27(2455+1 ( показано с помощью ЭВМ). Справедливости ради следует
подчеркнуть, что Ферма, считая числа F(n) простыми, никогда не утверждал,
что располагает доказательством этого факта. С другой стороны к настоящему
времени известно столько же простых чисел Ферма, сколько из знали во
времена Ферма, а именно: 3, 5, 17, 257, 65537.
Итак, Ферма ошибался. Его формула производила в основном составные, а
не простые числа. Однако, идея “генерирования” простых чисел была
воспринята с энтузиазмом. Все тот же отнюдь не легкомысленный Эйлер
предложил многочлен x2-x+41, который при всех целых x от 0 до 40 дает
только простые числа. Эйлер не поленился проделать эти вычисления, хотя
прекрасно знал, что многочлен с целыми коэффициентами не может при всех
натуральных значениях аргумента принимать только простые значения. Сегодня,
несмотря на усилия сотен профессионалов и тысяч дилетантов, мы по-прежнему
не умеем вычислять сколь угодно большие простые числа, хотя знаем массу
нюансов об их распределении. Один из самых ярких результатов этой области
принадлежит академику Пафнутию Львовичу Чебышеву (1850) : число простых
чисел не превосходящих n приблизительно равно [pic] при n ( ( .
Ферма ошибся, но Ферма был бы не Ферма, если бы позволил хоть одной
своей теореме бесславно кануть в лету. “Проклятые числа как оборотни”
вылезали в самых далеких от теории чисел исследованиях. В 1796 г. 19-летний
студент Геттингенского университета Карл Фридрих Гаусс произвел сенсацию,
доказав теорему: правильный многоугольник может быть построен с помощью
циркуля и линейки тогда и только тогда, когда число его сторон равно
2ap1p2...pb , где все простые числа pi являются числами Ферма, т. е. имеют
вид [pic] . То была месть Ферма спесивым геометрам. Теорема Гаусса подвела
черту под многовековыми спорами относительно возможности построения
правильных многоугольников и сэкономила массу времени любителям математики.
Из этой теоремы следует, что можно построить правильные 3-, 5-, 17-, 257-,
65537- и другие многоугольники и нельзя построить, например, правильные 7-,
11-, 13- угольники. Для неверующих Гаусс не поленился построить правильный
17-угольник.
Занимаясь тайнами простых чисел Ферма сформулировал много положений о
представимости чисел квадратичными формами. Например, он обнаружил
следующие удивительно простые и глубокие закономерности:
1. Формой x2+y2 представимы все простые числа, которые лежат в
прогрессии 4n+1 , причем каждое из них представимо этой формой единственным
образом. Ни одно простое число из прогрессии 4n+3 не представимо суммою
двух квадратов.
2. Формой x2+2y2 представимы все простые числа, лежащие в прогрессиях
8n+1 и 8n+3. Ни одно простое число из прогрессий 8n+5 и 8n+7 не
представимо в виде x2+2y2 .
3. Формой x2-2y2 представимы все простые числа, лежащие в прогрессиях
8n+1 и 8n+7. Ни одно простое число из прогрессий 8n+5 и 8n+3 не
представимо в виде x2-2y2 .
4. Формами x2+3y2 и x2+xy+y2 представимы все простые числа, лежащие
в прогрессии 3n+1. Ни одно простое число из прогрессии 3n+2 не представимо
указанными формами.
Ферма оставил крайне мало пояснений, дающих возможность установить,
как ему удалось получить эти в высшей степени общие результаты. Лишь перед
смертью в письме к де Каркави Ферма частично обосновал положение (1) с
помощью своего метода бесконечного спуска. Можно лишь пожалеть
современников Ферма, которые регулярно получали вариации на тему
утверждений (1) - (4) в качестве задач. Первые полные доказательства этих
утверждений удалось получить лишь Эйлеру. Попутно он сформулировал очень
важную теорему о делимости - так называемой квадратичный закон взаимности,
доказательство которого дал Гаусс. Через увлечение квадратичными формами
прошли Лагранж, Лежандр, Чебышев, а в наше век - Вейль, Артин и многие
другие блестящие математики. Как всегда идеи Ферма оказались чрезвычайно
плодотворны в смысле построения далеко идущих обобщений и формирования
новых понятий. Добрая половина терминов современной абстрактной алгебры
возникла из попыток доказать утверждения Ферма.
