Функции (2.3) и (2.7) изображают при положительных a, b плоские волны, распространяющиеся, не деформируясь, со скоростью и в сторону соответственно возрастающих или убывающих значений х **).
Уравнение (2.6)—дифференциальное уравнение в частных производных, играющее в физике очень важную роль. Оно называется волновым уравнением. В математических курсах доказывается, что оно не имеет решений, отличных от тех, которые могут быть представлены функциями вида (2.3) и (2.7) или суперпозицией таких функций, например,
f1(at - bх) + f2(at+bx).
Всякий раз, когда из физических соображений можно установить, что та или иная физическая величина s удовлетворяет уравнению вида
(2.6а)
мы сможем на основании сообщенных здесь математических сведений заключить, что процесс изменений этой величины носит характер плоской, волны, распространяющейся в ту или другую сторону со скоростью и, или суперпозиции таких волн.
Вид функций f1, f2 определяется характером движения источника волн, а также явлениями, происходящими на границе среды.
Пусть источником волн является плоскость х=0, причем на этой плоскости величина S колеблется но закону s =Acoswt. В этом случае от плоскости х=0 распространяются вправо и влево волны
s= Acos(wtkx), k =.
Из линейности волнового уравнения следует, что если ему удовлетворяют функции s1, s2,s3, ... в отдельности, то ему удовлетворяет также функция
S == S1 + S2 + S3 + ...
(принцип, суперпозиции).
Рассмотрим несколько примеров.
а) Волновому уравнению удовлетворяют синусоидальные бегущие волны
s1 = Aсоs(wt — kx), s2= Acos(wt+kx).
На основании принципа суперпозиции волновому уравнению удовлетворяет стоячая волна
s=2Acoskx coswt
являющаяся суперпозицией только что рассмотренных синусоидальных бегущих волн.
б) Волновому уравнению на основании принципа суперпозиции удовлетворяет всякая функция вида
S=
Это—функция вида f(at—bx); она изображает несинусоидальную волну, распространяющуюся без деформации в сторону возрастающих х.
в) Пусть волны S1, S2, имеющие вид коротких импульсов, распространяются навстречу одна другой. В некоторый момент моментальный снимок суперпозиции S1 + S2 этих волн имеет вид, показанный на рис. 4,а. Через некоторое время моментальный снимок волны будет иметь вид, показанный на рис. 4, б, – волны пройдут «одна сквозь другую» и притом каждая так, как будто другой не существует.
§2. Упругие волны в стержне.
1. волновое уравнение.
В предыдущем параграфе мы рассмотрели математическую сторону волнового уравнения. В этом же параграфе я хотел бы на конкретном примере рассмотреть как работает тот математический аппарат.
|
Рисунок 4 |
Применим второй закон Ньютона и закон сложения сил к движению куска стержня, заключенного между двумя плоскостями x и х+х. Масса этого куска равна р0S0х, где р0 и S0 – соответственно плотность и сечение в отсутствие деформации. Пусть – смещение центра тяжести рассматриваемого куска. Тогда
слева стоит произведение массы куска на ускорение д2/дt2 его центра тяжести, справа – результирующая внешних сил, действующая на кусок.
Разделим уравнение на S0:
(2.7)
Перейдя к пределу при , получим уравнение
(2.8)
справедливое в каждой точке стержня. Оно указывает, что ускорение данной точки пропорционально частной производной напряжения по ж в этой точке.
Подставляя в (2.8) соотношение (2.7), получим:
(2.9)
Вспомнив теперь формулу , содержащую определение деформации, и подставив ее в (2.9), получаем:
(2.10)
Это—волновое уравнение. Оно указывает, что смещение распространяется но стержню в виде волн
(2.11)
или образует суперпозицию таких волн. Скорость распространения этих волн (скорость звука в стержне)
(2.12)
(мы опускаем для краткости индекс 0 у р). Эта скорость тем больше, чем жестче и чем легче материал. Формула (2.12)—одна из основных формул акустики.
