Va=Woa*OA=20
Va=Wao*Acv=Wab*AB*sin45
Wab=Va/Cva=4/21/2
Vb=Wab*BCv=Wab*AB*cos45=20
Vc=Wab*CCv=21/22*BC/2ctg45=521/2/2
aAbp= Eoa*OA=60
aAцс=WOA2*OA=40
aBцс= WOA2*AB=80
aB= aAbp +aAцс +aABЦС +aABbp
X: 21/2/2*aB= aAцс +aABBP
Y: 21/2/2*aB= aABP +aABЦС
aABBP =========== ==MOI===\KOI0-U=140-40=100
EAB=100/10=10
aB= aAвp +aAцс +aACЦС +aACвp
aACвp = EAB*АВ=50
aACЦС= WAВ2*АС=40
X: 21/2/2*ac= aAцс +aABBP
Y: 21/2/2*ac= aABP +aABЦС
aC=( acx2 +acy2)1/2
«Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения».
Задание: По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и
для момента времени t = t1 (c) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а так же радиус кривизны траектории.
Исходные данные:
Решение:
Для нахождения траектории точки, возведем в квадрат и приравняем левые части уравнений движения, предварительно выделив из них cos и sin соответственно, в результате получим:
- траектория точки в координатной форме.
Траектория представляет из себя окружность радиуса r=3 см.
Найдем проекции скорости и ускорения на оси координат дифференцируя по времени уравнения движения:
По найденным проекциям определяются модуль скорости и модуль ускорения точки:
Найдем модуль касательного ускорения точки по формуле:
-выражает проекцию ускорения точки на направление ее скорости. Знак «+» при означает, что движение точки ускоренное, направления и совпадают, знак «-» значит, что движение замедленное.
Модуль нормального ускорения точки: ; Т.к. радиус кривизны известен, но в качестве проверки применим другую формулу для нахождения модуля нормального ускорения:
Когда найдено нормальное ускорение, радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:
Результаты вычислений занесем в таблицу (для момента времени t = t1 = 1 c):
|
Координаты (см) |
Скорость (см/с) |
Ускорение (см/с2) |
кривизны (см) |
|||||||
|
x |
y |
Vx |
Vy |
V |
Wx |
Wy |
W |
Wτ |
Wn |
|
|
2.5 |
5.6 |
-5.4 |
3.2 |
6.3 |
-12 |
-8.3 |
14.6 |
5.5 |
13.5 |
2.922 |
Найденный радиус кривизны совпадает с определенным из уравнения траектории точки.
На рисунке показано положение точки М в заданный момент времени
Дополнительное задание. Определение скорости и ускорения точки при ее движении по пространственной траектории. Для этого к двум уравнениям движения добавляется 3-е уравнение.
Исходные данные:
Решение:
Определим пространственную траекторию точки в координатной форме:
- траектория точки в координатной форме.
Найдем проекции скорости и ускорения на оси координат дифференцируя по времени уравнения движения:
По найденным проекциям определяются модуль скорости и модуль ускорения точки:
Найдем модуль касательного ускорения точки по формуле:
-выражает проекцию ускорения точки на направление ее скорости. Знак «+» при означает, что движение точки ускоренное, направления и совпадают, знак «-» значит, что движение замедленное.
Модуль нормального ускорения точки: ; Т.к. радиус кривизны не известен, применим другую формулу для нахождения модуля нормального ускорения:
Когда найдено нормальное ускорение, радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:
Результаты вычислений занесем в таблицу (для момента времени t = t1 = 1 c):
|
Координаты (см) |
Скорость (см/с) |
Ускорение (см/с2) |
кривизны (см) |
||||||||||
|
x |
y |
z |
Vx |
Vy |
Vz |
V |
Wx |
Wy |
Wz |
W |
Wτ |
Wn |
|
|
2.5 |
5.6 |
3.5 |
-5.4 |
3.2 |
3.5 |
7.2 |
-12 |
-8.3 |
0 |
14.6 |
5.3 |
15.5 |
3.6 |
«Определение реакций опор твердого тела».
Задание: Найти реакции опор конструкции.
Дано:
Q = 6, кН
G = 2, кН
a = 60, см
b = 40, см
c = 60, см
Определить:
Реакции опор конструкции.
Решение:
К раме ABCD приложены сила тяжести , сила , реакция стержня DC и реакции опор A и B. Реакция шарового шарнира А определяется тремя составляющими: , а реакция петли В двумя: .
Из этих сил – шесть неизвестных. Для их определения можно составить 6 уравнений равновесия.
Уравнения моментов сил относительно координатных осей:
Уравнения проекций сил на оси координат:
Из этих уравнений находим: решая уравнения, находим неизвестные реакции.
Результаты вычислений заносим в таблицу:
|
Силы, кН |
|||||
|
S |
XA |
YA |
ZA |
XB |
ZB |
|
1.15 |
-6.57 |
0.57 |
-1 |
-12.57 |
2 |
Проверка:
Проверка показала, что реакции опор твердого тела найдены правильно.
В 18. Д – 1.
Дано: VA = 0, a = 30°, f = 0,1, ℓ = 2 м, d = 3 м. Найти: h и t.
Решение: Рассмотрим движение камня на участке АВ. На него действуют силы тяжести G, нормальная реакция N и сила трения F.Составляем дифференциальное уравнение движения в проекции на ось X1 : = G×sina - F , (F = f×N = fG×cosa) Þ = g×sina - fg×cosa,
Дважды интегрируя уравнение, получаем:
= g×(sina - f×cosa)×t + C1 , x1 = g×(sina - f×cosa)×t2/2 + C1t + C2 ,
По начальным условиям (при t = 0 x10 = 0 и = VA = 0) находим С1 и С2 : C1 = 0 , C2 = 0,
Для определения VB и t используем условия: в т.B (при t = t) , x1 = ℓ , = VB . Решая систему уравнений находим:
x1 = ℓ = g×(sina - f×cosa)×t2/2 Þ 2 = 9,81×(sin30° - 0,1×cos30°)×t2/2 , Þ t = 0,99 c ,
= VB = g×(sina - f×cosa)×t VB = 9,81×(sin30° - 0,1×cos30°)×0,99 = 4,03 м/с ,
Рассмотрим движение камня на участке ВС.На него действует только сила тяжести G. Составляем дифференциальные уравнения движения
в проекции на оси X , Y : = 0 , = G ,
Дважды интегрируем уравнения: = С3 , = gt + C4 ,
x = C3t + C5 , y = gt2/2 + C4t + C6 ,
Для определения С3 , C4 , C5 , C6 , используем начальные условия (при t = 0): x0 = 0 , y0 = 0 , = VB×cosa , = VB×sina ,
Отсюда находим : = С3 , Þ C3 = VB×cosa , = C4 , Þ C4 = VB×sina
x0 = C5 , Þ C5 = 0 , y0 = C6 , Þ C6 = 0
Получаем уравнения : = VB×cosa , = gt + VB×sina
x = VB×cosa×t , y = gt2/2 + VB×sina×t
Исключаем параметр t : y = gx2 + x×tga ,
2V2B×cos2a
В точке С x = d = 3 м , у = h. Подставляя в уравнение VB и d , находим h: h = 9,81×32 + 3×tg30° = 5,36 м ,
2×4,032×cos230°
