Подальше спрощення можливо, якщо можна припустити, що фіксована занурена частина поглинача - маленька осадка судна. Тоді єдиний гідродинамічний ефект структури повинен обмежити розмір і форму внутрішніх вільних поверхонь Sі. Але тепер оцінка qd тривіальна, оскільки вимагає тільки інтегрування набігаючого потенціалу по Si, оскільки розсіяним потенціалом можна знехтувати.
Як приклад загальної теорії ми розглядаємо тільки одну внутрішню вільну поверхню S1, так, щоб:
коли з (А1)
Якщо S1 та SB асиметричні таким чином, що qd не залежить від кута атаки, отримаємо:
де l(b) означає ширину захвата для пристрою, і l - довжина набігаючої хвилі. Цей результат ідентичний отриманим для асиметричних окремих поглинаючих тіл коливання у вертикальних переміщеннях (Будал та Калнес 1975; Кванс 1970, Нюман 1976).
Для неасиметричних розподілів тиску, які мають нульову тягу подальше просування можна все ще зробити, використовуючи (2.23).
Рис.1. Зміна максимального відношення ширини захвата, lmax/2b з кутом атаки b для регулярних хвиль, які наближаються до прямокутного поглинаючого поверхневого розподілу тиску, для різних значень безрозмірного числового числа ka і b/a = 2. Пунктири показують асиметричні значення (2kb)-l
Ми маємо з (2.22) - (2.24):
Розглянемо окремий прямокутний розподіл тиску з нульовою тягою, яка охоплює S1 : |х|£а, |y|£ b. Тоді:
де
таким чином, що:
де
Цей простий вираз дозволяє зробити оцінку впливу форми і орієнтації окремого прямокутного розподілу тиску на ширині захвата максимальної потужності.
Зверніть увагу, що з (2.25):
таким чином, що частинний випадок:
ілюструє відносну ефективність поверхні тиску в відходящих та зустрічних хвилях.
Рис. 2. Зміна відношення максимальної ширини захвата, lmax/2b з відносним подовженням b/a, для регулярних хвиль, які наближаються до прямокутного поглинаючого поверхневого розподілу тиску для різних значень безрозмірного хвильового числа ka.
Результати, які базуються на обчисленні рівнянь (2.25) - (2.27) даються на рис. 1 і 2. На рис. 1 ширина захвата безрозмірна відносно ширини пристрою 2b, зображена як функція кута атаки хвилі для випадку b/a = 2 і для різних значень ka. Не показаним є випадок b=a, де зміна lmax/2b з аксіально-симетричних результатів (2.24) є маленькою з оптимальним кутом атаки рівним b = ¼ p, коли гребені хвилі паралельні діагоналі квадрату. Як могло б очікуватися, коливання lmax/2b з b більші для більшого ka, оскільки прямокутна форма більше впливає на коротші хвилі. Наприклад аксіально-симетричний розподіл тиску має максимальну ширину захвата близько 5/8 діаметру в хвилях приблизно 8 розмірів діаметру (ka = 0,4). Для прямокутного розподілу тієї ж самої ширини але половини довжини (b/a = 2) збільшення в ширині захвата в убігаючих хвилях, b=0 °, є тільки приблизно 10 %. З іншого боку, для хвиль 4 розмірів діаметру (ka = 0, 8) ширина захвата збільшується приблизно до 60 % з 3/10 діаметру до приблизно 2/5 ширини пристрою. Оскільки з формули (2.26) ми знаходимо, що протилежний ефект відбувається в верхніх морях b = ½p, де прямокутний розподіл (з b/a® 1) завжди менш ефективний ніж аксіально-симетричний розподіл. Як відношення ширини захвату в убігаючих хвилях залежить від відносного подовження (b/a) прямокутного розподілу показано на рис. 2 для різних значень ka. Як могло б очікуватися, з b/a® ¥ відношення ширини захвата наближається до 0, 5, що є результатом для ефективності потужності поглинання двовимірним розподілом (див. рівняння (2.29)).
Результати, які відповідають двовимірним розподілам тиску можна отримати, повертаючись до (2.21) і використовуючи результати (А 32), (А 33), які дають:
Знову, що стосується тривимірних розподілів тиску, для визначення значення максимальної ефективності, необхідно тільки вирішити єдину дифракційну задачу для розсіювання набору хвиль твердою частиною системи поверхонь тиску. Як тільки це визначено, qdm знаходиться з (А 17), а максимальна потужність поглинання з (2.21).
Значно спростити задачу, можна розглянувши випадок однієї поверхні тиску, тоді одержуємо ефективність потужності поглинання:
Тут Wmах - інтерпретується як максимальна середня потужність поглинання одиницею ширини розподілу тиску.
Для хвиль, які наближаються з x = +¥ аргумент нумератора повинен бути замінений p. Альтернативний вираз:
( де f ± визначений з (А 28)), показує, як для твердого поглинача хвильової енергії у двох вимірах, що гарний нереверсивний генератор хвилі (у напрямку від того, де набігаюча хвиля прибуває) є гарним поглиначем.
Знову з (2.30) витікає, що для розподілу тиску, який симетричний щодо осі x, таким чином, що f + = f -, максимум ефективності є ½ , в той час як з (2.30) для довільного єдиного розподілу тиску:
Для наступного найпростішого випадку двох розподілів тиску (N = 2), підстановка (2.28) в (2.21) дає, після деяких математичних перетворень:
показує, що вся енергія набігаючих хвиль може бути поглинена. Цей результат забезпечує:
що є умовою, яка гарантує, що B-1 існує. З (А 34) рівняння (2.31), як видно, еквівалентне
умова, яка зустрічається у випадку твердого тіла, як в Срокоза та Еванса (1979), так і в Коунта та Джеферса (1980), які вказують, що це виключає обидва способи, як симетричний (fт + = fт - ), так і або асиметричний (fт + = - fт - ).
