Задачи (с решениями) по сопромату
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Пермская государственная сельскохозяйственная академия имени академика Д.Н. Прянишникова»
Кафедра «Детали машин»
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
по дисциплине «Сопротивление материалов»
Выполнил студент второго курса
Факультета заочного обучения
специальности «Технология обслуживания
и ремонта машин в АПК»
шифр ТУ – 04 – 30
гр. Борисов Г. В.
Домашний адрес: г. Пермь,
ул. Нефтяников 55-70
Проверил: Сюзёв В.П.
____________________
«____» _________2005г.
Пермь
Шифр контрольной работы:
а
б
в
г
д
д
0
3
0
3
0
3
Задача № 1.
Стальной стержень находится под воздействием продольной силы Р и собственного веса. Найти перемещение сечения I – I.
Дано:
Р
|
F
20 cм2
a
2.3 м
b
3.0 м
c
1.3 м
γ
78 кН/м3
Е
2 * 105 МПа
Схема
III
Решение: Перемещение сечения I – I зависит от удлинения участков а и в, которые находятся под действием собственного веса Ga и Gb и внешней силы (Р + Ga + Gb), где Gа – вес участка длиной а; Gb – вес участка длиной b:
Удлинением участка с пренебрегаем, т.к. оно не влияет на удлинение сечения I – I.
Ответ: Удлинение составит
Задача № 2
Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплён к двум стержням при помощи шарниров.
Требуется:
1) Найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q;
2) Найти допускаемую нагрузку Qдоп, приравняв большее из напряжений в двух стержнях к допускаемому напряжению ;
3) Найти предельную грузоподъёмность системы и допускаемую нагрузку Qдоп, если предел текучести и запас прочности k = 1,5;
4) Сравнить величины Qдоп, полученные при расчёте по допускаемым напряжениям и допускаемым нагрузкам.
Дано:
Р
1300 Н
F
20 cм2
a
2.3 м
b
3.0 м
c
1.3 м
γ
78 кН/м3
α
45°
Н
150 кН
105 β
3
σх
30 МПа
σх
100 МПа
σх
30 МПа
Е
2 * 105 МПа
Схема
III
Решение
Для определения усилий N1 и N2 воспользуемся уравнением равновесия бруса: ;
(1)
и условием совместности деформации:
где:
(2)
Из уравнений (1) и (2) получим уравнение:
Подставим в уравнение цифровые значения:
;
Из уравнения находим: ,
тогда из уравнения (2) получим: (2а)
определим напряжения в стержнях:
Приравниваем большее напряжение, т.е. допускаемому: , отсюда найдём:
Предельную грузоподъёмность системы найдем из уравнения (1) заменив усилия N1 и N2 их предельными выражениями:
.
Подставим в уравнение цифровые значения:
При запасе прочности k = 1,5 допускаемая нагрузка составит:
(4)
Сравнивая значения допускаемой нагрузки Q полученные при расчёте по допускаемым нагрузкам и при расчёте по допускаемым напряжениям делаем вывод: для обеспечения прочности (надёжности) конструкции величина силы Q не должна превышать 927,5 кН.
Задача № 4.
Стальной кубик находится под действием сил, создающих плоское напряженное состояние (одно из тех главных напряжений равно нулю). Требуется найти:
1) главные напряжения и направление главных площадок;
2) максимальные касательные напряжения, равные наибольшей полуразности главных напряжений;
3) относительные деформации έх, έy, έz;
4) относительное изменение объёма;
5) удельную потенциальную энергию.
Дано:
Для стали: Е = G = ; μ = 0,25 – коэффициент Пуассона.
Решение:
Главные напряжения определим по формуле:
Между главными напряжениями существует зависимость поэтому:
Определим направление главных площадок: ; отсюда:
Определим максимальные касательные напряжения по формулам:
или
Определим максимальные деформации по формуле:
Удельная потенциальная энергия деформаций
Потенциальная энергия изменения формы определяется по формуле:
Потенциальная энергия изменения объёма определяется по формуле:
Полная удельная потенциальная энергия деформации:
Задача № 5.
К стальному валу приложены три известных момента: М1, М2, М3. Требуется:
1) установить, при каком значении момента Х угол поворота правого концевого сечения вала равен нулю;
2) для найденного значения Х построить эпюру крутящих моментов;
3) при заданном значении определить диаметр вала на прочность и округлить его до ближайшего размера: 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100мм;
4) построить эпюру углов закручивания;
5) найти наибольший относительный угол закручивания (на 1 метр).
