Этот абсурдный результат объясняется неприменимостью уравнения для малых r.
§ 3. Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении
Найдем уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении, образующем с осями координат x, y, z углы ?, ?, ?. Пусть колебания в плоскости, проходящей через начало координат (рис. 3.1), имеют вид
( = a cos ( (t + ( )
Возьмем волновую поверхность (плоскость), отстоящую от начала
координат на расстояние l. Колебания в этой плоскости будут отставать от
колебаний (3.1) на время ? =l/v:
( = a cos [ (( t - ) + ( ] = a cos ( (t - kl + ( ).
(k = ?/v; см. формулу (2.7)).
Выразим l через радиус-вектор точек рассматриваемой поверхности. Для
этого введем единичный вектор n нормали к волновой поверхности. Из рис. 3.1
видно, что скалярное произведение n на радиус-вектор r любой из точек
поверхности равно l: nr = r cos ?= l.
Заменим в (3.2) l через nr:
( = a cos ( (t - knr + ( )
Вектор k = kn,
равный по модулю волновому числу k = 2?/? и имеющий направление нормали к волновой поверхности, называется волновым вектором. Таким образом, уравнение (3.3) можно представить в виде
( ( r, t ) = a cos ( (t - kr + ( )
Мы получили уравнение плоской незатухающей волны, распространяющейся в направлении, определяемом волновым вектором k. Для затухающей волны нужно добавить в уравнение множитель e–?l = e–? nr.
Функция (3.5) дает отклонение от положения равновесия точки с радиусом-
вектором r в момент времени l (r определяет равновесное положение точки).
Чтобы перейти от радиуса-вектора точки к ее координатам х, у, z, выразим
скалярное произведение kr через компоненты векторов по координатным осям: kr = kxx + kyy + kzz.
Тогда уравнение плоской волны примет вид
( (x, y, z, t ) = a cos ( (t - kxx – kyy – kzz + ( )
Здесь
Функция (3.6) дает отклонение точки с координатами х, у, z в момент времени
t. В случае, когда n совпадает с ex, kx = k, ky = kz = 0 (и уравнение (3.6)
переходит в (2.8). Очень удобна запись уравнения плоской волны в виде
( = Re aei (?t-kr+?)
Знак Re обычно опускают, подразумевая, что берется только вещественная
часть соответствующего выражения. Кроме того, вводят комплексное число в = aei?,
которое называют комплексной амплитудой. Модуль этого числа дает амплитуду,
а аргумент – начальную фазу волны Таким образом, уравнение плоской
незатухающей волны можно представить в виде
( = вei (?t-kr)
Преимущества такой записи выяснятся в дальнейшем.
§ 4. Волновое уравнение
Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым. Чтобы установить вид волнового уравнения, сопоставим вторые частные производные по координатам и времени от функции (3.6), описывающей плоскую волну. Продифференцировав эту функцию дважды по каждой из переменных, получим
Сложение производных по координатам дает
Сопоставив эту сумму с производной по времени и заменив k2/?2 через 1/v2
(см. (2.7)), получим уравнение
Это и есть волновое уравнение. Его можно записать в виде
где ? – оператор Лапласа.
Легко убедиться в том, что волновому уравнению удовлетворяет не только функция (3.6), но и любая функция вида
Действительно, обозначив выражение, стоящее в скобках в правой части (4.4), через ?, имеем
Аналогично
Подстановка выражений (4.5) и (4.6) в уравнение (4.2) приводит к выводу, что функция (4.4) удовлетворяет волновому уравнению, если положить v=?/k.
Всякая функция, удовлетворяющая уравнению вида (4.2), описывает некоторую волну, причем корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при , дает фазовую скорость этой волны.
Отметим, что для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид
§ 5. Скорость упругих волн в твердой среде
Пусть в направлении оси х распространяется продольная плоская волна.
Выделим в среде цилиндрический объем с площадью основания S и высотой ?x
(рис. 5.1). Смещения ? частиц с разными х в каждый момент времени
оказываются различными (см. рис. 1.3, на котором изображено ? в функции от
x). Если основание цилиндра с координатой х имеет в некоторый момент
времени смещение ?, то смещение основания с координатой x+?x будет ?+??.
Поэтому рассматриваемый объем деформируется – он получает удлинение
(алгебраическая величина, соответствует сжатию цилиндра) или относительное
удлинение. Величина дает среднюю деформацию цилиндра. Вследствие того, что
? меняется с изменением х не по линейному закону, истинная деформация в
разных сечениях цилиндра будет неодинаковой. Чтобы получить деформацию ? в
сечении х, нужно устремить ?x к нулю. Таким образом,
(символ частной производной взят потому, что зависит не только от x, но и
от t).
Наличие деформации растяжения свидетельствует о существовании нормального напряжения ?, при малых деформациях пропорционального величине деформации. Согласно формуле (14.6) 1-го тома
(E – модуль Юнга среды). Отметим, что относительная деформация ,
а следовательно, и напряжение ? в фиксированный момент времени зависят от х
(рис. 5.2). Там, где отклонения частиц от положения равновесия максимальны,
деформация и напряжение равны нулю. В местах, где частицы проходят через
положение равновесия, деформация и напряжение достигают максимального
значения, причем положительные и отрицательные деформации (т. е. растяжения
и, сжатия) чередуются друг с другом. В соответствии с этим, как уже
отмечалось в §1. продольная волна состоит из чередующихся разрежений и
сгущений среды.
