Статика твердого тела
Задание С3
Дано:
P1=13,0 kH
M=30,0 kH*M ;
MB - ?
Решение:
I система
P2=9,0 kH Σx=0;
RA*cos30o – XIC=0;
q=3,0 kH/M Σy=0;
RA*cos60o – P1 – YIC=0
ΣMC=0;
M+P1*3-2,5*RA=0;
;
;
Проверка
ΣMA=0;
;
;
-26 - 4+30=0;
0=0; верно.
II система
Σx=0;
;
;
Σy=0;
;
;
;
ΣMB=0;
;
;
;
;
Проверка
ΣMC=0;
;
;
;
0=0; верно.
Дано:
R=20cм; r=10cм; R=30cм; ; x=6cм; ; x=356cм; t=2c; t=5c.
Определить
1) Уравнение движения груза;
2) -?
3) -?
Решение:
1) Уравнение движения груза 1 имеет вид:
(1)
Коэффициенты могут быть определены из следующих условий:
при t=0 x=6cм, (2)
при t=2c x=356cм. (3)
Скорость груза 1:
(4)
Подставляя (2) и (3) в формулы (1) и (4), находим коэффициенты
с=6см, с=5, с
Таким образом, уравнение движения груза
1
2) Скорость груза 1
(6)
Ускорение груза 1
3) Для определения скорости и ускорения точки М запишем уравнения, связывающие скорость груза и угловые скорости колёс и .
В соответствии со схемой механизма:
откуда
или с учетом (6) после подстановки данных:
Угловое ускорение колеса 3:
Скорость точки М, её вращательное, центростремительное и полное ускорения определяются по формулам:
Результаты вычислений для заданного момента времени приведены в табл. 1.
Скорости и ускорения тела 1 и точки М показаны на рис. 1.
Таблица 1
|
57 |
26 |
1.9 |
0.867 |
19 |
36.1 |
19 |
40.80 |
В 20. Д – 1
Дано: VA = 0, a = 45°, f = 0,3, d = 2 м, h = 4 м.
Найти: ℓ и t.
Решение: Рассмотрим движение камня на участке ВС. На него действует только сила тяжести G. Составляем дифференциальные уравнения движения в проекции на оси X , Y: = 0 , = G ,
Дважды интегрируем уравнения: = С1 , = gt + C2 ,
x = C1t + C3 , y = gt2/2 + C2t + C4 ,
Для определения С1, C2 , C3, C4 , используем начальные условия (при t = 0): x0 = 0 , y0 = 0 , = VB×cosa, = VB×sina ,
Отсюда находим:
= С1 , Þ C1 = VB×cosa, = C2 , Þ C2 = VB×sina
x0 = C3 , Þ C3 = 0 , y0 = C4 , Þ C4 = 0
Получаем уравнения:
= VB×cosa , = gt + VB×sina
x = VB×cosa×t, y = gt2/2 + VB×sina×t
Исключаем параметр t :
y = gx2 + x×tga ,
2V2B×cos2a
В точке С x = d = 2 м , у = h = 4 м. Подставляя в уравнение d и h , находим VB :
V2B = gx2 = 9,81×4 = 19,62 , Þ VB = 4,429 м/с
2×cos2a×(y - x×tga) 2×cos245°×(4 - 2tg45°)
Рассмотрим движение камня на участке АВ. На него действуют силы тяжести G, нормальная реакция N и сила трения F. Составляем дифференциальное уравнение движения в проекции на ось X1:
= G×sina - F , (F = f×N = fG×cosa) Þ = g×sina - fg×cosa,
Дважды интегрируя уравнение, получаем:
= g×(sina - f×cosa)×t + C5 , x1 = g×(sina - f×cosa)×t2/2 + C5t + C6 ,
По начальным условиям (при t = 0 x10 = 0 и = VA = 0) находим С5 и С6:
C5 = 0 , C6 = 0,
Для определения ℓ и t используем условия: в т.B (при t = t) , x1 = ℓ , = VB = 4,429 м/с. Решая систему уравнений находим:
= g×(sina - f×cosa)×t Þ 4,429 = 9,81×(sin45° - 0,3×cos45°)×t , Þ t = 0,912 с
x1 = g×(sina - f×cosa)×t2/2 ℓ = 9,81×(sin45° - 0,3×cos45°)×0,9122/2 = 2,02 м .
