выбираем x0=a. Рассмотрим геометрический смысл метода . Рассмотрим график
функции y=f(x). Пусть для определенности f `(x) > 0 и f “(x) > 0 (рис. 1).
Проведем касательную к графику функции в точке B(b,f(b)). Ее уравнение
будет иметь вид:
y = f(b) + f \'(b) * (x -b)
Полагая в уравнении y = 0 и учитывая что f \'(x) ** 0, решаем его
относительно x. Получим :
x = b - (f (b) /f `(b))
Нашли абсциссу x1 точки c1 пересечения касательной с осью ox :
x1 = b - (f (b) - f \' (b))
Проведем касательную к графику функции в точке b1 (x1; f (x1)).Найдем
абсциссу x2 точки с2 пересечения касательной с осью Ox :
x2 = x1 - (f (x1)/( f \'(x1))
Вообще :
xk+1=x k - (f(x k)/f \'(x k)) (3)
Таким образом, формула (3) дает последовательные приближения (xk) корня,
получаемые из уравнения касательной , проведенной к графику функции в
точке b k(x k;f(x k0) метод уточнения корня c [a;b] уравнения f(x) = 0 с
помощью формулы (3) называется методом касательной или методом Ньютона.
Геометрический смысл метода касательных состоит в замене дуги y = f (x)
касательной, одной к одной из крайних точек . Начальное приближение x0 = a
или x0 = b брать таким, чтобы вся последовательность приближения х k
принадлежала интервалу ]a;b[ . В случае существования производных f \', f
”, сохраняющих свои знаки в интервале, за х0 берется тот конец отрезка
[a;b], для которого выполняется условие f \'(х0) * f (х0) > 0. Для оценки
приближения используется общая формула :
|c-x k-1 | ** | f (x k+1)/m| , где m = minf\'(x) на отрезке [a;b] .
На практике проще пользоваться другим правилом :
Если на отрезке [a;b] выполняется условие 0 < m < | f (x)| и ** **
заданная точность решения, то неравенство | x k+1-x k| ** ** влечет
выполнение неравенства |c-x k-1| ** ** **
В этом случае процесс последовательного приближения продолжают до тех пор,
пока не выполнится неравенство :|c-x k-1| ** ** **
Упрощенный метод Ньютона: 0x01 graphic
, n=0,1,…
Метод секущих: 0x01 graphic
, n=0,1,…
1.3. Тестовый пример
Для заданного нелинейного уравнения вида f(x)=0 графическим или
аналитическим способом найти интервалы локализации корней, 5^x-3x-5=0
1. 5^x-3x-5=0; y=5^x y=3x-5
5^x=3x+5 x -2 -1 0 1 2 x -2 2
y 0,04 0,2 1 5 25 y -1 11
a. графический метод
Первое решение находится в интервале (-2;-1). Второе в интервале (1;2)
0x08 graphic
0x01 graphic
б) метод секущих
1) (-2;-1)
f(x)=5^x-3x-5
f(-2)=5^-2+6-5=1/25+1=26/25=1.04>0
f(-1)=5^-1+3-5=1/5-2=-1.80
x[1]=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a)=1-(2-1)*(-3)/-14+3=1+3/17=1.1765
f(1.1765)=5^1.1765+3*1.1765-5=-1.8869
#include
double f(double x)
{
return 5^x-3*x-5;
}
double findRootChord (double a,
double b,
double eps,
long max_step,
double (&f)(double))
{
double f_a = f(a);
double f_b = f(b);
double xn;
for(long k=0; k
#include
float FileFunction()
{ float h;
FILE *in;
in=fopen(\"spisok.txt\",\"r\");
for (;!feof(in);)
{
w_f=(struct files *)malloc(sizeof(struct files));
if(l_f==NULL) {l_f=w_f;}
else {r_f->radr=w_f;}
fscanf(in,\"%f\",&w_f->x);
fscanf(in,\"%f\",&w_f->y);
r_f=w_f;
}w_f=l_f;
fclose(in);
w_f=l_f->radr;
h=(w_f->x)-(l_f->x);
return h;
}
void TableMin()
{
float s,s1,p;
do
{
s=w_f->y;
w_f=w_f->radr;
s1=w_f->y;
p=s1-s;
