Оптимизация профиля отражения частотных фильтров излучения с использованием модулированных сверхрешеток

ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОФИЛЯ ОТРАЖЕНИЯ ЧАСТОТНЫХ ФИЛЬТРОВ ИЗЛУЧЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
МОДУЛИРОВАННЫХ СВЕРХРЕШЕТОК

Содержание.[pic]

1. Введение. 3

2. Математический аппарат. 6

3. Немодулированные бинарные структуры. 11

4. Модулированные бинарные структуры. 16

1. . Ступенчато модулированные решетки. 16

2. . Решетки со стековой модуляцией. 21

3. . Бинарные решетки с гауссовыми модуляциями. 25

5. Заключение. 35

6. Приложение.

38

7. Список использованной литературы. 42

1.Введение.

Бинарные периодические структуры, как известно, обладают как частотными зонами с предельно малым пропусканием, так и зонами с малым отражением. Данное свойство служат основой для использования таких сред в качестве, например, селективных частотных фильтров, или управляемых зеркал.
Свойство это основано на многолучевой интерференции, дающей минимумы в одних частотных диапазонах и максимумы в других. Некоторые из этих зон
(пропускания или отражения) являются «хорошими»: то есть гладкими и с вертикальными краями. Некоторые же являются сильно возмущенными, что затрудняет их использование для управления излучением.

В работе главным ограничением являются показатели преломления. Было предложено использовать вещества с показателями преломления 1.44 и 2.0 или
1.44 и 2.2, из-за того, что остальные вещества являются либо нетехнологичными и, соответственно, представляют собой чисто теоретический интерес, либо нестойкими к лазерному излучению, что приводит к их скорому разрушению. Следующим ограничением является частотный диапазон. Рабочая частота, то есть минимумы и максимумы отражения должны лежать в видимом диапазоне, что соответствует циклической частоте 1.5 * 1015 – 3.5 * 1015
Гц. Так как показатели преломления являются величинами жестко зафиксированными, то при модуляции предложено изменять толщины слоев, модулируя, таким образом, оптический путь.

В [1] было предложено использовать модулированный потенциальный барьер для получения гладких зон пропускания и отражения для электронных волн. В [2] была применена та же идея для сглаживания функции пропускания в соответствующих зонах оптического излучения. Более общая физическая теория подробно описана в [5] и, более применительно к данной теме, в [6].
Математическое обоснование всего проекта (как для расчетов, так и для написания программы) детально разработано в [3] и, применительно к данному случаю, в [4]. Наиболее же полная математическая идея общно и подробно изложена в [7].

В данном проекте рассматривается профиль отражения на частоте лазерного излучения. Было предложено три вида модуляции. Это «ступени» - скачкообразное изменение оптического пути с постепенным общим повышением или понижением значений. «Стеки» - набор из нескольких квазигармонических периодов изменения значений. И, наконец, «гауссианы» - здесь происходит изменение оптического пути по функции Гаусса - exp(-x2/(2), где параметр (
- ширина всей структуры. При этом рассматривается модуляция для разного числа слоев в структуре.

Так же обсуждаются дальнейшие перспективы той или иной оптимизации, как то – возможности расширения зон отражения, получение более вертикальных и менее возмущенных краев этих зон, получение максимально возможного отражения или пропускания излучения, что, в свою очередь, означает обсуждение перспектив получения реально действующих поляризационных затворов, оптических фильтров и управляемых зеркал.

Следует оговорить обозначения принятые в этой работе. На графиках зависимостей отражения волны от частоты (они же называются профилями отражения) по оси абсцисс откладывается циклическая частота падающего излучения, а по оси ординат показатель отражения (отношение интенсивности отраженной волны к интенсивности падающей). А на графиках-изображениях оптического пути по оси абсцисс откладываются номера слоев, а по оси ординат соответствующие им произведения толщин на показатели преломления слоев. На самом деле это не вполне графики, в том смысле, что реально это набор дискретных точек. Трудно, ведь, представить себе слой под номером
2.4, например. Линии же существуют для очевидности этих точек и общей модуляции структуры. В местах с наиболее интересными (с точки зрения автора) результатами будут приводиться также и графики-схемы самих структур. Там по оси абсцисс отложены номера слоев, а по оси ординат толщины этих слоев. Замечания, относящиеся к графикам-изображениям оптического пути, остаются в силе и для этих графиков-схем.

Во всей работе показатели преломления слоев имеют значения 1.44 и
2.2. Это связано с тем, что наилучший результат получается при большой разбежке в показателях преломления ([2] – там использованы значения 1.44 и
3.48). Но такие вещества не стойки к излучению. Были проведены вычисления для показателей преломления 1.44 и 2.0, но результаты оказывались всегда чуть хуже.

2.Математический аппарат.

Современная оптика базируется на уравнениях Максвелла

( х ( = - [pic]( ( ( = 0

(1)
( х ( =[pic]j + [pic]D ( D = 4(( ,

где векторы E и D характеризуют электрическое поле, а ( и ( - магнитное, (
- объемная плотность электрического заряда, j – плотность электрического тока. Максвелл также дополнил систему (1) системой материальных уравнений, отражающей свойства среды, в которой находятся заряды и токи:

D = [pic]E , B = (H , j = ( E , (2)

где [pic]- диэлектрическая проницаемость, ( - магнитная проницаемость, ( - удельная электропроводность среды.