Один из важнейших результатов Ферма получил специальное название
“Малая теорема Ферма”. Это фундаментальный факт теории делимости на простые
числа: для любого простого p и любого a(1, которое не делится на p,
разность ap -1-1 делится на p. Например, пусть a=5,
p=2, 3, 7, 11. Тогда 52-1-1=2(2, 53-1-1=3(8, 57-1-1=7(2232, 511-1-
1=11(8878 . Ферма высказал эту теорему в письме Френиклю де Бесси в 1640 г.
с обычным для него замечанием: “... я бы Вам прислал доказательство, если
бы не опасался быть слишком длинным”.
Первое доказательство “Малой теоремы Ферма” дал Лейбниц. Затем Эйлер,
начиная с 1736 г., публикует сразу три различных доказательства, которые
показывают, что Ферма вполне мог уметь доказывать свою теорему. Потомки
часто искали элементарные доказательства утверждений Ферма, пытаясь понять
насколько лукавил великий тулузец. Проблемы Ферма волновали Эйлера на
протяжении всей жизни. В 1760 г. он получил существенное обобщение его
“Малой теоремы”: пусть ((m) - число натуральных чисел, не превосходящих m
и взаимно простых с m . Тогда для любого m и любого a(1, взаимно простого с
m, разность a((m)-1 делится на m. Эту терему Эйлер скромно опубликовал в
качестве четвертого доказательства “Малой теоремы Ферма”
Наконец, мы переходим к изложению самой знаменитой теоремы в истории
математики. Эта теорема получила известность как “Великая теорема Ферма”
(она же “Большая”, она же “Последняя”). На современном это языке звучит
так:
не существует отличных от нуля целых чисел x, y и z, для которых
имеет место равенство
[pic]
при n>2.
Разумеется, никакого уравнения у Ферма не было. Он вообще не знал
знака равенства, а использовал латинское eq. Приводим утверждение Ферма в
оригинальном виде:
“Куб, однако, на два куба или квадроквадрат на два квадроквадрата и
вообще никакую до бесконечности сверх квадрата степень в две того же
названия невозможно разделить”. И не поставив точку, Ферма приписал: ”я
открыл поистине удивительное доказательство этого предложения. Но оно не
умещается на узких полях.“
Этой фразой Ферма прокомментировал задачу из Диофанта: “Заданный
квадрат разложить на два квадрата”. Данное замечание является вторым по
счету из сделанных им на полях “Арифметики”. Первое касалось житейских тем.
Неопределенные уравнения (т. е. уравнениями с двумя неизвестными)
вида [pic] интересовали древних греков в связи с теоремой Пифагора. Они
искали (и находили) тройки целых чисел, образующие стороны прямоугольного
треугольника. Это означает, что при n =1, 2 уравнение в рамке имеет
бесчисленное множество решений. Догадка Ферма заключалась в том, что при
всех прочих n таких троек не существует.
Вряд ли Ферма был первым, кто пришел к подобному выводу. Например,
около тысячи лет назад узбекский математик Хамид ал-Хадженди (что означает
Хамид из Ленинабада) утверждал, что уравнение x3+y3=z3 не имеет решений в
целых числах. Сегодня ясно, что Хамид не имел никаких шансов доказать это
утверждение.
В отношении Ферма достоверно известно, что он доказал “Великую
теорему” при n=4 на полях все той же “Арифметики”. И это единственное
теоретико-числовое доказательство Ферма дошедшее до наших дней. На
протяжении 20 лет Ферма упорно старается привлечь внимание математиков к
“Великой теореме”, предлагая частные случаи в качестве задач. Случай n=3
он формулирует в пяти письмах, причем в последнем письме (от августа 1659
г.) пишет, что доказал теорему для n=3 методом спуска. Между тем “Великую
теорему” для общего случая n>2 Ферма сформулировал только один раз в
упомянутом замечании на полях “Арифметики”. Он не формулирует ее ни разу ни
в одном из писем. Он предлагает только частные случаи (n=3, 4), в отношении
которых уверенно говорит, что располагает доказательством. Даже в письме к
де Каркави от 1659 г., в котором Ферма перечисляет свои основные
достижения, о “Великой теореме” в общем виде нет ни слова. Это может
означать только одно: Ферма обнаружил пробелы в своем “поистине
удивительном доказательстве”, которые так и не смог устранить.