Обратимся снова к цилиндрическому объему, изображенному на рис. 5.1, и напишем для него уравнение движения. Полагая ?x очень малым, проекцию ускорения на ось x можно считать для всех точек цилиндра одинаковой и равной . Масса цилиндра равна ?S?x, где ? – плотность недеформированной среды. Проекция на ось x силы, действующей на цилиндр, равна произведению площади основания цилиндра S на разность нормальных напряжений в сечениях (x+?x+?+??) и (x+?):
Значение производной в сечении x+? можно для малых ? представить с большой точностью в виде
где под подразумевается значение второй частной производной ? по х в сечении х.
Ввиду малосги величин ?x, ? и ?? произведем в выражении (5.3) преобразование (5.4):
(относительное удлинение при упругих деформациях бывает много меньше единицы. Поэтому ?? , так что слагаемым ?? в сумме ?x+??, можно пренебречь).
Подставив найденные значения массы, ускорения и силы в уравнение второго закона Ньютона, получим
Наконец, сократив на S?x, придем к уравнению
которое представляет собой волновое уравнение, написанное для случая, когда
? не зависит от у и z. Сопоставление уравнений (4.7) и (5.6) дает, что
Таким образом, фазовая скорость продольных упругих волн равна корню квадратному из модуля Юнга, деленного на плотность среды. Аналогичные вычисления для поперечных волн приводят к выражению
где G – модуль сдвига.
§ 6. Энергия упругой волны
Пусть в некоторой среде распространяется в направлении оси х плоская продольная волна
( = a cos ( (t - kx + ( )
Выделим в среде элементарный объем ?V, настолько малый, чтобы скорость движения и деформацию во всех точках этого объема можно было считать одинаковыми и равными, соответственно, и .
Выделенный нами объем обладает кинетической энергией
(??V – масса объема, – его скорость).
Согласно формуле (25.4) 1-го тома рассматриваемый объем обладает также потенциальной энергией упругой деформации
(? = – относительное удлинение цилиндра, Е — модуль Юнга среды).
Заменим в соответствии с (5.7) модуль Юнга через ?v2 (? – плотность среды,
v – фазовая скорость волны). Тогда выражение для потенциальной энергии
объема ?V примет вид
Выражения (6.2) и (6.3) в сумме дают полную энергию
Разделив эту энергию на объем ?V, в котором она содержится, получим плотность энергии
Дифференцирование уравнения (6.1) один раз по t, другой раз по x дает
Подставив эти выражения в формулу (6.4) и приняв во внимание, что k2v2 =
?2, получим
В случае поперечной волны для плотности энергии получается такое же
выражение.
Из (6.5) следует, что плотность энергии в каждый момент времени в разных точках пространства различна. В одной и той же точке плотность энергии изменяется со временем по закону квадрата синуса. Среднее значение квадрата синуса равно 1/2. Соответственно среднее по времени значение плотности энергии в каждой точке среды равно
Плотность энергии (6.5) и ее среднее значение (6.6) пропорциональны
плотности среды ?, квадрату частоты ? и квадрату амплитуды волны а.
Подобная зависимость имеет место не только для незатухающей плоскости
волны, но и для других видов волн (плоской затухающей, сферической и т.
д.).
Итак, среда, в которой распространяется волна, обладает дополнительным запасом энергии. Эта энергия доставляется от источника колебаний в различные точки среды самой волной; следовательно, волна переносит с собой энергию. Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии через эту поверхность. Если через данную поверхность переносится за время dt энергия dW, то поток энергии ? равен
Поток энергии – скалярная величина, размерность которой равна размерности
энергии, деленной на размерность времени, т. е. совпадает с размерностью
мощности. В соответствии с этим ? измеряется в ваттах, эрг/с и т. п.
Поток энергии в разных точках среды может быть различной интенсивности. Для характеристики течения энергии в разных точках пространства вводится векторная величина, называемая плотностью потока энергии. Эта величина численно равна потоку энергии через единичную площадку, помещенную в данной точке перпендикулярно к направлению, в котором переносится энергия. Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии.
Пусть через площадку , перпендикулярную к направлению распространения волны, переносится за время ?t энергия ?W. Тогда плотность потока энергии равна
(см. (6.7)). Через площадку (рис. 6.1) будет перенесена за время ?t
энергия ?W, заключенная в объеме цилиндра с основанием и высотой v?t (v
– фазовая скорость волны). Если размеры цилиндра достаточно малы (за счет
малости и ?t) для того, чтобы плотность энергии во всех точках цилиндра
можно было считать одинаковой, то ?W можно найти как произведение плотности
энергии w на объем цилиндра, равный v?t:
Подставив это выражение в формулу (6.8), получим для плотности потока энергии:
