= d = .
Если учесть, что , а - поверхностная плотность поляризационных зарядов, то формулу (18) можно записать в виде:
где , а величина , которая входит в граничное условие (18), есть поверхностная плотность зарядов, избыточных по отношению к связанным зарядам самого вещества.
Используя уравнение (2) и проводя аналогичные рассуждения, получаем граничное условие для вектора :
(19)
Выражения (18) и (19) – граничные условия для нормальных составляющих векторов и . Чтобы получить условия для тангенциальных составляющих можно использовать уравнения (1) и (3). Умножим уравнение (3) скалярно на положительную нормаль к поверхности S, ограниченной контуром L, имеющим вид прямоугольника (рис. 3).
Используя теорему Стокса, получим:
Перепишем это уравнение в виде:
(20)
Здесь и - значения вектора соответственно в средах 1 и 2, - единичный вектор, касательный к поверхности раздела, - нормаль к поверхности раздела, направленная из среды 2 в среду 1.
Пусть теперь при малом, но фиксированном l. Тогда , и соотношение (20) примет вид:
и после сокращения на l имеем:
здесь . Вектор , как следует из рисунка 2, можно записать как в виде . Тогда
предыдущее выражение можно записать, как
.
Поскольку эта формула справедлива для любой ориентации поверхности , а следовательно, и
вектора , то имеем
(21)
В граничном условии (21) присутствует поверхностная плотность тока, избыточная по отношению к токам намагничивания. Если токи отсутствуют, то следует положить =0. Учитывая, что , а есть поверхностная плотность тока намагничивания, запишем формулу (21) в виде:
где .
Используя уравнение (1) и проводя аналогичные рассуждения, получаем граничные условия для вектора :
(22)
Таким образом, уравнения Максвелла (1) - (4) должны быть дополнены граничными условиями (18), (19), (21) и (22). Эти условия означают непрерывность тангенциальных составляющих вектора (22) и нормальной составляющей вектора (19) при переходе через границу раздела двух сред. Нормальная составляющая вектора при переходе через границу раздела испытывает скачок, тангенциальная составляющая вектора , если имеются поверхностные токи (21).
Ещё одно граничное условие можно получить, используя уравнение непрерывности (0) и уравнение (4), из которых следует:
Так как граничное условие (19) является следствием уравнения (2), то по аналогии находим:
(23)
Если же на поверхности раздела нет зарядов, поверхностная плотность которых зависит от времени, то из (18) и (23) следует непрерывность нормальных составляющих плотности тока:
.
Итак, граничные условия на поверхности раздела двух сред имеют вид:
;
(24)
;
где - нормаль к границе раздела, направленная из среды 2 в среду 1, и должны выполняться в любой момент времени и в каждой точке поверхности раздела.
3. Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики
Так как на практике почти всегда приходится решать уравнения Максвелла (1) – (4) в кусочно-непрерывных средах, то граничные условия (24) следует рассматривать как неотъёмлемую часть уравнений Максвелла (1) – (4).
В случае стационарных электрических и магнитных полей ( и) система уравнений Максвелла (1) – (4) распадается на систему
уравнений электростатики:
, , (25)
и уравнений магнитостатики:
, , , (26)
а граничные условия остаются те же.
4. Пример
В качестве примера решения электростатических задач можно вычислить электрическое поле, создаваемое диэлектрическим шаром радиуса R, находящемся в однородном электрическом поле . Уравнения электростатики в диэлектрике (25) при =0 имеют вид:
, , (27)
Из этих уравнений следует, сто потенциал электростатического поля удовлетворяет уравнению
(28)
причём = -, -. В однородном диэлектрике =const , поэтому уравнение (27) переходит в обычное уравнение Лапласа =0.
Граничное условия (24), выражающее непрерывность вектора индукции, записывается следующим образом:
при r=R (29)
Здесь – решение уравнения вне сферы, а – внутри сферы. Вместо граничного условия непрерывности тангенциальных составляющих электрического поля можно использовать эквивалентное ему условие непрерывности потенциала
= (30)
Это условие можно получить, рассматривая интеграл по контуру, изображенному на рис. 2. Воспользовавшись теоремой Стокса и уравнением , находим
Так как интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, то это значит, что функция непрерывна, откуда и следует условие (30). Из (30) очевидно так же, что
где элемент направлен касательно к границе раздела. Из этого равенства следует, что тангенциальные компоненты вектора также непрерывны.
Для решения поставленной задачи используем сферическую систему координат, полярная ось которой (ось z) совпадает с направлением напряжённости однородного внешнего электрического поля .
Поскольку на достаточно большом удалении от диэлектрического шара электрическое поле не искажается наличием этого шара, то потенциал должен удовлетворять условию
при .
Из соображений симметрии ясно, что потенциал не должен зависеть от азимутального угла, поэтому решение уравнения Лапласа запишем в виде разложения по полиномам Лежандра :
,
.
Здесь потенциал нормирован так, чтобы при . Так как , то из условия на бесконечности находим .
Воспользуемся теперь граничными условиями (29) и (30):
Приравнивая коэффициенты при одинаковых полиномах Лежандра, получаем
=0 при (l=0),
при (l=1),
при (l>1).
Из этих уравнений находим
, .
Все остальные коэффициенты равны нуля, если .
Таким образом, решение задачи имеет вид:
(30)
Используя формулу , вычислим вектор поляризации диэлектрической сферы
С помощью вектора поляризации формулы (30) можно записать в виде:
(31)
(32)
где - объём сферы.
Первые два слагаемых в (31) и (32) представляют собой потенциал однородного внешнего поля, создаваемого внешними источниками. Вторые – это потенциал электрического поля, создаваемого электрическим шаром, поляризованным внешним полем. Вне сферы – это потенциал диполя с дипольным моментом . Внутри сферы поляризованный шар создаёт однородное электрическое поле с напряжённостью
(33)
Полная напряжённость внутри шара
(34)
Таким образом, электрическое поле внутри шара не зависят от радиуса шара и ослаблено на значение поля , которое называется деполяризующим полем. Возникновение деполяризующего поля есть частный случай явления экранировки внешнего поля связанными или свободными зарядами.
5. Приложение.
1. Формула Остроградского – Гаусса.
Пусть f (x, y, z) - некоторая функция , а S - замкнутая поверхность, ограничивающая объём V. На отрезке 1-2 (рис. 4), параллельном оси X, f - является функцией одного аргумента x. Интегрируя вдоль этого отрезка получим:
где и - значения функции f на концах рассматриваемого промежутка.
Построим теперь бесконечно узкий цилиндр, одной из образующих которого является отрезок 1 2. Пусть dσ - площадь поперечного сечения его (величина положительная). Умножая предыдущее соотношение на dσ. Так как dσdx есть элементарный объём dV, заштрихованный на рисунке, то в результате получится:
,
где dV – часть объёма V, вырезаемого из него поверхность цилиндра. Пусть dS1 и dS2 эле -ментарные площадки, вырезаемые тем же цилиндром на поверхности S, а 1 и 2 –
единичные нормали к ним, проведенные наружу от поверхности S. Тогда:
dσ = d2 2х = - d1 1х,
а поэтому:
или короче: где поверхностный интеграл распространён на сумму площадок dS1 и dS2. Весь объём V можно разделить на элементарные цилиндры рассматриваемого вида и написать для каждого из них такие же соотношения. Суммируя эти соотношения, получим:
(35)
Интеграл справа распространён по всему объёму V, справа – по поверхности S, ограничивающей этот объём. Аналогичные соотношения можно написать для осей Y и Z.
Возьмём теперь произвольный вектор и применим к его компонентам соотношение (35). Получим:
и аналогично для компонент Ay и Az . Складывая эти соотношения, найдём:
или:
Эту формулу Остроградского – Гаусса можно также записать в виде:
Смысл её заключается в том, что полный поток вектора через некоторую поверхность S равен суммарной алгебраической мощности источников, порождающих векторное поле.
Если объём V бесконечно мал, то величина div внутри него может считаться постоянной. Вынося её за знак интеграла и переходя к пределу V→ 0, получим:
Предельный переход надо понимать в том смысле, что область V должна стягиваться в точку, т.е. размеры этой области должны беспредельно уменьшаться по всем направлениям. Эти рассуждения показывают, что величина, стоящая в правой части вышеуказанной формулы, не зависит от формы поверхности S, стягиваемой в точку. Поэтому это выражение можно принять за исходную формулировку дивергенции. Такое определение обладает преимуществом, потому что оно инвариантно, т.е. никак не связано с выбором координат.
2. Формула Стокса.
По определению ротор (вихрь) некоторого вектора :
(36)
Зная ротор вектора в каждой точке некоторой (не обязательно плоской) поверхности S, можно вычислить циркуляцию этого вектора по контуру , ограничивающему S, (контур также может быть не плоским). Для этого разобъём поверхность на очень малые элементы . Ввиду их малости эти элементы можно считать плоскими. Поэтому в соответствии с (36) циркуляция вектора по контуру, ограничивающему , может быть представлена в виде.
(37)
где - положительная нормаль к элементу поверхности.
Зная, что циркуляция по некоторому контуру равна сумме циркуляций по контурам, содержащиеся в данном, можно просуммировать выражение (37) по всем , и тогда получим циркуляцию вектора по контуру , ограничивающему S:
.
Осуществив предельный переход, при котором все стремиться к нулю (число их при этом неограниченно растёт, придём к формуле:
(38)
Соотношение (38) носит название теоремы Стокса. Смысл её состоит в том, что циркуляция вектора по произвольному контуру равна потоку вектора через произвольную поверхность S , ограниченную данным контуром.
6. Список использованной литературы
- Федорченко А. М. Классическая электродинамика. – К.: Вища школа, 1988. – 280 с.
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. Электричество. – М.: Наука, 1983. – 688 с.
- Савельев И. В. Курс обшей физики. 3 том. – М.: Наука, 1988. – 496 с.
