Роль масс притягивающихся тел
Ускорение свободного падения отличаются той любопытной особенностью, что оно в данном месте одинаково для всех тел, для тел любой массы. Как объяснить это странное свойство?
Единственное объяснение, которое можно найти тому, что ускорение не зависит от массы тела, заключается в том, что сила F, с которой Земля притягивает тело, пропорционально его массе m.
Действительно, в этом случае увеличение массы m, например, вдвое приведет к увеличению модуля силы F тоже вдвое, а ускорение, которое равно отношению F/m, останется неизменным. Ньютон и сделал этот единственно правильный вывод: сила всемирного тяготения пропорционально массе того тела, на которое она действует.
Но ведь тела притягиваются взаимно, причем силы взаимодействия всегда одной природы. Следовательно, и сила, с которой тело притягивает Землю, пропорциональна массе Земли. По третьему закону Ньютона эти силы равны по модулю. Значит, если одна из них пропорциональна массе Земли, то и равная ей другая сила также пропорциональна массе Земли. От сюда следует, что сила взаимного притяжения пропорциональна массам обоих взаимодействующих тел. А это значит, что она пропорциональна произведению масс обоих тел.
ПОЧЕМУ ГРАВИТАЦИЯ В КОСМОСЕ НЕ ТАКАЯ, КАК НА ЗЕМЛЕ?
Каждый предмет во Вселенной воздействует на другой предмет, они притягивают друг друга. Сила притяжения, или гравитация, зависит от двух факторов.
Во-первых, это зависит от того, сколько вещества содержит объект, тело, предмет. Чем больше масса вещества тела, тем сильней гравитация. Если тело обладает очень небольшой массой, его гравитация мала. Например, масса Земли во много раз больше массы Луны, поэтому земля имеет большую силу тяжести, чем Луна.
Во-вторых, сила тяжести зависит от расстояниями между телами. Чем ближе тела находятся друг к другу, тем сила притяжения больше. Чем они дальше друг от друга, тем гравитация меньше.
ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ
В гл. 1 отмечалось, что вплоть до средних веков в научном мышлении господствовали идеи Аристотеля. Из них выросла так называемая геоцентрическая система мира, в которой считалось, что небеса обращаются вокруг неподвижной Земли и этим объясняются регулярные восходы Солнца и звезд на востоке и заходы на западе. Мы упоминали, что идеи Аристотеля стали восприниматься как абсолютные истины не только в Греции, но и по всей Европе. Следующий пример из истории Индии показывает, что влияние геоцентрической системы мира распространилось далеко за пределы Европы.
Выдающийся индийский астроном V в. н. э. Ариабхата оспаривал представление о покоящейся Земле и движущемся космосе. В его санскритском трактате по астрономии “Ариабхатиам” имеется ясное указание на вращение Земли вокруг своей оси (глава 4, стих 9): “Подобно тому, как человек, плывущий в лодке по реке, видит, что деревья на берегу уходят в обратную сторону, так и неподвижные звезды кажутся нам движущимися с востока на запад”. Однако представление “Земля неподвижна - космос движется” так прочно укоренилось в индийской астрономии, что ученики и последователи Ариабхаты либо вообще отрицали, что он когда-либо придерживался противоположных взглядов, либо пытались истолковать упомянутое изречение иначе, чтобы оно звучало не так вызывающе для ученых того времени.
Геоцентрическая модель мира не ограничивалась только движениями звезд. Эти движения были вполне регулярны и вполне соответствовали критерию Аристотеля о кругообразности или прямолинейности естественных движений. Но был еще один класс объектов - планеты, движения которых выглядели весьма нерегулярными. (Греческое слово планетес означает “блуждающая”.) У планет иногда наблюдается попятное движение, а скорость прямого движения меняется и становится то больше, то меньше. Чтобы приспособить такие движения к аристотелевой системе мира, греческим астрономам, в особенности Гиппарху и Птолемею, пришлось прибегнуть к сложным геометрическим построениям, включающим круговые пути планет, называемые эпициклами. Эта попытка была небезуспешной в том смысле, что с помощью теории эпициклов удавалось предсказывать, в какой части неба будет находиться планета в данный день. В те времена требования к точности наблюдений не были такими жесткими, как теперь, и благодаря успехам этой теории, естественно, она приобрела статус догмы.
Рисунок 1.2 Представления о движении планет в Средневековье.
а – построения Птолемея. Земля находится в точке Е, а планета – в точке Р, которая двигается по кругу с центром L. В свою очередь центр L двигается вокруг Е по иному кругу, центр которого не совпадает с Е.
б – построения Коперника также основаны на кругах, но в них зафиксирована точка S, которая обозначает Солнце. Планета Р двигается по кругу, центр которого L двигается по другому кругу, центр которого не совпадает с S.
Вызов геоцентрической системе бросил Николай Коперник (1473-1543), предложивший для описания движений в Солнечной системе совершенно иную схему. В этой схеме, называемой гелиоцентрической системой мира, предполагается, что Солнце неподвижно в пространстве, а планеты, в том числе и Земля, обращаются вокруг него. Как и Птолемей, для описания движений планет Коперник также привлек (может быть, под влиянием Аристотеля?) сложные построения с окружностями (рис. 1.2).
