Если происходит встречный центральный абсолютно упругий удар (скорости шаров до удара имеют противоположные знаки), то необходимо учитывать знак скорости при вычислении соответствующих величин в выражениях (110), (111). При равенстве масс шаров (т1 = т2 = т) из (110) и (111) следует
U1=V2, U2=V1, (112)
т.е. первый шар приобрел после удара скорость, равную скорости второго шара, и наоборот. Если до столкновения один из шаров (например, второй) покоился (V2 = 0), то U1 = 0; U2 = V1).
После абсолютно неупругого удара тела совершают совместное движение (рис. 26), а кинетическая энергия соударяющихся тел частично переходит в другие виды энергии и тела приобретают остаточную деформацию. При этом закон сохранения механической энергии системы не выполняется. Скорость U' после удара, как известно, можно определить, используя закон сохранения импульса и считая, что внешние силы отсутствуют, а масса системы после удара - т1+ т2:
Если первоначально тело было поднято на высоту h1, то в момент удара его кинетическая энергия равна исходной потенциальной энергии (рис. 27): .
Скорости шаров после взаимодействия можно определить из условий
где h2 и h3 - высота подъемов второго и первого шара после взаимодействия.
Из этих соотношений следует
1) По измеренному значению угла α начального отклонения правого шара вычислить по формулам (114) и (116) его скорость U1 при прохождении им положения равновесия.
2) Определить теоретические значения скоростей шаров после взаимодействия для случаев абсолютно упругого удара (формулы (110), (111) и абсолютно неупругого удара (формула (113)).
3) По измеренным углам отклонения шаров после их взаимодействия (β и γ) вычислить по формулам (115), (116) действительные значения скоростей шаров.
4) Сравнить теоретические и экспериментальные значения скоростей, дать объяснение полученным результатам.
Определение работы деформации при ударе шаров
При неупругом ударе часть механической анергии тел переходит в другие формы энергии (например, тепловую) и затрачивается на работу о статочной, деформации поверхности шаров. В этом случае полная энергия системы не изменяется, кинетическая энергия шаров после удара будет меньше, чем до удара.
Уменьшение механической энергии системы ∆W с достаточной степенью точности можно считать равным работе сил, создающих остаточную деформацию.
По закону сохранения энергии при столкновении реальных тел следует учесть работу деформации тел A, т.е. ту часть общей энергии, которая необратимо расходуется на совершение невосстанавливающейся деформации и преобразуется в энергию теплового движения молекул вещества:
Это уравнение позволяет определить работу деформации шаров равных масс (m1 = m2 = m), закрепленных на нерастяжимых нитях длины R. Если второй шар покоится (V2 = 0), а первый - отклонен на угол α от вертикального положения (рис. 27), то (117) преобразуется к виду:
A=∆W=mg(h1-h2-h3), (118)
где h2 и h3 - высота подъема второго и первого шара после удара. С учетом (116)
A=mgR(cosβ+cosγ-cosα-1), (119)
1) Вычислить кинетическую энергию шара в момент удара по измеренному значению угла α первоначального отклонения первого шара.
2) По измеренным значениям углов α, β и γ и длины подвеса шаров R вычислить по формуле (119) изменение механической энергии системы - работу деформации.
Определение коэффициента восстановления тел при ударе
Степень "неупругости" удара определяется отношением нормальных составляющих скоростей тела после его удара о неподвижную стенку Un (после удара) и V1 (до удара). Это отношение называется коэффициентом восстановления:
В качестве неподвижной стенки можно использовать шар достаточно большой массы или любое плоское массивное тело. С учетом, что
где h3 - высота подъема шара после его удара о массивную неподвижную стенку, коэффициент восстановления
Используя связь высоты подъема шара с углом отклонения нити от положения равновесия, окончательно получаем
По измеренным значениям α и γ1 вычислить коэффициент восстановления E и результаты занести в таблицу.
Определение силы взаимодействия тел
Силу взаимодействия двух тел можно определить исходя из основного уравнения динамики Поступательного движения:
где F - средняя сила удара; ∆t - время взаимодействия соударяющихся тел; ∆V - изменение скорости тела, возникающее в результате удара.
Так как скорость первого шара после его столкновения с покоящимся шаром отлична от нуля и направлена в ту же сторону, что и скорость до удара, то ∆(mV) = mV1 - mU1 и, следовательно, сила взаимодействия шаров
С учетом (114)-(116) результат (123) преобразуется к виду
1) По измеренным значениям длины подвеса R, углов α и γ начального и конечного отклонений первого шара и времени взаимодействия шаров ∆t вычислить по формуле (124) силу взаимодействия шаров. Результаты занести в таблицу.
2) Предполагая, что площадь контакта взаимодействующих шаров составляет S = 0,1 мм, найти величину давления, действующего на стенку шара.
Контрольные вопросы и задания
1. Что называется ударом?
2. Какой удар называется абсолютно упругим? Приведите пример.
3..Какой удар называется абсолютно неупругим? Приведите пример.
4. Запилите закон сохранения анергии при ударе.
5. Выведите формулы для определения скорости шаров после абсолютно упругого и абсолютно неупругого ударов.
6. Запишите закон сохранения импульса при центральном ударе шаров.
7. Выполняется ли закон сохранения механической анергии при абсолютно неупругом ударе?
8. Выведите формулу для определения работы деформации тел при ударе.
9. ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Цель работы
Исследовать явления резонанса и биений в колебательных механических системах.
Приборы и принадлежности
Прибор для изучения колебаний связанных систем.
Описание экспериментальной установки
На основании 1 установки (рис. 28) смонтирован блок управления и измерений 2, в котором находится электродвигатель. На валу электродвигателя закреплен ведущий стержень 3, движения которого возбуждают колебания механической системы. На колонке 4 закреплен кронштейн с фотоэлектрическим датчиком 5 и измерительной шкалой 6. Связанная система представляет собой маятник 8 с грузом 7 и стержень 9, жестко скрепленный скобой 10 со стержнем 3. Связь между маятником и стержнем осуществляется П-образной скобой 11, снабженной пружинами 12.
Колебания возбуждаются вращением электродвигателя. Последний, перемещая стержень 3, связанный скобой 10 и пружинами 12 с маятником 8, приводит маятник в состояние колебаний. Все стержни закреплены на подвесках 13,.установленных на неподвижной общей оси 14.
Порядок выполнения работы
Определение собственной частоты колебаний маятника.
Собственная частота колебаний маятника в основном зависит от параметров (длины, массы и формы закрепленного груза, жесткости и места закрепления пружин) и незначительно - от амплитуды колебаний, если она невелика.
* На выполнение работы запланировано четыре академических часа.
Последовательность выполнения:
1) Включить прибор нажатием клавиши "Сеть" и убедиться в свечении индикатора.
2) Отклонить маятник на 5-10° от положения равновесия и отпустить его.
3) Нажать клавишу "Сброс".
4) После совершения 10-12 колебаний нажать клавишу ''Стоп". Измерительным блоком при этом фиксируется количество полных колебаний и их время.
В) Определить частоту собственных колебаний маятника
где n - число колебаний, t - время.
Изучение явления резонанса
Все реальные колебательные системы диссипативные. Энергия их механических колебаний постепенно расходуется на работу против сил трения, поэтому свободные колебания всегда затухают. В случае небольших скоростей движения силы, вызывающие затухание механических колебаний, пропорциональны величине скорости. Таким образом, при отсутствии внешней силы на маятник будут действовать две силы: упругая, пропорциональная величине смещения маятника из положения равновесия, и сила трения, пропорциональная скорости движения маятника. Уравнение движения маятника
где m - масса маятника; x - координата, характеризующая положение маятника (угол); r - коэффициент сопротивления; К - коэффициент упругости.
Решение (126) показывает, что собственно колебания маятника являются затухающими:
где β - коэффициент затухания, ; w* - собственная циклическая частота колебаний диссипативной системы, ;
w0 - частота собственных колебаний маятника при отсутствии сил трения в системе,
Если коэффициент затухания мал (β<<w0), то
Таким образом, затухающие колебания можно рассматривать как колебания с постоянными частотой w* и периодом
амплитуда которых уменьшается со временем по экспоненте (рис. 29)
Как следует из формулы (130) и рис. 30, затухание колебаний увеличивается с ростом величины β.
Для характеристики затухающих колебаний вводится кроме коэффициента затухания β логарифмический декремент затухания δ, равный натуральному логарифму отношения двух амплитуд колебаний, отстоящих друг от друга на период колебаний:
Если на маятник, кроме упругой силы и силы трения, действует еще внешняя периодическая сила, то уравнения движения
где F0 - амплитудное значений вынуждающей силы; w - угловая частота внешней силы.
Решение этого уравнения приводит к следующим выражениям для величины смещения x , сдвига фаз φ и амплитуды колебаний А0:
x=A0sin(wt+φ); (133)
Если затухание мало, то при приближении частоты внешнего воздействия к собственной частоте амплитуда колебаний резко возрастает. Это явление называется резонансом. При частоте
амплитуда вынужденных колебаний имеет наибольшее значение. Чем меньше коэффициент затухания, тем более резко выражено явление резонанса (рис. 30).
По мере возрастания коэффициента затухания β явление резонанса проявляется все слабее и, наконец, исчезает при
Если затухание невелико (β и w0), то резонансная частота
Сравнивая уравнения (128) и (137), отметим, что wрез < w*,
где w* - собственная частота колебаний диссипативной системы.
При этом
По сдвигу резонансной частоты wрез относительно w* можно определить коэффициент затухания
учитывая, что
где f* и fрез – линейные частоты колебаний, получаем
Последовательность выполнения:
1) Включить прибор нажатием клавиши "Сеть".
2) Вывести в крайнее левое положение потенциометр "Частота колебаний".
3) Включить двигатель тумблером "Включение двигателя".
4) Установить минимальную частоту колебаний стержня 3 потенциометром "Частота колебаний" (см. рис. 29).
5) Нажать клавишу "Сброс'', после подсчета прибором времени 10 колебаний стержня 4 нажать клавишу "Стоп".
6) Вычислить частоту колебаний вынуждающего стержня.
где n - число колебаний; t - время.
7) Записать амплитуду колебаний маятника.
8) Произвести измерения в соответствии с пп. 5)-7), увеличивая частоту оборотов двигателя потенциометром "Частота колебаний", Построить зависимость амплитуды колебаний маятника 8 от частоты вынуждающей силы (частоты колебаний стержней 3 и 4). Отметить на оси частот полученное значение собственной частоты колебаний маятника.
9) Определить значение резонансной частоты fрез по данным графика. По найденным значениям резонансной частоты fрез и
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
