По определению интегральными квадратичными оценками рассматриваемой системы являются:
- оценка нулевого порядка,
- оценка первого порядка,
- оценка порядка n,
где x(t) – выходная переменная, характеризующая состояние системы - ее производные; n – порядок системы. Величины постоянны и имеют размерность времени.
Для вычисления интегральных квадратичных оценок разработаны различные приемы и способы, которые можно в учебной литературе по теории автоматического регулирования.
Задача формулируется следующим образом. Задана структура динамической системы; некоторые параметры системы являются варьируемыми, а остальные должны оставаться неизменными. Требуется найти такие значения варьируемых параметров, при которых реализуется минимум какой-либо интегральной квадратичной оценки. Сформулированная задача является задачей параметрической оптимизации динамической системы. Найденные в результате ее решения параметры именуются оптимальными, а систему с такими параметрами называют оптимальной по переходному процессу.
Схема решения задачи параметрической оптимизации в аналитической форме такова. Пусть есть те параметры, которые необходимо определить из условия реализации минимума принятой интегральной квадратичной оценки . Выражение для оценки содержит неизвестные параметры . Оптимальные значения параметров определяются из уравнений . Практически параметрическая оптимизация проводится с применением численных методов, так как в аналитическом виде решение может быть получено в простейших случаях. Выражения для оказываются громоздкими, а уравнения для оптимальных параметров нелинейными.
Однако, как показано в работах А.А. Красовского и А.А. Фельдбаума, оптимальность системы по интегральному квадратичному критерию равносильна тому, что ошибка системы как функция времени подчиняется в процессе управления соответствующему дифференциальному уравнению.
Действительно. Пусть состояние системы характеризуется выходной переменной x(t) и ее производными ). Предполагается, что порядок системы равен n. Пусть в начальный момент
, ,..., (1.1)
Принимается, что собственное движение системы асимптотически устойчиво. Тогда при система стремится к положению равновесия:
(1.14)
Рассмотрим оценку и найдем такую функцию x(t), которая удовлетворяет граничным условиям (1.1), (1.2) и доставляет минимум интегралу . Обозначим через подынтегральное выражение в . Тогда согласно теории вариационного исчисления необходимое условие экстремума (минимума) интеграла будет иметь вид
(1.3)
Это дифференциальное уравнение называется уравнением Эйлера-Пуассона. С учетом выражения для можно найти
и, кроме того,
Следовательно, уравнение (1.3) будет
(1.4)
Таким образом, экстремаль x(t), на которой интеграл обращается в минимум, является решением дифференциального уравнения (1.4) порядка 2n. При этом x(t) должна удовлетворять граничным условиям (1.1) и (1.2). Характеристическое уравнение, отвечающее (1.16), таково:
Оно обладает тем свойством, что его корни попарно симметричны относительно начала координат комплексной плоскости p, т.е. корням , соответствуют корни, . На этом основании решение (1.4) можно записать в виде
(1.5)
где постоянные , должны быть такими, чтобы выполнялись граничные условия.
Пусть для определенности корни таковы, что
, ,
В этом случае постоянные в (1.5) должны быть равными нулю в силу того, что согласно (1.2) при функция и ее производные стремятся к нулю. Таким образом, выражение для экстремали должно быть
. (1.6)
Однако известно, что , определяемая формулой (1.6), есть решение одного дифференциального уравнения n-го порядка
(1.7)
Коэффициенты этого уравнения однозначно выражаются через корни по формулам Виета.
Отметим, что начальными условиями для уравнения (1.7) являются (1.1).
Из приведенного анализа следует, что экстремаль интеграла при граничных условиях (1.1), (1.2) является решением однородного дифференциального уравнения (1.7), порядок которого равен порядку оптимизируемой системы. На этом основании можно заключить, что параметрическая оптимизация системы по критерию минимума интегральной квадратичной оценки выполняется из условия, чтобы выходная переменная x(t) системы в свободном движении изменялась во времени по предписанному закону, определяемому дифференциальным уравнением (1.7). Это в свою очередь означает, что задачу параметрической оптимизации можно рассматривать как обратную задачу динамики, формулируемую следующим образом: динамическая система заданной структуры имеет варьируемые параметры ; требуется найти такие значения этих параметров, при которых движение системы проходит по предписанной траектории, определяемой дифференциальным уравнением вида (1.7).
Практически не всегда оказывается возможным провести параметрический синтез системы из условия, чтобы ее выходная переменная x(t) в точности была равна переменной , которая является экстремалью минимизируемого функционала . В большинстве случаях параметры ищутся из условия наилучшего (в каком-либо смысле) приближения x(t) и . Очень часто в качестве меры приближения используют определенные интегралы:
и другие. Здесь - отклонение выходной переменной оптимизируемой системы от экстремальной кривой ; , - производные по времени; , - положительные числа. Выражение (1.7) представляет собой, по сути дела, также интегральные оценки, записанные для отклонений траектории синтезируемой системы от назначенной.
В прикладных задачах параметрической оптимизации не всегда используются интегральные квадратичные оценки, порядок которых равен порядку дифференциального уравнения оптимизируемой системы. Очень часто параметрический синтез проводят по квадратичным оценкам первого и второго порядка. В таких случаях параметры системы определяются из условия, чтобы выходная переменная x(t) приближалась к решению дифференциального уравнения первого или соответственно второго порядка.
Таким образом, требование оптимальности системы по переходному процессу в смысле минимума интегральной квадратичной оценки равносильно требованию, чтобы выходная переменная системы в ее свободном движении изменялась в соответствии с решением однородного дифференциального уравнения порядка m.
В последнее время при анализе и синтезе систем автоматического управления широкое применение нашли спектральные методы, которые базируются на спектральных характеристиках сигналов, что значительно упрощает решение задач теории управления с использованием ЭВМ. Ниже рассмотрим теоретические основы применения спектральных методов при решении задач теории управления.
Применение спектрального метода для решения обратных задач динами
Рассмотрим решение спектральным методом обратной задачи динамики в следующей постановке.
Известна система автоматического управления (регулирования), которая может быть как стационарной, так и нестационарной, и работа которой описывается следующим дифференциальным уравнением:
(2.1)
где
- сигнал на выходе системы;
- сигнал на входе системы;
- коэффициенты дифференциального уравнения, являющиеся функциями времени.
При этом неизвестны некоторые параметры настройки системы управления, которые необходимо определить в процессе решения задачи. Обозначим множество этих параметров через где - их число. Тогда коэффициенты дифференциального уравнения будут зависеть от и, следовательно можно записать;
(2.2)
Задан эталонный сигнал на интервале или его спектральная характеристика, который необходимо получить на выходе системы (2.2). В общем случае могут быть заданы ненулевые начальные условия:
(2.3)
Для заданных дифференциального уравнения (2.2), эталонного выходного сигнала и начальных условий (2.3) необходимо определить входной сигнал и искомые сигнала на выходе получили бы сигнал, максимально параметры настройки такими, что при подачи на вход системы автоматического управления найденного входного в известном смысле приближенный к эталонному.
В качестве меры близости реального сигнала на выходе системы (2.2), (2.3) к эталонному сигналу на интервале примем следующий функционал
(2.4)
Неизвестный входной сигнал будем искать в форме его спектрального разложения в ряд по некоторому базису ортонормированных функций ;
где коэффициенты , неизвестны и их необходимо определить.
Следовательно входной сигнал будет зависеть от времени и от множества параметров Тогда дифференциальное уравнение (2.2) можно записать в следующей виде
(2.5)
Интегрируя уравнение раз с учетом начальных условий, получим
(2.6)
Воспользовавшись справедливым для любой непрерывной функции тождеством
равенство (2.6) можно переписать в виде
(2.7)
Интегрируя полученное равенство (2.7) по частям и применяя формулы
получим
(2.8)
где
Уравнение (2.8) представляет собой уравнение Вольтера 2-го рода. Преобразуем его к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода на интервале исследования :
(2.9)
где
Таким образом, получены две эквивалентные формы описания системы: дифференциальное уравнение (2.2) с начальными условиями (2.3) и интегральное уравнение (2.9). Функция в выражении (2.9) представляет собой полином, коэффициенты которого зависят от начальных условий (2.3) и от множества искомых параметров настройки системы автоматического управления (регулирования). Перепишем , изменив порядок суммирования
Введем следующие обозначения:
Тогда полином можно записать следующим образом
где - вектор-столбец начальных условий; - вектор-столбец полиномов .
Рассмотрим левую часть уравнения (2.9). Представим функции, входящие в нее, в виде разложений в ряд по ортонормированному базису .
Имеем
, (2.10)
где - спектральная характеристика выходного сигнала , элементы которой определяются из соотношения
(2.11)
где - квадратная матрица размерностью , элементы которой определяются из выражения