Построения Коперника проще, но вовсе не приводят к большей точности по сравнению с геоцентрической системой. Главная их ценность в том, что в них впервые закреплено центральное положение Солнца в планетной системе. Трудно пришлось бы тому, кто попытался бы строить в геоцентрической системе динамическую теорию для объяснения движения планет, из-за той роли, которая отводилась Земле. Ключ к разгадке движения планет связан, как мы увидим ниже, не с Землей, а с Солнцем.
При жизни Коперника его гипотеза встретила сильное сопротивление. Лишь на смертном одре увидел Коперник опубликованной свою книгу “Об обращении небесных сфер”. Ее влияние на следующие поколения сказалось не сразу, но оно было огромным.
В гл. 1 упоминалось, какую могучую поддержку теории Коперника оказал Галилей. Однако только Иоганну Кеплеру (1571-1630) удалось, исходя из тщательных наблюдений, развить теорию Коперника. Для описания планетных орбит Коперник пытался использовать окружности, но Кеплер обнаружил, что лучше всего эти орбиты описываются эллипсами. Кеплер пришел к следующим трем законам движения (рис. 1.3).
Рисунок 1.3. Иллюстрация законов Кеплера
1. Орбита планеты есть эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце.
2. Радиус-вектор, проведенный от Солнца к планете, описывает равные площади в равные промежутки времени.
3. Квадрат времени, необходимого для одного полного оборота, пропорционален кубу большой оси орбиты.
Законы Кеплера послужили эмпирической основой для динамической теории Ньютона. Законы Кеплера описали, как движутся планеты; законы движения и гравитации Ньютона позволили понять, почему движение планет подчиняется законам Кеплера.
НЬЮТОНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ И ДВИЖЕНИЕ В СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЕ
Чтобы начертить окружность радиуса r с центром в точке S, нужно закрепить один конец нити в S, а к другому привязать карандаш Р. Длина нити - это радиус r. Держа нить натянутой, ведем карандашом по бумаге, и он вычерчивает окружность. А как вычертить эллипс с фокусами в точках S и S' и большой полуосью а? Тут построение немного сложнее (рис. 1.4). Возьмем кусок нити длиной 2а и закрепим ее концы в S и S'. Будем вести карандашом так, чтобы его конец Р скользил вдоль нити, а участки PS и PS' были все время натянуты. При построении окружности конец карандаша все время остается на расстоянии PS = а; в случае эллипса PS + PS' = 2а. Ясно, что при построении эллипса расстояние SS' не может превышать 2a. Когда S и S' совпадают, эллипс превращается в окружность.
Рисунок 1.4. Простой способ построения эллипса.
Ньютон применил свою динамику для описания движения планет под действием тяготения Солнца. Его уравнения движения (см. гл. 1) связывают ускорение планеты с приложенной силой, в данном случае - с силой тяготения. Можно ли, зная ускорение планеты, рассчитать ее траекторию в пространстве? Для решения этой задачи Ньютон создал новый раздел математики, который он назвал флюксиями и который теперь называется математическим анализом. При помощи методов анализа ему удалось доказать, что планеты движутся по эллиптическим траекториям и подчиняются трем законам Кеплера. Но научное сообщество всегда склонно к консерватизму и с подозрением относится к новым методам. Поэтому, чтобы сделать теорию более доступной. Ньютон придал своим простым аналитическим доказательствам более привычную, хотя и более громоздкую, геометрическую форму. В книге Ньютона “Математические начала натуральной философии”, опубликованной в 1687 г., содержится его знаменитая работа о движении и гравитации.
Можно понять, как из законов Кеплера вытекает закон обратной пропорциональности квадрату расстояния для гравитации, и не прибегая к тонким математическим рассуждениям. Рассмотрим упрощенную задачу движения по окружности, которая, как отмечалось выше, является частным случаем эллипса.
На рис. 1.5 изображена планета Р массы т, которая движется по окружности с центром S, где находится Солнце. Прежде всего отметим, что, поскольку радиус SP описывает равные площади за равные промежутки времени (второй закон Кеплера), точка Р должна двигаться по окружности с постоянной по величине скоростью.
Рисунок 1.5. Поскольку планета Р движется по круговой орбите, а Солнце находится в центре, то сила взаимодействия между Солнцем и планетой и центростремительно ускорение направлены по радиусу.
Пусть радиус круга равен r, тогда длина окружности равна 2πr. Если период обращения планеты равен Т, то постоянная величина скорости v выражается так:
.
В каком направлении должна действовать сила на планету Р, чтобы она двигалась по окружности? Утверждать, что сила действует в направлении движения, значит, впадать в ту же ошибку, что Аристотель и его последователи. Сила связана не со скоростью, а с ускорением. А ускорение точки Р направлено к центру S и равно по величине v2/r (см. гл. 1). Поэтому сила F, действующая на планету, направлена к центру и вычисляется по второму закону Ньютона: сила равна произведению массы на ускорение, или