Дано:
Решение: 1. Из условия задачи известно:
Составим условие того, что поворот правого концевого сечения равен нулю ,
где - жесткость при кручении вала, отсюда находим:
Подставим в уравнение цифровые значения и вычислим Х:
2. Вычислим значение крутящих моментов на участках вала и построим эпюру крутящих моментов. Крутящий момент находим методом сечений:
По найденным значениям строим эпюру.
3. Диаметр вала находим из условия прочности при:
Принимаем d = 40 мм.
Крутильная мощность вала
где G – модуль упругости второго рода JP – полярный момент инерции
4. Определяем углы закручивания сечений относительно левого защемлённого конца и строим эпюру ψ:
Угол участка ψа равен нулю, т.к. защемлён;
По найденным значениям строим эпюру.
Задача № 8 (а)
Для заданных двух схем балок требуется написать выражения Q и М для каждого участка в общем виде, построить эпюры Q и М, найти МMAX и подобрать: а) для схемы (а) деревянную балку круглого поперечного сечения при б) для схемы (б) стальную балку двутаврового сечения при
Дано:
Решение:
1. Находим методом сечений значения поперечной силы на участках балки и в характерных сечениях:
2. Изгибающий момент на участках балки и в характерных сечениях:
3. Подбор сечения. Максимальный изгибающий момент: Момент сопротивления сечения из условия прочности:
Диаметр круглого сечения равен:
Принимаем d = 16 см.
Задача № 8 (б)
Дано:
Находим длины участок:
Решение:
1. Уравнение равновесия балки:
Отсюда находим реакции опор:
2. Поперечная сила на участках балки и в характерных сечениях:
3. Изгибающий момент на участках балки и в характерных сечениях:
4. Подбор сечения. Максимальный изгибающий момент: Момент сопротивления из условия прочности: По табл. ГОСТ 8239 – 76 выбираем двутавр № 12, у которого:
Задача № 15.
Шкив с диаметром D1 и с углом наклона ветвей ремня к горизонту ά1 делает n оборотов в минуту и передает мощность N кВт. Два других шкива имеют одинаковый диаметр D2 и одинаковые углы наклона ветвей к горизонту ά2 и каждый из них передаёт мощность N/2. Требуется: 1) определить моменты, приложенные у шкивам, по заданным N и n; 2) построить эпюру крутящих моментов Мкр; 3) определить окружные усилия t1 и t2, действующие на шкивы, по найденным моментам и заданным диаметрам шкивов D1 и D2; 4) определить давления на вал, принимая их равными трём окружным усилиям; 5) определить силы, изгибающие вал в горизонтальной и вертикальной плоскостях (вес шкивов и ремней не учитывать); 6) построить эпюры изгибающих моментов от горизонтальных сил Мгор и от вертикальных сил Мверт; 7) построить эпюры суммарных изгибающих моментов, пользуясь формулой ; 8) при помощи эпюр Мкр и Мизг найти опасное сечение и определить максимальный расчётный момент; 9) подобрать диаметр вала d при и округлить его до ближайшего.
Дано:
1. Момент, приложенный к шкиву 1:
Моменты, приложенные к шкиву 2:
2. Крутящие моменты на участках вала находим методом сечении:
По найденным значениям строим эпюру.
3. Окружные усилия, действующие на шкивы:
4. Силы давления на вал в плоскости ремней:
Силы давления на вал в горизонтальной плоскости:
Силы давления на вал в вертикальной плоскости:
Расчётные схемы нагрузок на вал в горизонтальной и вертикальной плоскостях показаны на рисунке. На основе расчётных схем составлены уравнения равновесия для определения опорных реакций в горизонтальной и вертикальной плоскостях, что необходимо для построения эпюр изгибающих моментов.
Горизонтальная плоскость
Отсюда находим:
Проверка:
Вертикальная плоскость
Отсюда находим:
Проверка:
Изгибающие моменты в характерных сечениях.
Горизонтальная плоскость:
Вертикальная плоскость:
Суммарные изгибающие моменты:
Опасное сечение – сечение «а». Эквивалентный момент этом сечении:
Диаметр вала:
Округляя до стандартного значения, принимаем
Задача № 17
Стальной стержень длиной l сжимается силой Р. Требуется: 1) найти размеры поперечного сечения при допускаемом напряжении на простое сжатие ; 2) найти критическую силу и коэффициент запаса устойчивости.
Дано:
при данном способе закрепления стержня.
Решение:
Площадь сечения стержня:
Минимальный момент инерции сечения:
Минимальный радиус инерции сечения:
Определим
Определим сечение стержня:
Гибкость стержня: .
Для Ст.3 находим по таблице: при ; при находим φ, соответствующее гибкости :
следующее приближение:
повторяем вычисления:
