Операторный метод расчета переходных процессов в линейных цепях
Реферат
по курсу общая электротехника и электроника
На тему:
«Операторный метод расчета переходных процессов в линейных цепях»
Содержание
Введение
1. Применение преобразования Лапласа и его свойств к расчету переходных процессов
2. Переход от изображения к оригиналу. Формулы разложения
3. Законы цепей в операторной форме
4. Эквивалентные операторные схемы замещения
Список литературы
Введение
Электротехника - это наука о техническом (т.е. прикладном) использовании электрических и магнитных явлений. Большое значение электротехники заключается в том, что средствами электротехники
- эффективно получают и передают электроэнергию;
- решают вопросы
· передачи и преобразования сигналов и информации: звук человеческой речи преобразуют в электромагнитные колебания (телефон, радио);
· хранения информации (телеграф, радио, магнитная запись);
- выполняют математические операции: вычислительные машины с огромной скоростью выполняют любые математические операции, в том числе и решение сложных уравнений.
Теоретические основы электротехники заложены физикой (учением об электричестве и магнетизме) и математикой (методами описания и анализа электромагнитных явлений). Наряду с этом развитие электротехники привело к ряду новых физических понятий, новых формулировок физических законов, к развитию специальных математических методов, связанных с описанием и анализом типичных явлений, протекающих именно в электротехнических устройствах.
1 Применение преобразования Лапласа и его свойств к расчету переходных процессов
Этот метод основан на преобразовании Лапласа. Пусть f(t) – оригинал, а F(p) – изображение этого оригинала по Лапласу. Для сокращения применяют такие обозначения: f(t)F(p), F(p)=
Прямое преобразование Лапласа определяется интегралом:
,
Для большого числа функций составлена таблица соответствия изображения и оригинала, кроме того, знание свойств преобразований Лапласа позволяет по небольшому числу выученных изображений находить широкий класс изображений функций.
Основными свойствами являются:
1. Свойство линейности
=, ,
2. ,
3. .
Последними двумя свойствами очень удобно решать дифференциальные уравнения.
Смещение аргумента:
- ,
- .
Свертка:
- .
Предельные соотношения
Они позволяют не находя всего оригинала по изображению найти значение оригинала при t=0 и t→ ∞.
и .
Если известно изображение, то можно перейти к оригиналу одним из трех способов:
1) взять обратное преобразование;
2) взять таблицу;
3) воспользоваться формулами разложения.
Изображение стандартных функций:
1) Ступенчатое воздействие
,
.
2) Дельта-импульс
,
.
Если ступенчатая функция и δ-импульс заданы в момент t1 , используя теорему смещения, получают:
,
.
3)
Пусть α=jω, тогда:
,
с другой стороны по формулам Эйлера:
, .
Изображение синусоиды с нулевой начальной фазой:
,
.
2 Переход от изображения к оригиналу. Формулы разложения
Эти формулы позволяют найти оригинал, если изображение задано дробно-рациональной функцией:
Собственно формулу разложения можно применять только в том случае, когда высшая степень знаменателя выше высшей степени числителя. Если это не так, то сначала нужно поделить числитель на знаменатель, что и позволит привести F(p) к требуемому виду.
Пример:
,
.
Если m<n, то изображение записывают в виде: .
Характеристическое уравнение – выражение F2(p)=0 и, в зависимости от корней в оригинале, появляются соответствующего вида слагаемые, каждое из которых соответствует простейшей дроби.
Чтобы не искать коэффициенты дробей из систем уравнений, пользуются формулами разложения. Они имеют вид:
1) Каждому простому корню характеристического уравнения в оригинале, будет соответствовать слагаемое , где;
2) Среди корней есть пара комплексно сопряженных: , . Можно воспользоваться предыдущей формулой для каждого корня, но проверка показывает, что коэффициенты перед exp оказываются к.с.ч. и можно упростить процедуру, записывая ответ сразу для двух корней в виде: , где - корень с положительной мнимой частью.
Пример:
, ,
,
, .
3) Среди корней есть кратные или одинаковые, в этом случае для группы кратных корней получаются сложные выражения, но если таких корней всего два, им в оригинале будет соответствовать такая запись:
Пример:
,
Из примеров видно, что корню pх=0 в оригинале соответствует величина, которую в классическом методе называют принужденной составляющей. Используя все вышеизложенное, можно в таком порядке рассчитывать переходной процесс.
(1) В схеме до коммутации находят и .
(2) Для схемы после коммутации записывают полную систему уравнений Кирхгофа и применяют к ней прямое преобразование Лапласа. В результате получают систему операторных уравнений.
(3) Из этой системы находят изображение искомой величины и переходят к оригиналу. Так обычно поступают, когда вся схема описывается одним уравнением. В сложных цепях этот путь не эффективен, так как он позволит убрать только один недостаток классического метода (поиск начальных условий). Второй недостаток – уравнения можно писать только по законам Кирхгофа – остался. Чтобы и его убрать, формулируют в операторной форме законы цепей и строят операторные схемы замещения.
3 Законы цепей в операторной форме
Применим к законам Кирхгофа для мгновенных значений прямое преобразование Лапласа.
Пример:
В некоторой схеме для некоторого узла имеем уравнение: . Изображение источника легко находится (см. начало операторного метода). Например, если .
Пусть в некотором контуре выполняется уравнение:
,
.
Тогда применяя преобразования Лапласа, получим:
4 Эквивалентные операторные схемы замещения
Анализ полученных выражений позволяет раз и навсегда нарисовать операторные схемы замещения элементов, из которых можно строить операторную схему замещения всей послекоммутационной схемы.
Из примеров видно, что источник тока отображается изображением источника тока, а ЭДС – изображением источника ЭДС.
Если бы в схеме был управляемый источник , то . Аналогично с управляемым источником тока. Для учета взаимных индуктивностей можно поступить аналогично, при этом в схеме замещения появятся дополнительные источники ЭДС и .
Если же до коммутации в индуктивностях тока не было (расчет переходной и импульсной характеристики, передаточной функции), то никаких дополнительных источников не появится, а просто надо будет по прежним правилам учитывать напряжение взаимной индукции.
Пример:
С учетом сказанного, под операторным методом понимают такой порядок действий.
1) В схеме до коммутации рассчитывают и .
2) Рисуют операторную схему замещения цепи после коммутации.
3) Самым эффективным методом находят изображение той величины, которую надо найти.
4) Переходят от изображения к оригиналу.
Список литературы:
1. Теория электрических цепей: Методические указания к лабораторным работам / Рязан. гос. радиотехн. акад.; Сост.: С.М.Милюков, В.П.Рынин; Под ред. В.П.Рынина. Рязань, 2002. 16 с.,2004. 20 с. (№3282, №3624)
2. Основы теории цепей: Методические указания к курсовой работе / Рязан. гос. радиотехн. акад.; Сост.: В.Н.Зуб, С.М.Милюков. Рязань, 2005. 16 с.
3. Основы анализа и расчета линейных электрических цепей: Учеб. пособие/ Н.А.Кромова. –2-е изд., перераб. и доп.; Иван. гос. энерг. ун-т. –Иваново, 1999. -360 с.
4. Голубев А.Н. Методы расчета нелинейных цепей: Учеб. пособие/ Иван. гос. энерг. ун-т. –Иваново, 2002. -212 с.
5. Теоретические основы электротехники. / Г.И.Атабеков, С.Д.Купалян, А.В.Тимофеев, С.С.Хухриков.-М.: Энергия, 1979. 424 с.
6. М.Р.Шебес. Теория линейных электрических цепей в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1990. 528 с.