Наряду со смещением нас интересуют скорость v = , с которой
.движутся отдельные плоскости х = const (не смешивать с u), деформация и напряжение . Дифференцируя (2.11) по t и но x, получаем:
v=uf’(x ut) (2.13a)
=f'(x ut), (2.13б)
=Ef’ (x ut). (2.13в)
Таким образом, смещение, скорость, деформация и напряжение распространяются в виде связанных определенным образом между собой недеформирующихся волн, имеющих одну и ту же скорость и одинаковое направление распространения.
На рис. 5 показан пример «моментальных снимков», относящихся к одному и тому же моменту времени, смещения, деформации и скорости в одной и той же упругой волне. Там, где смещение имеет максимум или минимум, деформация и скорость равны нулю, так как они обе пропорциональны производной f'{x ut). Физическая интерпретация здесь очевидна: около максимума или минимума смещения соседние (бесконечно близкие) точки одинаково смещены и, следовательно, нет ни растяжения, ни сжатия; в тот момент, когда смещение достигает максимума (минимума), его возрастание сменяется убыванием (или наоборот).
Сравнивая формулы (2.13а), (2.13в) и принимая во внимание (2.12) мы видим, что
(2.14)
где
(2.15)
есть величина, не зависящая от вида функции f и целиком определяемая свойствами материала. Эта величина называется удельным акустическим сопротивлением материала. Она является, как мы видим, наряду с u его важнейшей акустической характеристикой. Название величины связано с формальной аналогией между уравнениями (2.14) и законом Ома (р аналогично разности потенциалов, v - силе тока).
§ 2. Упругие волны в газах и жидкостях
1. Волновое уравнение.
Мы рассматриваем здесь газ или жидкость (так же как твердое тело в предыдущих параграфах) как сплошную непрерывную среду, отвлекаясь от его атомистической структуры. Под смещением мы здесь понимаем (как и в § 1) общее смещение вещества, заполняющего объем, заключающий в себе очень много атомов, но малый по сравнению с длиной волны.
Будем считать, что рассматриваемый газ или жидкость находятся в очень длинной цилиндрической трубе, образующие которой параллельны оси х, и что смещение зависит только от одной координаты х. Мы можем применить к столбу газа или жидкости, заполняющему трубу, те же рассуждения, что и к стержню (§ 1). Мы придем, таким образом, к уравнению
(2.16)
где р = — есть давление в газе или жидкости. Здесь — значение плотности в состоянии равновесия. Пусть ей соответствует давление р0. Величины р0, не зависят ни от х, ни от t.
Уравнение (2.16) применимо и в случае плоских волн в неограниченной жидкой или газообразной среде (можно мысленно выделить цилиндрический столб, параллельный направлению распространения и применить к нему те же рассуждения, что к столбу, заключенному в трубе).
Как известно из термодинамики, р есть функция плотности данной массы газа (или жидкости) и ее температуры. Температура в свою очередь изменяется при сжатии и разрежении. Теплопроводность газов и жидкостей очень мала, поэтому можно считать в первом приближении, что при распространении звука процесс сжатия и разрежения каждой части газа или жидкости происходит адиабатически, т. е. без заметного теплообмена с соседними частями. В термодинамике показывается, что в этом случае (если можно пренебречь внутренним трением и некоторыми другими явлениями температура является однозначной функцией плотности , и следовательно, давление также.
При заданной деформации в твердом теле также зависит от температуры. Но в акустике твердых тел это обстоятельство не играет, существенной роли.
В газах и в жидкостях за некоторыми исключениями (например вода, при температуре ниже 4° С) температура растет при сжатии и уменьшается при расширении.
Есть однозначная функция плотности:
p=f(p). (2.17)
Введем обозначения
, (2.18) где и — соответственно изменения давления и плотности при нарушении равновесия.
Подставляя первую формулу (2.18) в (2.16) и принимая во внимание, что при равновесии давление не зависит от х, т. е.
получаем:
(2.19)
Найдем теперь связь между и деформацией = . Мы сначала выразим через , а затем через :
а) Подставляя (6.28) в (6.27), имеем:
P0+=f(+)
разлагая f(+) в ряд по степеням ,
P0+=f()+f’()+1/2f’()()2......
