б) Статистическая интерпретация, или интерпретация статистических ансамблей, основана на предположении, что волновая функция квантовой системы описывает не индивидуальный объект, а ансамбль одинаковым образом приготовленных объектов. При этом признаётся фундаментальный характер вероятностных предсказаний в квантовой механике, и в этом смысле квантовомеханическое описание реальности считается полным. Вероятности того или иного результата естественным образом даётся относительно-частотное толкование. С точки зрения статистической интерпретации квантовая механика вообще не описывает индивидуальные квантовые объекты.
Нужно заметить, что в рамках статистической интерпретации вводится постулат о том, что в процессе измерения макроприбор выделяет из статистического ансамбля некоторый подансамбль, соответствующий данному результату измерения. Этот постулат фактически занимает место постулата редукции в копенгагенской интерпретации.
в)Неоклассические интерпретации квантовой механики исходят из того, что квантовомеханическое описание в действительности не является полным. Следовательно, должна существовать более общая теория, обеспечивающая наличие детерминизма классического образца. По отношению к такой теории квантовая механика была бы некоторым статистическим приближением. Наиболее распространены неоклассические теории со скрытыми параметрами. В них предполагается, что волновая функция ½y > не полностью определяет состояние системы. Наряду с ней существуют скрытые параметры x , такие, что их точное знание могло бы дать возможность предсказания результатов измерения любой физической величины. При этом сами параметры являются статистически распределёнными по некоторому закону, и мы не можем на практике точно определить значение x . Поэтому сохраняются все следствия квантовой механики, в том числе невозможность одновременного точного измерения некоммутирующих величин. Принципиальным в такой неоклассической интерпретации является факт, что существует описание состояния системы (½y >, x ), позволяющее избежать недетерминированности в предсказании результатов измерений.
Вопрос об обратимости времени в интерпретации со скрытыми параметрами не является ключевым, и остаётся столь же открытым, сколь и в копенгагенской интерпретации (особенно если из последней "удалось бы изъять" принцип редукции волновой функции).
г) Многомировая интерпретация квантовой механики (концепция Эверетта) исходит из принципа реальности волновой функции. При этом постулируется, что существует такая функция сразу для всей Вселенной, и нет необходимости в мистическом "внешнем наблюдателе", отвечающем, например, за квантовые эффекты в момент её рождения. В многомировой интерпретации место постулата редукции волнового пакета занимает понятие "ветвления волновой функции Вселенной", которое можно толковать либо образно – как появление "параллельных квантовых миров", либо чисто математически, как процедуру дефакторизации волновой функции наблюдаемого объекта [2, с.29]. При этом возникают свои математические тонкости, связанные с предпочтительным выбором базиса собственных состояний для каждого объекта во Вселенной, исключающего "лишние" ветвления для ненаблюдающихся в конкретном эксперименте объектов (своебразное применение хорошо известной "бритвы Оккама").
Наконец, брюссельская интерпретация ограничивает применимость чистых состояний (то есть точек в фазовом пространстве классической механики и волновых функций в квантовой механике) введением некоего нового принципа, который можно назвать "микроскопическим вторым началом термодинамики". При этом отвергается представление как о реальности волновой функции в старом смысле этого слова, так и о "классическом идеале" – в пользу новой концепции, в основе которой лежит необратимость времени.
3.2 Неунитарная эволюция и несводимое описание
Необратимость, выражаемая стрелой времени – свойство статистическое. Она не может быть введена на уровне отдельных траекторий (или волновых функций) и поэтому требует радиального отхода от ньютоновской механики или ортодоксальной квантовой механики, в основе которых лежат понятия траектории или отдельной волновой функции. Ещё Больцман понял, что необходим подход на основе ансамблей. Школа Пригожина реализует эту программу с необходимой математической строгостью.
