Рассеяние волн в задаче о маскировке объектов методом волнового обтекания
КУРСОВАЯ РАБОТА
На тему:
"Рассеяние волн в задаче о маскировке объектов методом волнового обтекания"
Минск, 2010 г.
Введение
У людей с давних времён есть желание замаскироваться, а то и вовсе стать невидимым для окружающих. И с недавних пор это может стать возможным с помощью метода волнового обтекания. Основной целью курсовой работы является изучение метода рассеяния волн в задаче о маскировке объектов методом волнового обтекания, рассмотрение основных характеристик и свойств маскирующих покрытий, изучение их классификации. А также, как дополнение, рассмотрение быстрого преобразования Фурье и его применения в задаче о рассеянии. Задача курсовой работы заключается в овладении методом решения задачи о рассеянии и изучении маскирующих оболочек.
Под маскировкой или скрытием методом волнового обтекания следует понимать такое преобразование фронта волны маскирующей оболочкой, что он огибает скрываемый объект. В реальных условиях невозможно добиться идеальной маскировки, но принципиально возможно сведение потерь и рассеяния к пренебрежимо малым для поставленной задачи значением. А в задаче маскировки таких сравнительно небольших объектов, как тело человека, ракет, самолётов, и прочей военной техники, учитывая маловероятность отклика радаров на большое для идеальных моделей, но значительно меньшее, чем у объектов без маскирующих оболочек, рассеяние, при желании распределённое во всех направлениях, делает их скрытие очень перспективной и востребованной задачей. Учитывая характер явления, его преимущественной областью применения является военно-стратегическая.
1. Решение задачи о рассеянии
1.1 Решение задачи о рассеянии в общем случае
В общем случае задача о рассеянии ставится следующим образом. На некоторый объект произвольной формы с диэлектрической проницаемостью и объемом V падает электромагнитная волна в направлении распространения и с колебаниями электрического вектора в направлении (рис. 1.1). Волна движется в пространстве с диэлектрической проницаемостью . После рассеивания и поглощения результирующая волна имеет направление распространения и колебания электрического вектора в направлении .
Для вычисления рассеянных электромагнитных полей и сечения рассеяния необходимо сначала записать общее решение для поля внутри рассеивающего тела, поля рассеянных волн и падающего поля, а затем вычислить неизвестные постоянные коэффициенты (спектральные амплитуды) с помощью граничных условий.
1.2 Решение задачи о рассеянии в общем случае
Решение задачи о рассеянии в общем случае заключается в нахождении сечения рассеяния.
Запишем электрическое поле падающей волны следующим образом:
, (1.2.1)
где = – вектор описывающие местоположение относительно базиса ( – волновое число. Рассеянное поле вдали от рассеивателя может быть описано сферической волной:
, (1.2.2)
где r – расстояние от рассматриваемой точки до точки рассеяния,
– амплитуда рассеяния, зависящая от направления рассеянной и падающей волн.
Магнитное поле падающей волны вычисляется из уравнений Максвелла и имеет следующий вид:
, (1.2.3)
где η= есть волновое сопротивление (импеданс).
Вектор Умова-Пойтинга, который определяет поток мощности поля через единицу поверхности, записывается следующим образом:
. (1.2.4)
Рассуждаем так же и для рассеянной волны. Магнитное поле рассеянной волны по определению следующее
, (1.2.5)
а вектор Умова-Пойтинга рассеянной волны
, 1.2.6.
Подставляя выражение (1.2.2) в (1.2.6), получаем
. (1.2.7)
В сферической системе координат возьмём дифференциал телесного угла в направлении рассеяния (рис 1.2)
. (1.2.8)
На расстоянии r, от рассеивающей точки, площадь поверхности ограниченной дифференциалом телесного угла записывается следующим образом:
. (1.2.9)
Тогда дифференциал рассеянной мощности через площадку принимает следующий вид:
. (1.2.10)
Дифференциал телесного угла в сферических координатах r, θs, φs
Теперь, подставляя (1.2.7) в (1.2.10) получим следующее выражение для мощности, рассеянной в элемент телесного угла:
. (1.2.11)
Разделив левую и правую части выражения (1.2.11) на вектор Умова-Пойтинга для падающей волны (1.2.4), получим
. (1.2.12)
Размерность последнего соотношения является размерностью площади. называется дифференциальным сечением рассеяния и обозначается как .
А интегрирование 1.2.12, в свою очередь, даёт
. (1.2.13)
, (1.2.14)
где – рассеянная мощность, а – сечение рассеяния.
. (1.2.15)
1.2 Решение задачи о рассеянии на цилиндре
Решается задача о нахождении полей на таком удалении от точек рассеяния, что фронт распространения волн этих полей можно считать плоскостью. Найдём для этого сперва общее решение, характеризующее бесконечно длинный цилиндр, а затем подставим в решение граничные условия, обобщив его тем самым на цилиндр длинны L.