w_msp=(struct msp *)malloc(sizeof(struct msp));
w_fll=(struct fll *)malloc(sizeof(struct fll));
if(l_msp==NULL){l_msp=w_msp;}
else{r_msp->radr1=w_msp;}
if(l_fll==NULL){l_fll=w_fll;}
else{r_fll->radr2=w_fll;}
w_fll->a=p;r_fll=w_fll;
w_msp->z=p;r_msp=w_msp;
}
while(w_f!=r_f);
w_msp=l_msp;
return;
}
void TableMax()
{
float p,s,s1,i,c;
for(i=1;iz;
l_msp=NULL;
do
{
s=c;
w_msp=w_msp->radr1;
c=w_msp->z;
s1=w_msp->z;
p=s1-s;
w_fll=(struct fll *)malloc(sizeof(struct fll));
r_fll->radr2=w_fll;
w_fll->a=p;r_fll=w_fll;
r_msp->radr1=w_msp;
if(l_msp==NULL){w_msp->z=p;l_msp=w_msp;}
else{w_msp->z=p;}
}while(w_msp!=r_msp);
r_msp=w_msp;
w_msp=l_msp;
}
return;
}
float UX(float x,float h)
{
float u,u1;
int i=1;
w_f=l_f;
while(w_f!=r_f){w_f=w_f->radr;i++;}
i=(i/2);
for(w_f=l_f;i>=1;i--){w_f=w_f->radr;}
u=(x-(w_f->x))/h;
w_u=(struct u *)malloc(sizeof(struct u));
l_u=w_u;
w_u->u=u;
r_u=w_u;
for(i=1;iu);
w_u=(struct u *)malloc(sizeof(struct u));
r_u->uadr=w_u;
w_u->u=u1;
r_u=w_u;
}
return u;
}
float VX(float u)
{
float v1,v,i;
v=1-u;
w_v=(struct v *)malloc(sizeof(struct v));
l_v=w_v;
r_v->vadr=w_v;
w_v->v=v;
r_v=w_v;
for(i=1;iv);
w_v=(struct v *)malloc(sizeof(struct v));
r_v->vadr=w_v;
w_v->v=v1;
r_v=w_v;
}
return 1;
}
float Summa()
{
int j,i=1;
float s,s1,p;
w_f=l_f;
w_fll=l_fll;
w_u=l_u;
w_v=l_v;
while(w_f!=r_f){w_f=w_f->radr;i++;}
i=(i/2);
for(w_f=l_f;i>=1;i--){w_f=w_f->radr;}
s=(w_f->y)*(w_v->v);
w_f=w_f->radr;
s1=(w_f->y)*(w_u->u);
w_f=l_f;
while(w_f!=r_f){w_f=w_f->radr;i++;}
i++;
j=i;
do
{
if(i==0){j--;}
i=j;
j=i-1;
i=j;
for(;i>=1;i--){w_fll=w_fll->radr2;}
i=j;
for(i=((i/2)-1);i>=1;i--){w_fll=w_fll->radr2;}
w_v=w_v->vadr;
s=s+(w_fll->a)*(w_v->v);
i=j;
for(i=((i/2));i>=1;i--){w_fll=w_fll->radr2;}
}while(w_fll!=r_fll);
w_fll=l_fll;
w_f=l_f;
while(w_f!=r_f){w_f=w_f->radr;i++;}
j=i;
w_u=l_u;
do
{
j=i;
for(;i>=1;i--){w_fll=w_fll->radr2;}
i=j-1;
for(i=((i/2)+1);i>=1;i--){w_fll=w_fll->radr2;}
w_u=w_u->uadr;
s1=s1+(w_fll->a)*(w_u->u);
i=j-1;
j=0;
i=i-1;
for(i=((i/2));i>=1;i--,j++){w_fll=w_fll->radr2;}
i=j*2;
}while(w_u!=r_u);
p=s1+s;
return p;
}
void main()
{
float p,u,h,x;
l_msp=NULL;l_fll=NULL;l_f=NULL;
w_u=NULL;r_u=NULL;l_u=NULL;
w_v=NULL;r_v=NULL;l_v=NULL;
h=FileFunction();
w_f=l_f;
TableMin();
TableMax();
printf(\"\\n BBEDuTE X=\");
scanf(\" %f\",&x);
u=UX(x,h);
VX(u);
p=Summa();
printf(\"\\nOTBET: %3.4f\",p);
getch();
}
0x08 graphic
0x01 graphic
3
+----+
|x* |
+----+
+-----+
|]x[s |
+-----+
+-------+
|]x[n2 |
+-------+
+-------+
|]x[n1 |
+-------+
+----+
|N |
+----+
+---+
|М |
+---+
+---+
|x |
+---+
+---+
|y |
+---+
+------+
|y = |
|f(x) |
+------+
+---+
|b |
+---+
+---+
|a |
+---+
10
-2
-1
2
1
y=5^x
y=3x-5
B
A
Конец
«OTBET: »
p
p=Summa();
VX(u);
u=UX(x,h);
x
BBEDuTE X=
TableMax();
TableMin();
w_f=l_f;
h=FileFunction();
l_msp=NULL;l_fll=NULL;l_f=NULL;
w_u=NULL;r_u=NULL;l_u=NULL;
w_v=NULL;r_v=NULL;l_v=NULL;
Начало
Начало
Конец
Вывод значения x на печать
Abs(b-x) меньше заданной точности
Расчет следующего значения X= x по формуле:
x=a-f(a)*(b-a)/(f(b)-f(a))
Процедура для расчета значения заданной функции Y = y при значении X = x
Расчёт значения Y = c при некотором значении X = a
Сохранение предыдущего значения x в переменной b
Выбор значения Х = x
Страницы: 1, 2
