Б. у. имеет большое значение в гидравлике и технической гидродинамике: оно используется при расчётах трубопроводов, насосов, при решении вопросов, связанных с фильтрацией, и т.д. Бернулли уравнение для среды с переменной плотностью р вместе с уравнением неизменяемости массы и уравнением состояния является основой газовой динамики.
Движение жидкости по трубам. Зависимость давления жидкости от скорости ее течения
Стационарное течение жидкости. Уравнение неразрывности
Рассмотрим случай, когда невязкая жидкость течет по горизонтальной цилиндрической трубе с изменяющимся поперечным сечением.
Течение жидкости называют стационарным, если в каждой точке пространства, занимаемого жидкостью, ее скорость с течением времени не изменяется. При стационарном течении через любое поперечное сечение трубы за равные промежутки времени переносятся одинаковые объемы жидкости.
Жидкости практически несжимаемы, т. е. можно считать, что данная масса жидкости всегда имеет неизменный объем. Поэтому одинаковость объемов жидкости, проходящих через разные сечения трубы, означает, что скорость течения жидкости зависит от сечения трубы.
Пусть скорости стационарного течения жидкости через сечения трубы S1 и S2 равны соответственно v1 и v2. Объем жидкости, протекающей за промежуток времени t через сечение S1, равен V1=S1v1t, а объем жидкости, протекающей за то же время через сечение S2, равен V2=S2v2t. Из равенства V1=V2 следует, что
S1V1=S2V2. (5.10)
Соотношение (5.10) называют уравнением неразрывности. Из него следует, что
v1/v2=S2/S1.
Следовательно, при стационарном течении жидкости скорости движения ее частиц через разные поперечные сечения трубы обратно пропорциональны площадям этих сечений.
Давление в движущейся жидкости. Закон Бернулли
Увеличение скорости течения жидкости при переходе из участка трубы с большей площадью поперечного сечения в участок трубы с меньшей площадью поперечного сечения означает, что жидкость движется с ускорением.
Согласно второму закону Ньютона, причиной ускорения является сила. Этой силой в данном случае является разность сил давления, действующих на текущую жидкость в широкой и узкой частях трубы. Следовательно, б широкой части трубы давление жидкости должно быть больше, чем в узкой. Это можно непосредственно наблюдать на опыте. На рис. показано, что на участках разного поперечного сечения S1 и S2 в трубу, по которой течет жидкость, вставлены манометрические трубки.
Как показывают наблюдения, уровень жидкости в манометрической трубке у сечения S1 трубы выше, чем у сечения S2. Следовательно, давление в жидкости, протекающей через сечение с большей площадью S1, выше, чем давление в жидкости, протекающей через сечение с меньшей площадью S2. Следовательно, при стационарном течении жидкости в тех местах, где скорость течения меньше, давление в жидкости больше и, наоборот, там, где скорость течения больше, давление в жидкости меньше. К этому выводу впервые пришел Бернулли, поэтому данный закон называется законом Бернулли.
Закон Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:
Здесь
ρ — плотность жидкости,
v — скорость потока,
h — высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,
p — давление.
Константа в правой части обычно называется напором, или полным давлением. Размерность всех слагаемых - единица энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости.
Это соотношение называют уравнением Бернулли. Величина в левой части имеет отношение к интегралу Бернулли.
Для горизонтальной трубы h = const и уравнение Бернулли принимает вид .
Согласно закону Бернулли полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока. Полное давление состоит из весового, статического и динамического давления. Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров, водо- и пароструйных насосов.
Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю, то есть таких жидкостей, которые не прилипают к поверхности трубы. На самом деле экспериментально установлено, что скорость жидкости на поверхности твердого тела всегда в точности равна нулю.
Закон Бернулли можно применить к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда.
Согласно закону Бернулли приравняем полные давления на верхней поверхности жидкости и на выходе из отверстия:
,
где
p0 — атмосферное давление,
h — высота столба жидкости в сосуде,
v — скорость истечения жидкости.
Отсюда: . Это — формула Торричелли. Она показывает, что при истечении идеальной несжимаемой жидкости из отверстия в широком сосуде жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты h.
Глайдирующий летательный аппарат
Мы уже указали, какие четыре силы действуют на моторный самолет в процессе устойчивого горизонтального полета: его вес тянет вниз, равная противоположная подъемная сила крыльев поддерживает его, вперед толкает мотор, назад тянет равное сопротивление воздуха.
Но что же есть такое на земле, а вернее в воздухе, что толкает вперед глайдер? Это часть или компонента веса летательного аппарата, т. е. та же сила, которая заставляет шарик скатываться по наклонной поверхности. Еще одно отступление: Расчет сил:
Нам уже известно, что две одинаковых силы, действующие в противоположном направлении (подъемная сила и вес, тяга двигателя и сопротивление воздуха в случае с самолетом), уравновешивают друг друга, оставляя тело в состоянии покоя или равномерного движения с постоянной скоростью в заданном направлении.
Если две или более сил действуют в одном направлении, мы просто складываем их. Если лошадь может тащить экипаж с силой, скажем, 50 кг, то две лошади приложат усилие в 100 кг, а три лошади (Русская "тройка") в 150 кг. На нашем рисунке мы просто рисуем силы на шкале одну за другой, потом стираем стрелки, кроме последней. Результат (который называется результирующей силой) — это просто более длинная одиночная стрелка:
Когда мы имеем дело с неравными силами, действующими в противоположном направлении, все по-прежнему просто: мы вычитаем из более длинной стрелки длину короткой и остаемся с результирующей силой, которая по величине меньше:
<
Но что если две неравных силы действуют под углом? Есть совершенно простой путь нахождения результирующей, который выглядит следующим образом:
Сначала мы рисуем две наших силы, обозначенные через F1 и F2, из точки 0. Затем из конца F1 рисуем вспомогательную линию, параллельную F2 , а из конца F2 — другую, параллельную F1. Теперь из точки 0 проводим линию в точку пересечения двух вспомогательных прямых. Вот это и есть наша результирующая сила:
Мы можем использовать данный метод не только для сложения двух сил в результирующую, но и для разложения одной силы на две, действующие в любых направлениях, которые мы выбираем. Попробуем применить это на примере шарика, катящегося по наклонной плоскости.
Шарик имеет определенный вес, который тянет его вниз. Если бы он был на плоском столе, он оставался бы на месте, оказывая давление на точку прямо под собственным центром тяжести, и никуда бы не катился. На наклонной плоскости, однако, его вес по-прежнему направлен прямо вниз в то время, как точка поддержки, т.е. точка соприкосновения с плоскостью смещена назад. Здесь имеет место отсутствие равновесия, и мы можем разложить вес W на две силы: одна проходит через точку контакта с плоскостью, а вторая тянет шарик вдоль направления наклона.
Будем считать вес (стрелка W) результирующей силой. Тогда рисуем эту силу из центра шарика вертикально вниз в масштабе, отражающем истинный вес. Нам уже известны направления двух сил, которые мы ищем: первое, отвечающее за давление на наклонную плоскость, проходит через точку контакта с ней, а второе — скатывающее шарик — параллельно наклону плоскости. Теперь из конца силы веса проводим две прямых параллельно двум силам, направления которых мы только что отметили, и эти прямые отсекут по длине от указанных направлений две величины, определяющие силу скатывания к давления на плоскость.
Проделаем теперь то же самое с планером, который, хотя и "скользит вниз" по тонкому воздуху вместо жесткой поверхности, однако, подчиняется тем же правилам. Вес планера действует в направлении прямо вниз. Разлагая его на две компоненты, одна из которых противоположна подъемной силе крыла, а вторая тянет вперед в направлении планирования, мы приходим к балансу всех сил.
(В случае, если вас интересует, откуда взялась энергия, заменяющая работу двигателя самолета, ответ прост: вы сами запасли ее, взбираясь или въезжая на холм, а теперь используете ее, возвращаясь по воздуху к подножию холма).
(В хорошую погоду есть возможности и средства подняться гораздо выше, чем точка взлета, и оставаться там часами — одно их самых больших удовольствий этого спорта, но там вы используете силу входящих потоков воздуха. Это больше подходит под определение "парения", а не "глайдирования", и мы рассмотрим эти возможности позже в этой книжке).
Угол атаки
Мы видели, что, когда наше крыло или надутый купол параглайдера планирует вперед, поток воздуха создает разницу давлений под крылом и над ним, в результате чего появляется подъемная сила, поддерживающая нас, кроме того, создается меньшая сила сопротивления, которую необходимо преодолеть "тянущей" компонентой нашего веса.