Пусть поле падающих волн задаётся выражением:
, (1.2.1)
где (см. рис. 2.1), падающая волна раскладывается в суперпозицию двух поляризаций – горизонтальной линейной и вертикальной линейной, а и горизонтальный и вертикальный вектора поляризации.
Падающая волна также может быть представлена в виде векторных цилиндрических волн, т.е. следующим образом:
. (1.2.2)
Цилиндр высоты L, радиуса a и проницаемости
Общее решение будет состоять из выражений для рассеянного поля и поля внутри цилиндра объединённых граничными условиями. Запишем теперь выражения, определяющие рассеянное и внутренне поля с точностью до неизвестных коэффициентов , , ,на оговоренном ранее расстоянии от точки рассеяния
, (1.2.3)
, (1.2.4)
где , – символ, с помощью которого обозначается конфигурация функций Бесселя и Ханкеля для величин, перед которыми он стоит, а – коэффициенты, получаемые с использованием преобразования Фурье от выражения (1.2.1)
,
известны для такого приближения.
Граничные условия задаются равенствами:
, (1.2.5)
, (1.2.6)
из которых можно путём преобразований получить следующие выражения
, (1.2.7)
, (1.2.8)
которые задают зависимость неизвестных коэффициентов из выражения для внутреннего поля (1.2.4) от направлений распространения , полей , , координаты и – радиуса цилиндра. Таким образом, поле определено, т. к. коэффициенты могут быть легко получены из (1.2.7), (1.2.8).
Поле, образовавшееся после рассеяния падающего поля на цилиндре высоты L, в точках находящихся на достаточном для нашего приближения удалении определим путём интегрирования по конечной поверхности цилиндра, исключая граничные точки, используя формулу
. (1.2.9)
После подстановки (1.2.4) в (1.2.9) и выполнения интегрирования по dz в интервале ( и по dφ в интервале (0; 2π) получим следующее выражение для поля рассеянных волн:
{[
]
[
]}. (1.2.10)
Итак, нами были найдены поля и . Однако есть несколько ограничений для полученных решений. Во-первых, следует иметь в виду, что такое решение непригодно вблизи точек рассеяния. Во-вторых, амплитудные коэффициенты, которые использовались в уравнениях (2.3), (2.4), были взяты готовыми, как известные для плоских волн. В общем случае их нужно рассчитывать отдельно для каждой конкретной задачи, используя преобразование Фурье, как это делается в работе [9].
1.3 Быстрое преобразование Фурье
Преобразование Фурье используется при решении задачи о рассеянии с целью нахождения амплитудных коэффициентов необходимых для описания волны. Характер последних, как уже упоминалось, зависит от того в каком приближении мы рассматриваем поставленную задачу. Суть применения преобразования Фурье заключается в разбиении произвольной волны на элементарные плоские волны. Таким образом, получаем амплитудные коэффициенты, стоящие как множители перед рядом, в виде которого представляется волна. Затем можно подставить граничные условия в полученное выражение, что позволяет выразить неизвестные , , ,, как, например, в (1.2.3), (1.2.4). Затем, проведя обратное преобразование Фурье, получим представление искомой волны, удовлетворяющее задаче.
Быстрое преобразование Фурье (БПФ) – это реализация обычного (дискретного) преобразования Фурье (ДПФ), но с намного меньшим количеством операций n=Nlog2N, где N – размер строки данных, в отличие от n=N2 в ДПФ. В БПФ используются исключительно N, являющиеся степенями двойки. Если N не является степенью двойки, то его дополняют нолями до ближайшей из степеней.
Для осуществления БПФ можно использовать лемму Даниельсона-Ланкзоса, которая разбивает ряд ДПФ
, (1.3.1)
где – исходная функция, на две суммы – по чётным и нечётным индексам j:
. (1.3.2)
=, (1.3.3)
где . Это и есть лемма Даниельсона-Ланкзоса [2]. Она подходит для осуществления как прямого БПФ, так и обратного.
В массиве данных сперва следует произвести нумерацию элементов в двоичном виде, а затем пересортировать массив, заменяя каждый элемент элементом с обратным двоичным индексом. Полученная в результате таких перестановок последовательность после преобразования по формуле (1.3.3) задаёт искомую функцию.
Существуют также и другие алгоритмы БПФ, как, например в [10], но они в отличие от леммы Даниельсона-Ланкзоса не выполняют как прямое, так и обратное преобразование Фурье.
2. Скрытие материальных объектов методом волнового обтекания
2.1 Основополагающие идеи
Исторически первенство в идее и моделировании скрытия (английский термин cloaking) методом волнового обтекания принадлежит Дж. Пендри и его коллегам [3]. Они предложили принципиально новый метод маскировки, суть которого заключается в преломлении волн в маскирующей оболочке так, что они огибают скрытый в оболочке объект и на выходе из неё остаются такими же, какими в неё попадали. В результате поле выглядит так, как если бы на пути его распространения оно не встречало никаких препятствий.
Страницы: 1, 2
