|
Рис.1.11 Рис. 1.12 Рис.1.13 Рис.1.14 Рис.1.15
1.4 Момент силы относительно точки
Под действием силы твердое тело наряду с поступательным движением может совершать вращение вокруг того или иного центра. Вращательная способность силы характеризуется моментом силы. Вращательный эффект силы зависит от модуля силы, расстояния от центра до линии действия силы, направления поворота в плоскости вращения.
Абсолютное значение момента равно произведению модуля силы на кратчайшее расстояние h от центра вращения до линии действия силы. Расстояние h называют плечом силы (рис.1.16).
М0 () = F × h, ( 1.1)
Момент считают положительным, если сила стремится вращать плечо h против хода часовой стрелки и отрицательным при вращении по ходу часовой стрелки.
Свойства момента силы относительно точки:
1. Момент силы не изменится при переносе точки приложения силы вдоль линии действия силы.
2. Момент силы равен нулю, если линия действия силы проходит через точку приложения силы.
3. Момент равнодействующей силы относительно точки равен сумме моментов слагаемых сил относительно этой точки.
где (1.2)
Рис.1.16. Рис.1.17.
1.5. Момент силы относительно оси
Моментом силы относительно оси называется момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью.
Момент считается положительным, если с положительного конца оси поворот, который сила стремится совершить, виден происходящим против хода часовой стрелки, и отрицательным – если по ходу часовой стрелки.
. (1.3)
Чтобы найти момент силы относительно оси, нужно (рис 1.17);
1. Провести плоскость перпендикулярную оси z.
2. Спроецировать силу на эту плоскость и вычислить величину проекции .
3. Провести плечо h из точки пересечения оси с плоскостью на линию действия проекции силы и вычислить его длину.
4. Найти произведение этого плеча и проекции силы с соответствующим знаком /
Свойства момента силы относительно оси
Момент силы относительно оси равен нулю, если:
1. , т.е. сила параллельна оси.
2. h=0 , т.е. линия действия силы пересекает ось.
1.6. Момент пары сил
Пара сил оказывает на тело вращающее действие. Момент пары сил равен произведению одной силы на кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары, которое называется плечом пары (рис.1.18)
, (1.4)
где: -силы, составляющие пару;
h - плечо пары
Рис.1.18.
Момент пары считают положительным, если силы стремятся вращать плечо против хода часовой стрелки.
Свойства пары сил
1. Сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю.
2. Не изменяя момента пары можно одновременно соответственно изменять значение сил и плечо пары.
3. Пару можно переносить в плоскости ее действия при этом действие пары на тело не изменится.
1.7. Тождественное преобразование систем сил
Преобразование может быть выполнено графическим или аналитическим способом.
1.7.1. Преобразование сходящейся системы сил
Равнодействующая R двух сходящихся сил находится на основании аксиомы о параллелограмме сил. (рис.1.9). Геометрическая сумма любого числа сходящихся сил может быть определена путем последовательного сложения двух сил (рис.1.19) – способ векторного многоугольника.
Вывод: система сходящихся сил (n) приводится к одной равнодействующей силе .
Рис.1.19 Рис.1.20. Рис.1.21.
Аналитически равнодействующая сила может быть определена через ее проекции на оси координат
, (1.5 )
Согласно теореме: проекция равнодействующей на ось равна сумме проекций слагаемых сил на эту ось (рис.1.20). Rx = F1 x + F2 x + F3 x , или в общем виде
Rx = å Fkx (1.6)
С учетом (1.6) равнодействующая определяется выражением
, (1.7)
Направление вектора равнодействующей определяется косинусами углов между вектором и осями x, y, z (рис.1.20)
где
1.7.2. Преобразование произвольной системы сил.
Применить правило параллелограмма сил непосредственно к произвольной системе сил нельзя, так как линии действия сил не пересекаются в одной точке. Предварительно систему сил приводят к одному центру на основании теоремы о параллельном переносе силы.
Теорема: силу, приложенную к твердому телу, можно, не изменяя оказываемого ею действия, перенести параллельно в другую точку тела, прибавляя при этом пару сил с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, в которую она переносится (рис.1.22).
В результате указанного преобразования получается сходящаяся система сил и сумма моментов пар сил. Действие сходящейся системы сил заменяют действием суммарной силы, действие моментов - суммарным моментом. Суммарный вектор * называют главным вектором системы сил, суммарный момент * - главным моментом системы сил.
Рис.1.22
Вывод: произвольная система сил в результате тождественного преобразования приводится к главному вектору * и главному моменту * системы сил.
Аналитически главный вектор и главный момент системы сил могут быть определены через их проекции на оси координат
, ( 1.8 )
. (1.9)
1.8 Условия равновесия систем сил
1.8.1. Равновесие системы сходящихся сил
По определению (см.п.1.1) действие системы сходящихся сил эквивалентно действию одной равнодействующей силы . Для равновесия тела необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая равнялась нулю = 0.
Из формулы (1.7) следует, что для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на оси X,Y,Z равнялась нулю
å Fkx = 0
å Fky = 0 ( 1.10) åFkz = 0
Для равновесия плоской сходящейся системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на оси X,Y равнялась нулю
å Fkx = 0
å Fky = 0 ( 1.11 )
1.8.2. Равновесие произвольной системы сил.
Действие произвольной системы сил эквивалентно действию главного вектора и главного момента. Для равновесия необходимо и достаточно выполнения условия
* = 0 (1.12 )
* = 0
Для равновесия произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на оси X,Y,Z и суммы моментов всех сил относительно осей X,Y,Z равнялись нулю.
åFkx = 0
åFky = 0
åFkz = 0 (1.13)
åМх (k) = 0
åМy (k) = 0
åМz (k) = 0
Для равновесия плоской произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций главного вектора на оси X,Y, и алгебраическая сумма моментов сил относительно центра О были равны нулю.
åFkx = 0
åFky = 0 (1.14)
åМо (k) = 0
1.9. Вопросы для самоконтроля по разделу
1. Дайте определение абсолютно твердого тела, материальной точки, силы, линии действия силы, системы сил (плоской, пространственной, сходящейся) произвольной систем сил.
2. Что называется проекцией силы на ось, на плоскость?
3. Что называется моментом силы, как определяется момент силы относительно точки?
4. Изменяется ли момент силы относительно данной точки при переносе силы вдоль линии ее действия?
5. В каком случае момент силы относительно данной точки равен нулю?
6. Какая система сил называется парой сил, чему равен момент пары сил?
7. Что называют связью? В чем заключается принцип освобождения от связей? Перечислите основные типы связей, покажите их реакции.
8. Каковы условия и уравнения равновесия системы сходящихся и произвольной систем сил, расположенных в пространстве и в плоскости?
9. Сформулируйте порядок решения задач статики.
2. Кинематика
Кинематика- раздел теоретической механики, в котором рассматриваются общие геометрические свойства механического движения, как процесса, происходящего в пространстве и во времени. Движущиеся объекты рассматривают как геометрические точки или геометрические тела. Соответственно, изучение делят на кинематику точки и кинематику твердого тел
2.1 Основные понятия кинематики
Закон движения точки (тела) – зависимость положения точки (тела) в пространстве от времени.
Траектория точки – геометрическое место положений точки в пространстве при ее движении.
Скорость точки (тела) – характеристика изменения во времени положения точки (тела) в пространстве.
Ускорение точки (тела) – характеристика изменения во времени скорости точки (тела)
2.2. Кинематика точки