При падении плоской монохроматической волны

Н(r, t) = H0ei(kmr - (t), k = (/c (3)

на границу раздела однородных анизотропных сред возникают отраженные и преломленные волны с одинаковой экспоненциальной зависимостью exp (ikbr) от тангенциальной составляющей r( радиус-вектора r [8], где b = Im – тангенциальная составляющая вектора рефракции m падающей волны (br = br().

Зависимость векторов поля в среде от нормальной компоненты z = qr вектора r в общем случае не является экспоненциальной. В анизотропных средах отраженные волны могут иметь различные нормальные составляющие векторов рефракции.

В рассматриваемом случае поле отраженной волны в анизотропной среде описывается [3] функциями вида:

[pic] = [pic]ei(kbr - (t) (4)

Аналогичной [3] зависимостью от координат характеризуются поля, возбуждаемые волной (3) в системах однородных плоскопараллельных слоев.

Для таких полей ротор сводится к оператору qx[pic] + ikbx и уравнения
Максвелла (1) принимают вид

(qx[pic] + ikbx)H = -ikD (5)

(qx[pic] + ikbx)E = ikB

Умножая уравнения (5) на вектор q, получаем соотношения

qD = aH , qB = -aE , a = b[pic]q (6)

При нормальном падении (b = 0) поле (4) представляет собой плоскую волну. Нормальные компоненты векторов электрической и магнитной индукции такой волны равны нулю: qD = qB = 0. Векторы электромагнитного поля в линейной среде связаны уравнениями

D = [pic]E , B = (H ,
(7)

где [pic] и ( - тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей. В общем случае поглощающей анизотропной среды, обладающей собственной или вынужденной гиротропией [9], [pic] и ( - комплексные несимметричные тензоры.

Уравнения связи (7) и соотношения (6) образуют систему восьми линейных скалярных уравнений для двенадцати декартовых компонент векторных функций E(z), D(z), H(z), B(z) вида (4). Поэтому лишь четыре из этих компонент линейно независимы. В качестве независимых функций удобно выбрать тангенциальные компоненты векторов напряженности электрического и магнитного полей, так как они непрерывны на границе раздела слоев. Выражая из уравнений (6) и (7) нормальные компоненты через тангенциальные составляющие и используя тождество [3] H = Ht +q[pic]qH , получаем

[pic] = V[pic] , где (8)

V = [pic] - (9)

матрица восстановления [10] полных векторов H и E по их тангенциальным составляющим H( и E( , а [pic]= q[pic]q, [pic]= q[pic]q.

С учетом соотношения (8) систему уравнений (5) можно представить в матричном виде [11]

[pic] = ikM[pic] , (10)

где

М = [pic]

(11)

- блочная матрица, составленная из операторов (12)

A = [pic]qx[pic]qa - [pic]bq[pic]I

B = [pic]I[pic]I - [pic]b[pic]b

(12)

C = -[pic]a[pic]a - [pic]qx[pic]qx

D = -[pic]aq[pic]qx - [pic]I[pic]qb

здесь [pic] и [pic] - тензоры, взаимные к транспонированным тензорам
[pic] и [pic] соответственно.

В прозрачных средах [pic] и [pic] - эрмитовы: [pic], [pic] при вещественном параметре b имеют место равенства

B+ = B, C+ = C, D+ = A
(13)

В координатной записи уравнение (10) представляет собой систему четырех линейных дифференциальных уравнений для тангенциальных составляющих векторов H и E. Подобная система рассматривалась в [12].

Общее решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами выражается через экспоненциал от матрицы коэффициентов этой системы.

В нашем случае [7] имеет место

[pic] = P [pic], P = [pic], F=[pic] (14)

Р – характеристическая матрица плоскослоистой анизотропной системы, которая связывает значения полей на первой и последней границах системы.
Для системы из N-1 слоев матрицу Р можно представить в виде

Р = РN-1PN-2…PP…P1, где РР = [pic], р = 1, 2, …,N-1 – характеристическая матрица р-го слоя.

Если в пределах некоторого слоя значения функции М([pic]) в двух произвольных точках [pic]1 и [pic]2 коммутируют между собой, то есть

М([pic]1) М([pic]2) = М([pic]2)М([pic]1) , [pic]1,2 ( [zP-1, zP], то матрица Р этого слоя принимает вид [7] P = exp (ik [pic]). Для однородной среды соответствующий интеграл сводится [4] к экспоненциальному оператору

Р = exp (iklM), где l – толщина слоя.

А такое уравнение легко алгоритмизуется. Ниже будет приведен листинг программы с комментариями.

3. Немодулированные бинарные структуры.

Под немодулированными бинарными структурами будем понимать набор из нескольких чередующихся слоев с разными показателями преломления, но с одинаковыми толщинами.

Схематично их можно представить следующим образом:

2.2 2.2 2.2 2.2 2.2

1.44 1.44 1.44 1.44 1.44 1.44

Рисунок 1. Схематичное представление немодулированных бинарных структур.

Двухслойная немодулированная бинарная структура.

[pic]
График1. Схематичное изображение оптического пути для двухслойной немодулированной структуры.

[pic]
График 2. Зависимости отражения волны для двухслойной немодулированной структуры при угле падения 00 от частоты.

[pic]

График 3. Зависимости отражения волны для двухслойной немодулированной структуры при угле падения 450 от частоты.

Страницы: 1, 2