2.5 Граф расчетной схемы
По расчетной схеме, изображенной на рис. 9. составим граф. Для каждой ветви графа расчетной схемы произвольно задается направление. Граф расчетной схемы изображен на рис. 10.
Рис. 10.
По графу составляем матрицу соединений ветвей узлов (первая матрица инциденций) - .
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
|
A |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
B |
0 |
-1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
C |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
D |
0 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
E |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
F |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
G |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
H |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
I |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
|
J |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
1 |
1 |
|
K |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
|
O |
-1 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
В матрице отбрасываем строку, соответствующую балансирующему узлу. В качестве балансирующего узла принимаем узел O.
Запишем матрицу M:
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
|
A |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
B |
0 |
-1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
C |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
D |
0 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
E |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
F |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
G |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
H |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
I |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
|
J |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
1 |
1 |
|
K |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
2.6 Расчет матрицы узловых проводимостей
Матрица узловых проводимостей может быть определена следующим образом:
где – транспонированная матрица соединений ветвей и узлов,
– диагональная матрица проводимостей ветвей, элементы матрицы определены в пункте 2.4.
Решая матричное уравнение
в среде MathCAD, получена следующая матрица узловых проводимостей :
3. Нелинейные уравнения установившегося режима
Нелинейные уравнения узловых напряжений описывают установившийся режим электрической системы при задании нелинейных источников тока. В схеме замещения электрической системы нелинейным источникам тока соответствуют генераторы с заданной мощностью, либо нагрузки потребителей, заданные статической характеристикой или постоянной мощностью. При заданной мощности нагрузки потребителя и генератора ток задается в следующем виде:
где – сопряженная заданная мощность трех фаз -го узла;
– сопряженный комплекс междуфазного напряжения -го узла;
– нелинейный ток, зависящий от напряжения.
В матричной форме уравнения узловых напряжений имеют вид:
где – вектор-столбец, -й элемент которого равен ;
– заданное напряжение балансирующего узла.
Записанное уравнение – уравнение узловых напряжений в форме баланса токов.
Уравнения узловых напряжений можно записать в форме баланса мощности. В матричной форме:
где – диагональная матрица, -й диагональный элемент которой равен сопряженному комплексу напряжения -го узла.
Нелинейные уравнения установившегося режима в общей форме можно записать в виде системы неявных функций:
где – вектор-функция;
и – вектор-столбцы зависимых и независимых параметров режима.
При расчетах вектор независимых переменных задан, т.е. .
Нелинейную систему можно записать:
3.1 Метод Зейделя
Метод Зейделя может применяться для решения нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса токов. Итерационный процесс Зейделя определяется выражением:
Сходимость метода Зейделя к решению нелинейных уравнений установившихся режимов медленная. Для ускорения сходимости метода Зейделя применяются ускоряющие коэффициенты. Основное достоинство метода Зейделя состоит в том, что он легко программируется и требует малой оперативной памяти. Недостаток метода – в медленной сходимости, или расходимости. Метод Зейделя особенно медленно сходится и расходится в расчетах установившихся режимов электрических систем с устройствами продольной компенсации, с трехобмоточными трансформаторами или автотрансформаторами с очень малым сопротивлениями обмотки среднего напряжения и для систем с сильной неоднородностью параметров.
Результаты решения нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса токов в среде MathCAD методом Зейделя, а так же сама программа расчета, приведены в Приложении.
3.2 Метод Ньютона
Идея метода Ньютона состоит в последовательной замене на каждой итерации системе нелинейных уравнений некоторой линейной системой, решение которой дает значение неизвестных, более близкие к решению нелинейной системы, чем исходное приближение.
Рассмотрим решение по методу Ньютона системы нелинейных уравнений с действительными переменными:
Если использовать вектор-столбец и вектор-функцию , где
,
то систему нелинейных уравнений можно записать в матричном виде:
Пусть , , - начальные приближения неизвестных. Заменим каждое из нелинейных уравнений линейным, полученным разложением в ряд Тейлора.
Запишем матрицу Якоби, т.е. матрицу производных системы функций , по переменным :
Тогда систему линеаризованных уравнений можно зависать в матричном виде:
Эта система линейна относительно поправок
.
Матрица Якоби не должна быть вырожденной, тогда решая полученную систему (линейную) любым способом, находим первое приближение переменных:
Каждый шаг итерационного процесса состоит из решения линейной системы:
и определения следующего приближения неизвестных:
Контроль сходимости осуществляется по вектору невязок:
Уравнение узловых напряжений в форме баланса мощностей для -го узла можно записать в следующем виде:
Слагаемое внесено в сумму, балансирующему узлу присвоен номер .
Выделим в уравнении действительные и мнимые части:
где , – соответственно небалансы активных и реактивных мощностей в узле ;
, – вектор-столбцы действительных и мнимых составляющих напряжений.
В расчетах на ЭВМ обычно в качестве неизвестных используются модули и фазы напряжений узлов и .
Уравнение баланса мощностей для -го узла при переменных и :
где
Уравнение в форме баланса мощностей:
С учетом реальных условий в электрических системах можно пренебречь недиагональным элементами матрицы Якоби, т.е.
Метод Ньютона очень быстро сходится и имеет высокую надежность.
Результаты решения нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса мощностей в полярной системе координат в среде MathCAD методом Ньютона, а так же сама программа расчета, приведены в Приложении.
Заключение
В курсовой работе была рассмотрена сложная электрическая система. Подробно рассмотрено составление схемы замещения электрической системы и расчет матрицы узловых проводимостей. Приводятся основные методы решения нелинейных уравнений установившегося режима работы электрической системы. Разработана программа в среде MathCAD для решения нелинейных систем методам Ньютона и Зейделя. Предпочтение отдается методу Ньютона из-за высокой надежности и быстрой сходимости.
Список использованной литературы
1. «Справочник по проектированию электроснабжения, линий электропередачи и сетей». Под ред. Я.М. Большама, В.И. Круповича, М.Л. Самовера; М.: «Энергия», 1974г.
2. «Справочник по электроснабжению промышленных предприятий». Под ред. А.А. Федорова, Г.В. Сербиновского. М.: «Энергия», 1973г.
3. «Электрические системы и сети». Под ред. Л.Н. Баптиданова. Л.: «Госэнергоиздат», 1963г.
4. Конспекты лекций по «Математическим задачам в энергетике».
Приложение
Метод Зейделя
Метод Ньютона.