Неустойчивость и хаос вынуждают отказаться от описания классической механики в терминах траекторий и перейти к описанию в терминах распределения вероятности. Примером может служить рассмотренное ранее отображение сдвига Бернулли. В разделе 1.1 был приведён явный вид оператора с дискретным временем, описывающего эволюцию плотности вероятности для сдвига Бернулли (применительно к отображениям подобный оператор называется оператором Перрона–Фробениуса). В статистической механике оператор эволюции имеет вид U(t) = e–iLt, а в квантовой механике U(t) = e–iHt. Два последних оператора унитарны, то есть сохраняют скалярное произведение, и в гильбертовом пространстве имеют собственные значения, по модулю равные 1 – то есть приводят к периодическим функциям от времени типа exp(–iEnt). В отличие от них оператор эволюции хаотических систем должен описывать приближение к равновесию и, следовательно, содержать время релаксации. Для этого требуются комплексные спектральные представления.
Оказалось, что для сдвига Бернулли в гильбертовом пространстве спектрального разложения отображения не существует. Собственные функции этого оператора не удовлетворяют условию квадратичной интегрируемости, поэтому вместо гильбертова пространства требуется перейти к так называемому обобщённому пространству, включающему наряду с квадратично интегрируемыми функциями, например, ещё и d-функции типа дираковской. Собственные значения для построенных в этом пространстве собственных функций оказываются напрямую связанными с временем Ляпунова в хаотической системе.
На языке распределений вероятности отдельная траектория для сдвига Бернулли представляется функцией rn=d(x–xn), сдвиг Бернулли преобразует её в rn+1=d(x–xn+1)= d(x–2xn) при xn<1/2 и в rn+1=d(x–xn+1)= d(x+1–2xn) при 1/2<x<1. Если при этом величина rn постоянна, то rn+1 также будет постоянна, что соответствует равновесию и достигается при n®µ.
Рассмотрим задачу на собственные значения для оператора эволюции U. Нетрудно проверить, что U(x–1/2) = 1/2(x–1/2). Следовательно, (x–1/2) – собственная функция оператора U, соответствующая собственному значению 1/2. В отличие от оператора эволюции в квантовой механике, мы получили комплексную спектральную теорию (собственное значение соответствует k=i ln2). Полученное значение связано с показателем Ляпунова, который в точности равен 1/2=e–ln 2. Применение оператора U к функции x–1/2 приводит к затуханию. Итерируя действие оператора U, мы получаем последовательность (1/2)n, которая при n®µ стремится к нулю.
Функция x–1/2 принадлежит семейству многочленов, называемых многочленами Бернулли:
B0(x) = 1;
B1(x) = x – 1/2;
B2(x) = x2 – x + 1/6;
B3(x) = x3 – 3/2 x2 + 1/2 x;
B4(x) = x4 – 2 x3 + x2 – 1/30;
. . .
На первый взгляд может показаться, что задача на собственные значения для сдвига Бернулли решена, но это не так. Рассмотрим теперь оператор U+, сопряжённый с оператором U (сопряжённый оператор определяется соотношением <Uf|g> = <f|U+g> ). Нетрудно показать, что он имеет вид:
Можно также показать, что оператор U+ – изометрический, то есть сохраняет скалярное произведение (однако в отличие от унитарного изометрический оператор не допускает обратного, из чего следует, что сдвиг Бернулли – не обратимое отображение). Задача на собственные значения U+f(x)=lf(x) не имеет других решений в классе непрерывных функций, кроме постоянной. Таким образом, сдвиг Бернулли не имеет спектрального представления в гильбертовом пространстве. Однако U+ имеет собственные функции и собственные значения в обобщённых пространствах. Например:
U+[d(x–1)–d(x)]=1/2 [d(x–1)–d(x)],
следовательно, мы имеем собственную функцию оператора U+, которая принадлежит к классу обобщённых функций и имеет такое же собственное значение, какое первый многочлен Бернулли имеет для оператора U. Обозначим поэтому найденную функцию B(1)(x).
Существует целое семейство обобщенных функций B(n)(x), которые являются собственными функциями оператора U+ и соответствуют собственным значениям 1/2n. Эти функции не имеют конечной нормы, что вынуждает к переходу в обобщённое пространство. Их семейство, однако, обладает свойствами ортогональности и полноты.