Якщо N> 2 , формула (2.14) більше не застосовується, оскільки B автоматично сингулярне. Це випливає з того, що B можна записати:
що показує, що B може мати порядок 2 та більше. Це твердження також отримане Коунто та Джеферсом (1980) в контексті твердого тіла.
Формула (2.32) забезпечує альтернативний вираз до (2.12) для середньої потужності, а саме:
який є аналогічним отриманому Ньюманом (1976), рівняння (61а) для випадку твердого тіла, яке коливається багатьма способами.
Здається імовірно, що максимальна поглинальна ефективність для N> 2 є також одиничною, але загального доказу з (2.33) ще немає. Зрозуміло, однак, що оптимальні значення для p не будуть єдиними.
2. Умови резонансу
Максимум потужності поглинання, даний в (2.21). Однак, цього можна досягнути, якщо тільки ми можемо стверджувати, що L= Z. Практично, малоймовірно що матриця L буде не реальна і діагональна з позитивними елементами. Ми розглядаємо значення цього для випадку єдиної внутрішньої вільної поверхні.
Ми маємо:
Для даних A, B, як функції w2a/g,
з
Для аксіально-симетричного розподілу тиску та зв'язаної структури, з (А 27)
таким чином, що
в той час для двовимірного симетричного розподілу тиску,
Зрозуміло, що цікаво установити, чи є значення w2a/g для якого А зникає, відповідно викликаючи об’єм потоку униз по поверхні перебуваючи в фазі з прикладеним тиском. Будемо розглядати два простих приклади, для яких можна отримати явні рішення.
(а) Двовимірна область хвилі, створена однорідним простим гармонічним тиском по кінцевому інтервалі |х| <а осі х , що представляє вільну поверхню вперше була вирішена Стокером (1957) і згодом розглянута Огільві (1969) та Фалькао і Сарменто (1980). Для цієї простої задачі маємо, (А32), (А33):
і це легко показує, що
оскільки там немає розсіяного потенціалу.
Рис. 3. Зміна функції А(ka), визначена рівнянням (3.10), з безрозмірним хвильовим числом ka, для круглого однорідного коливального поверхневого розподілу тиску радіусом a.
Вираз для А(ka) більше ускладнено, включаючи спеціальні функції Ci й Si. Однак Фалька і Сарменто (1980) показали, і це може бути підтверджене Огільві (1969), рис. 15, що А(kа) = 0 для ka = 1,3 відповідно до половини ширини смуги приблизно п’ята частина довжини хвилі. Рівняння (3.6) тепер показу, що зі збільшенням ka від нуля, максимальна ефективність 0,5 досягається приблизно при ka = 1,3 для А(ka)= 0, але ефективність знижується до нуля при наступних значеннях ka, для яких В(ka) = 0 , а саме ka = np, n = 1,2, ... . Криві, які показують зміну hmax з ka даються Фалкао та Сарменто (1980).
(b) Як наступний приклад ми розглядаємо аксіально-симетричний розклад вищезгаданого до однорідного коливального розподілу тиску по диску радіусом а на вільній поверхні в глибокій воді. Результуючу тривимірну аксіально-симетричну область хвилі можна визначити явно, використовуючи теорему Гріна разом з фундаментальним потенціалом джерела хвилі в трьох вимірах або, більш просто, за допомогою перетворення Хенкеля.
Знайдено, що
в той час:
Тут J1, Y1, I1, K1 - функції Бесселя у звичайному розумінні. Похідні цього результату разом з розкладами до кінцевої глибини і трубками, які пересікають поверхню води можна знайти у Томаса (1981)
Рис. 4. Зміна klmax з безрозмірним хвильовим числом ka, для циркулярного поглинання коливальних поверхневих розподілів тиску (суцільна лінія) і циркулярного поглинання твердого диску (пунктирна лінія).
Рис. 5. Зміна безрозмірного відношення ширини захвату lmax/2a з безрозмірним хвильовим числом для циркулярного поглинання коливального поверхневого розподілу тиску (суцільна лінія) і циркулярного поглинання коливального твердого диску (пунктирна лінія). Також показаний теоретичний оптимум (2ka) -l у кожному випадку.
Граф виразу в фігурних дужках в (3.10) показаний на рис. 3 проти ka. Здається, що А(ka) має тільки сім нулів, перший з яких є ka = 1,96 відповідно до радіуса диску приблизно три десятки довжини хвилі. Перший нуль B (ka) відбувається в ka = 3,83.
На рис. 4 показана зміна klmax з ka в той час, як рис. 5 показує безрозмірну зміну ширини захвата щодо діаметру диска. Можна побачити, що максимальне значення klmаx відбувається в першому нулі поки klmах зменшується до нуля при ka = 3,83 відповідно до першого нуля B (ka). Наступні нулі А(ka), B (ka) викликають коливальну поведінку klmax зі збільшенням ka. Найкраще це показано при відношенні ширини захвата lmax/2a зі зміною ka. Ефект позначення, який включає А (ka) дає абсолютний максимум відношення ширини захвата приблизно 0,4 у потрібному діапазоні при ka == 0,7 або відношення довжини хвилі до діаметра приблизно 5. Також показана крива (2ka) -l отримана з (2.24), приймаючи, що резонанс може бути досягнутий при всіх частотах. Як очікується єдина точка контакту з кривою lmax/2a знаходиться в першому нулі А(ka).