Дано:
АВ=20 см.
АС=6 см.
см/с
a=15 cм/c
Найти: , , a, a, ,
Решение:
ОА=ОВ=14,1 см.
=0,7=
СP=см.
=
=
см/с
a=15 см/,
т.к. ползуны двигаются по направляющим и совершают только поступательное движение.
см/
см/
9,85 см/
см/с
Ответ:
см/с
см/с
9,85 см/
=15 см/
Статика твердого тела
I. Плоская система сил система произвольно расположенных сил
Определение реакций опор твердого тела
На схеме показаны три способа закрепления бруса. Задаваемая нагрузка и размеры (м) во всех трех случаях одинаковы.
Р = 10 кН, q = 4 кН/м, исследуемая реакция YA
Определить реакции опор для того способа закрепления бруса, при котором исследуемая реакция Ya имеет наименьший модуль.
Дано: схемы закрепления бруса ( а, б, в): Р = 10 кН; q = 4 кН/м.
Определить реакции опор для того способа закрепления, при котором реакция YA имеет наименьшее числовое значение.
Решение
Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к конструкции. Действие связей на конструкцию заменяем их реакциями (рис. 2): в схеме а — XА, YА, YВ в схеме б — Y’А, Y’В и RC , в схеме в — Y”А , RC , RD. Равномерно распределенную нагрузку интенсивностью q заменяем равнодействующей
Q = q • 4 = 16 кН.
Чтобы выяснить, в каком случае реакция YA является наименьшей, найдем ее для всех трех схем, не определяя пока остальных реакций
Для схемы а
Из первого уравнения подставляем YB во второе, получаем:
8,67 кH
Для схемы б
Из первого уравнения подставляем Y’B во второе, получаем:
13 кН
Для схемы в
Из первого уравнения подставляем RD во второе, получаем:
5 кН
Таким образом, реакция YA имеет наименьшее числовое значение, при закреплении бруса по схеме в.
Определим остальные опорные реакции для этой схемы.
В схеме а:
В схеме б:
8 кН
В схеме в:
Определить реакции опор для способа закрепления бруса, при котором Ма имеет наименьшее числовое значение.
Дано:
Р=20
М=10 кН* q М
q=2 кН/м
Ма = ?
Решение
1. Даны три исходные схемы закрепления бруса мысленно в схемах отбросим связи в точках опор, заменяя их реакциями связей.
2. Равномерно-распределённую нагрузку «q» заменяем равнодействующей «Q» и приложим её в центре действия нагрузки «q» , получим
Q=q*L
Q=2*2=4кН.
3. Для каждой схемы составим минимальное число уравнений равновесия для определения исследуемой реакции.
Cоставим уравнения равновесия:
Ma(fr)=0 ; Ma+M-4P*cos45-3Q=0
Отсюда Ma будет
Ma=-M+P*sin45-3Q=-10+56+12=58kH*м
Ya=.58kH*м
Мa(Fk)=0; Ма -4P*sin45+M-3Q-2Xв=0
F(кх)=0; - Хв+Р*cos45=0 Xв=14кН
Отсюда Ма будет:
Ма=4Р*sin45+3Q+2Xв-M=56+12+28=86кН*м
Ма=86кН
Ma(Fk)=0; Ма+М-4Р*cos45-3Q+4Rc*cos45+2Rc*cos45=0
F(кх)=0; Rc*cos45+Pcos45=0 Rc=20кН
Отсюда Ма будет:
Ма=-М+4P*cos45+3Q-6Rc*cos45=-10+56+12-84=26кН*м
Таким образом, исследуемая наименьшая реакция будет при закреплении бруса по схеме в). Найдём все реакции.
Составим для этой схемы три уравнения равновесия:
Fкх=0 Rc*cos45+Pcos45=0
Fкy=0 Ya-P*cos45-Q+Rc*cos45=0
Ма(Fк)=0 Ма+М-4Р*cos45-3Q+4Rc*cos45+2Rc*cos45=0
Rc=20кН
Yа= P*cos45+Q-Rc*cos45=7+4-14=3кН
Ма=-М+4P*cos45+3Q-6Rc*cos45=-10+56+12-84=26кН*м
Ответ: Ма=26кН.