Таким образом, как и в квантовой механике, мы можем разложить вероятность r(x) по биортонормированному семейству функций:
.
Распространяя скалярное произведение на обобщённые функции, необходимо сделать некоторые существенные замечания. Основное свойство d-функции состоит в том, что при интегрировании с обычной непрерывной функции она "вырезает" её значение в точке x=x0. Для корректности скалярного произведения <f|g>, где f – обобщённая функция, необходимо, чтобы g была подходящей функцией, обеспечивающей сходимость скалярного произведения. Она, очевидно, не должна принимать бесконечных значений – во всяком случае, в точке x=x0. Назовём такие функции пробными.
Мы можем определить действие оператора A на обобщённую функцию f с помощью соотношения <Af|g>=<f|A+g> – но такое соотношение вполне определено только при том условии, что A+g остаётся пробной функцией. Задача на собственные значения A|f> = l|f> также имеет смысл только в том случае, если пользоваться пробными функциями g такими, что <g|Af> = l<g|f>.
Возвращаясь к спектральному представлению эволюции при сдвиге Бернулли, делаем вывод: так как B(n) – обобщённые функции, r(x) должна быть пробной функцией, так как в противном случае ей бы соответствовала d-функция, для которой скалярное произведение с B(n) расходится.
Спектральные теории Пригожина применимы только для ансамблей траекторий – это фундаментальный результат. Для хаотических систем, а сдвиг Бернулли – простейший из примеров таких систем, вероятностное описание следует строить не в гильбертовом, а в обобщённом пространстве, и оно несводимо. В этом – принципиальное отличие брюссельского подхода от подхода на основе теории ансамблей Гиббса–Эйнштейна: их описание было сводимо, поскольку могло быть разложено на описания отдельных траекторий.
Мы подходим к важному вопросу: что означает действие оператора эволюции U(t) на обобщённую функцию? Это соотношение имеет вполне определённый смысл, если U+(t)g остаётся пробной функцией. Для хаотических систем это условие, как правило, не выполняется и при t>0, и при t<0. Пробные функции для прошлого отличаются от пробных функций для будущего. Этот факт приводит к нарушению симметрии во времени и лежит в основе решения парадокса времени, предлагаемого брюссельской школой.
Рассмотренное выше отображение пекаря также допускает спектральное представление в гильбертовом пространстве, однако собственные значения его оператора Перрона–Фробениуса не имеют при этом отношения к времени Ляпунова – таким образом, хаотические свойства остаются "за кадром". Оказывается всё-таки, что некоторые хаотические системы – и преобразование пекаря в частности – допускают дополнительные спектральные представления. Помимо спектрального представления оператора эволюции в гильбертовом пространстве можно построить новое представление в обобщённом гильбертовом пространстве, которое связывает эволюцию во времени с временем Ляпунова.
Может возникнуть вопрос – так какое же представление правильное? С математической точки зрения они оба вполне корректны. Однако комплексные представления в обобщённом пространстве позволяют продвинуться значительно дальше, так как включают в спектр оператора эволюции время Ляпунова, которое характеризует временной горизонт хаотических систем. Новые представления позволяют описывать приближение к равновесию, явно описывают нарушение симметрии во времени и включают необратимость на фундаментальном уровне описания.
Весьма важно, что новые представления несводимы. Неоднократно утверждалось, что хаос, связанный с чувствительностью к начальным условиям, приводит к "невычислимым" траекториям. Казалось, что это чисто техническая трудность. Как теперь понятно, причина гораздо более глубокая. Существует своего рода соотношение дополнительности в боровском смысле между необратимостью на уровне статистических ансамблей, с одной стороны, и траекторий – с другой.
На простейших хаотических примерах мы проиллюстрировали, как в концепции Пригожина возникает необходимость несводимого описания и как в этом несводимом описании проявляется стрела времени. Обратимся теперь к выводам, которые аналогичный подход даёт в квантовой теории (объём настоящей работы не позволяет подробно описать математические особенности применения этого подхода). Приведём только один пример.
В операторе эволюции U(t)=e–iHt будущее и прошлое играют одну и ту же роль, так как независимо от того, какие знаки имеют t1 и t2 выполняется свойство U(t1+t2) = U(t1) + U(t2). Принято говорить, что оператор эволюции U(t) образует динамическую группу. Пробные функции же принадлежат двум различным классам в зависимости от того, какую эволюцию – прямую (в будущее) или обратную (в прошлое) – мы рассматриваем. Это означает, что динамическая группа, порождаемая оператором эволюции U(t), распадается на две полугруппы – одну для оператора U(+t), другую – для U(–t).
Введение стрелы времени позволяет сделать шаг вперёд в рассмотрении уже упоминавшихся больших систем Пуанкаре – например, в задаче рассеяния. Возникающие в теории возмущений малые знаменатели вида регуляризуются введением малой мнимой добавки: при e ® 0. Это устраняет расходимость – но такая добавка есть не что иное, как введение хронологического упорядочения на микроскопическом уровне! В результате симметричное во времени уравнение Шрёдингера порождает два класса решений, одно из которых соответствует прямому. а другое – обратному рассеянию. Решение уравнений обладает меньшей симметрией, чем уравнения движения.
Аналогичный подход в квантовой статистической теории – решение задачи на собственные значения супероператора Лиувилля – также приводит к необходимости мнимой добавки в знаменатель, и собственные функции супероператора Лиувилля перестают быть произведениями волновых функций. Получающиеся уравнения Лиувилля–фон Неймана не могут быть выведены из уравнения Шрёдингера. В этом смысле концепция Пригожина приводит к альтернативной квантовой теории.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В концепции И.Пригожина необратимость процессов во времени вводится на микроскопическом уровне. В квантовой теории это достигается рассмотрением пространства обобщённых функций вместо обычного гильбертова пространства, при этом оператор эволюции системы перестаёт быть унитарным, а его собственные значения становятся комплексными. Мнимая часть этих собственных значений после подстановки в уравнение Шрёдингера отвечает за затухание, что соответствует необратимости времени.
Другая важная черта квантовой теории в концепции Пригожина – принципиальная несводимость получаемых решений к волновым функциям отдельных частиц. Статистическое описание с использованием матрицы плотности становится необходимым с самого начала, мы больше не можем рассуждать иначе, как в терминах ансамблей.
В отличие от копенгагенской интерпретации квантовой механики, не требуется постулата о редукции волнового пакета и существования внешнего наблюдателя с классическим прибором. В этом есть некоторое сходство с многомировой интерпретацией Эверетта, так как можно вводить понятие волновой функции Вселенной. Однако, математический аппарат теории Пригожина не требует введения процесса дефакторизации волновой функции и сложных процедур выбора базиса, связанного с объектом.
Введение вероятностей в концепции Пригожина вполне совместимо с физическим реализмом, и его не требуется объяснять неполнотой нашего знания. Наблюдатель более не играет активной роли в эволюции природы – по крайней мере, играет роль не большую, чем в классической физике. Эта роль крайне далека от роли демиурга, которой копенгагенская интерпретация квантовой физики наделяет наблюдателей, считая их ответственными за переход от потенциальной возможности природы к актуальности.
Самым же, вероятно, важным, является то, что одна и та же математическая структура, включающая в себя хаос, позволяет решить и парадокс времени, и квантовый парадокс – две проблемы, которые омрачали горизонты физики на протяжении многих-многих лет.
ЛИТЕРАТУРА
1. Пригожин И., Стенгерс И. Время, хаос, квант – М.: Прогресс, 1994
2. Барвинский А.О., Каменщик А.Ю., Пономарёв В.Н. Фундаментальные проблемы интерпретации квантовой механики. Современный подход – М.: Изд-во МГПИ, 1988
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.1, Механика – М.: Наука, 1988
4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.3, Квантовая механика. Нерелятивистская теория – М.: Наука, 1990
5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.5, Статистическая физика. Часть 1 – М.: Наука, 1988
6. Эйнштейн А. Собрание сочинений в четырёх томах, т.3 – ст. Испускание и поглощение излучения по квантовой теории – М.: Наука, 1966