Так как P0=f(), то получаем:
=f’()+1/2f’’()()2..... (2.20)
Здесь мы сделаем существенное предположение: будем считать уплотнения и разрежения настолько малыми, что допустимо пренебречь в разложении (2.20) членами, пропорциональными ()2, ()3, . . ., и заменить (2.20) линейным соотношением
=f’()
Тем самым мы ограничиваем себя исследованием волн малой интенсивности.
f’() —постоянный при данных условиях опыта коэффициент, определяемый состоянием среды при равновесии.
б) Объем V0 в результате деформации превращается в объем
V=V0 (1+), (2.21)
так как здесь поперечный размер (в отличие от твердого стержня) остается, постоянным, а длина превращается в . Но произведение плотности на объем, равное массе рассматриваемой порции вещества, не меняется:
Подставляя (2.18) и (2.21), получаем:
Пренебрегая и здесь высшими степенями малой величины , получаем:
Таким образом,
(2.22)
Подставляя, наконец, (2.22) в (2.19), мы получаем волновое уравнение
(2.23)
(2.24)
Отсюда заключаем, что рассматриваемые малые деформации распространяются в виде плоских не деформирующихся волн; скорость распространения (скорость звука) тем больше, чем сильное в данной среде возрастает давление при адиабатическом возрастании плотности; она раина квадратному корню из производной давления по плотности, взятой при значении последней в отсутствие волны ( ).
2. Случай идеального газа. Идеальным газом называется газ, для которого справедливо уравнение состояния
pV=RT, (2.25)
где p – давление, V—объем одного моля, R—универсальная газовая постоянная, равная 8,3143 эрг/град, T—температура, измеренная по термодинамической шкале («абсолютная температура»), или
где М— масса 1 моля, = M/V— плотность.
Воздух, кислород, азот, водород и многие другие газы при комнатной температуре и давлении порядка атмосферного можно рассматривать с достаточным для акустики приближением как идеальные газы.
Как учит термодинамика, в случае идеального газа соотношение (2.17) имеет вид
(2.26)
где
постоянная величина (С и С — теплоемкости газа соответственно при постоянном давлении и постоянном объеме). Следовательно, здесь
(2.27)
(формула Лапласа).
Еще задолго до Лапласа вопросом о скорости звука в воздухе занимался Ньютон. Он считал, что
(2.26а)
т. е. не учитывал изменения температуры воздуха при распространении в нем звуковой волны, вследствие чего получил для скорости звука соотношение
(2.27а)
Это соотношение можно получить из уравнения (2.24), подставляя в него (2.26а) вместо (2.26).
Для воздуха ( =1,4) при комнатной температуре (20° С, Т =293°) формула Ньютона дает u =290 м/сек, формула Лапласа и =340 м/сек. Сравнивая эти значения с теми, которые дает опыт (гл. V, § 3), мы видим, что формула Лапласа, в отличие от формулы Ньютона, хорошо согласуется с опытом. Формула Лапласа хорошо подтверждается на опыте и для других газов (но крайней мере при не очень высоких частотах.
Этим оправдывается предположение о том, что сжатие и разрежение газа в звуковой волне являются практически адиабатическими процессами.
Список использованной литературы.
à Горелик, Колебания и волны,
à И.В. Савельев, курс общей физики, т.2, М, 1988г.
à Б.М. Яворский, А.А. Пинский, Основы физики, т.2, М., 1972г.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ.
Задача №1.
Амплитуда вынужденных колебаний реактора при очень малой частоте 2 мм, а при резонансе 16 мм. Предполагая, что декремент затухания меньше единицы, определить его.
Задача №2.
Две волны Х1=Аsin(wt-kl) и Х2=Аsin(wt+kl) с одинаковыми частотами 4Гц распространяются со v=960 см/сек. Они интерферируют между собой и образуют стоячую волну. Определить амплитуды точек стоячей волны через каждые 20 см, начиная отсчет от узла. Определить величину смещения и скорость этих точек для момента времени 7/24 сек.
Задача №3.
Между приемником и стенкой расположен источник звуковых колебаний с частотой – 100 Гц. Линия, проведенная через приемник и источник, нормальна к стенке, которая движется к источнику вдоль этой линии со v=7 м/с. Скорость звука 340 м/с. Возможно ли возникновение акустического биения.
Для рецензии и заметок:
Страницы: 1, 2
