Соотношения синусоидальных напряжений и токов в цепи с последовательным соединением элементов
СООТНОШЕНИЯ СИНУСОИДАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ТОКОВ В ЦЕПИ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ
1. Проводимость цепи
К цепи подведено напряжение .
По 2 закону Кирхгофа запишем для мгновенных значений величин:
Комплекс действующего напряжения равен сумме комплексных значений падений напряжений:
Построим векторную диаграмму для этой схемы
Из векторной диаграммы (D 0АВ):
;
Отсюда: – закон Ома для цепи переменного тока.
– полное сопротивление цепи.
Если сопротивлений много, то .
Аналогично можно записать из исходного уравнения:
,
где – реактивное сопротивление цепи.
D 0АВ – треугольник напряжений:
Разделив каждую строчку треугольника напряжений на ток, получим треугольник сопротивлений:
Угол j представляет собой угол сдвига фаз между током и напряжением:
.
Активные, реактивные и полные проводимости цепи
– комплексная проводимость цепи.
,
где – активная проводимость цепи (при X=0 G=1/R).
– реактивная проводимость цепи.
При X=XL - XC > 0 B > 0,
а при X=XL - XC < 0 B < 0.
С учетом проводимостей закон Ома принимает вид:
,
где Ia – активная составляющая тока I;
Ip – реактивная составляющая тока I.
Векторная диаграмма имеет вид:
Треугольник проводимостей:
.
2. Законы Кирхгофа для цепей синусоидального тока
1-й закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма комплексных значений токов в узле равна нулю.
Или геометрическая сумма векторов, изображающих токи в узле, равна нулю.
Для действующих значений: ;
для мгновенных значений: .
2-й закон Кирхгофа: Если каждый участок контура электрической цепи содержит R, L, C элементы, тогда мгновенные значения ЭДС, действующие в замкнутом контуре, равны алгебраической сумме мгновенных значений падений напряжений на участках этого контура:
.
Сумма комплексных значений ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна сумме комплексных значений падений напряжений на участках этого контура:
.
3. Энергия и мощность в цепи синусоидального тока с идеальными R, L, C элементами
В цепи постоянного тока мощность определялась выражением .
Рассмотрим цепь переменного тока с последовательным соединением R, L, C элементов.
Запишем подведенное напряжение: и ток .
. При yi=0 yu=j.
Если XL >XC, то j > 0 и наоборот.
Для мгновенных значений справедливо выражение:
.
Отдельно здесь запишем: .
.
Результат: – это выражение для мгновенной мощности.
Энергия, которая поступает в цепь, определяется средним значением мощности за период:
.
Но , поэтому .
– коэффициент мощности.
Из треугольника напряжений , поэтому
активная мощность.
Таким образом, среднюю мощность называют активной мощностью.
Рассмотрим цепь с активным элементом, т.е. j = 0.
.
Построим график этой функции:
Мощность больше нуля, значит на активном элементе энергия поступает от источника в цепь и здесь тратится. Что это за энергия?:
– это энергия тепловая.
Рассмотрим цепь с индуктивным элементом, т.е. j = p/2.
.
Но и первое и второе выражения равны нулю, т.е. среднее значение мощности за период равно нулю. Из общего выражения для мгновенной мощности:
За период мощность дважды меняет знак.
Положительное значение мощности соответствует режиму, при котором энергия поступает в цепь. Отрицательное значение мощности соответствует режиму, при котором энергия возвращается источнику. Таким образом идеальный индуктивный элемент энергии не потребляет.
Найдем значение энергии, поступающей с цепь за четверть периода:
– это выражение для энергии магнитного поля.
Здесь мы сделали замену пределов интеграла: при t=0 i=0; при t=T/4 i=Im.
Таким образом, энергия, поступившая в цепь с идеальным индуктивным элементом, преобразуется в энергию магнитного поля. Мощность положительна, когда ток растет по абсолютной величине.
В этот момент энергия поступает в цепь и преобразуется в энергию магнитного поля.
При уменьшении тока запасенная энергия в индуктивном элементе возвращается источнику, т.е. в такой цепи между источником и потребителем происходит непрерывный обмен энергиями.
Рассмотрим цепь с емкостным элементом, т.е. j = -p/2.
Из общего выражения для мгновенной мощности:
. Здесь ток опережает напряжение. Тот же рисунок, но ток и напряжение поменяли местами
– это энергия электрического поля.
Таким образом, в цепи с идеальным емкостным элементом имеют место процессы, аналогичные процессам в цепи с индуктивным элементом, но здесь колеблется энергия электрического поля.
В реальной электрической цепи имеют место одновременно оба явления: и необратимое преобразования энергии источника в тепло и обмен энергиями между источником и потребителями.
Полная, активная и реактивная мощности
– треугольник напряжений.
Умножим каждую сторону треугольника напряжений на ток и получим треугольник мощностей.
– активная мощность, которая преобразуется в тепло или механическую работу [Вт].
– реактивная мощность, которая затрачивается на создание магнитных и электрических полей, а затем возвращается к источнику, [вар].
– полная мощность [ВА].
Мощность в символической форме
Пусть ;
.
В комплексной форме эти выражения:
; ; .
Комплексно сопряженное значение тока: .
Запишем выражение
.
– комплекс полной мощности.
Вещественная часть этого комплекса представляет активную мощность, а мнимая часть – реактивную мощность.
4. Уравнение баланса мощностей
В электрической цепи сумма активных мощностей, отдаваемых источником, равна сумме активных мощностей, потребляемых приемниками.
Аналогично утверждение и для реактивных мощностей.
– для активных мощностей (реальная часть комплекса);
– для реактивных мощностей (мнимая часть комплекса).