Разумеется, это не охладило потомков. Начиная с конца XVII в.
началась невиданная по своей напряженности гонка за доказательством
“Великой теоремы Ферма”. Обманчивая простота формулировки теоремы обрекла
тысячи поклонников математики на бесплодные поиски доказательства или
опровержения теоремы. Более ста лет никому из ученых не удавалось
продвинуться вперед даже при рассмотрении частных случаев конкретных
значений показателя n.
Первый серьезный результат был получен конечно же Эйлером (1768). Он
показал, что случай n=4 уникален. Это единственный частный вариант “Великой
теоремы ”, когда доказательство имеет вполне элементарный характер. Уже при
n=3 возникают значительные осложнения. Настолько существенные, что
появляется повод в очередной раз сомневаться в честности Ферма. Эйлер
доказал теорему для случая n=3, рассматривая комплексные числа вида [pic] ,
где a, b - целые числа. В XVII в. подобная ересь не могла придти в голову
даже Ферма.
Строго говоря, доказательство Эйлера было дефектным, поскольку он
необоснованно перенес ряд свойств обычных чисел на числа вида [pic]. В
частности он предполагал единственность разложения таких чисел на простые
множители. Для устранения пробелов в доказательстве Эйлера понадобились
принципиально новые алгебраические абстракции: числовые кольца и поля.
Реализацию этой программы начал Гаусс, которому принадлежит первое
абсолютно строгое доказательство “Великой теоремы Ферма” для n=3.
Доказательство для случая n=5 предложили почти одновременно в
атмосфере острого соперничества два француза: Лежен-Дирихле и Лежандр
(1825). Оба доказательства были очень сложными. В 1839 г. теорема Ферма
была доказана для следующего простого показателя n=7. Это удалось благодаря
титаническим усилиям Ламе. Он же в 1847 г. объявил, что доказал теорему для
всех простых показателей n>3 . Однако бдительный Лиувиль сразу же обнаружил
в рассуждениях Ламе ошибку сходную с той, которую допустил Эйлер. Ламе был
вынужден признать свое поражение.
Пока во Франции происходили эти события, в Германии молодой математик
Куммер упорно занимается теоремой Ферма. Повторив все ошибки Ламе, он
пришел к понятию “идеальных чисел”, для которых разложение на простые
множители единственно. Обобщение этого понятия привело к созданию
головокружительных абстрактных конструкций, которые сегодня изучаются в
специальном разделе алгебре под названием “Теория идеалов”. Куммер,
посвятивший теореме несколько десятков лет, к концу жизни умел доказывать
“Великую теорему Ферма” для всех простых показателей n <100 . В 1857 г. ему
была вручена премия Французской академии наук в размере 3 тыс. франков.
Работы Куммера окончательно похоронили надежды на возможность
доказательства теоремы Ферма элементарными средствами. Стало ясно, что
Ферма никогда не имел и не мог иметь доказательства теоремы в общем виде.
После Куммера серьезных сдвигов в доказательстве теоремы Ферма не
происходило вплоть до 1929 г., когда Вандивер, используя метод Куммера,
получил в явном виде некие условия, позволяющие проверять истинность
теоремы для любого простого показателя. С этого момента доказательство
теоремы для конкретного n свелось к чисто вычислительным проблемам, с
которыми легко справляются современные ЭВМ. В результате к концу
семидесятых годов нашего столетия “Великая теорема Ферма” была доказана для
всех n <100000 . Это очень большое число, но это еще не все n , а значит
“Великая теорема Ферма” не доказана и не опровергнута.
“Верна или не верна?” - так назывался чудесный научно-популярный
игровой фильм, промелькнувший на экранах телевизоров в начале семидесятых.
Современный яйцеголовый математик, разложив на пульте ЭВМ старинные
фолианты, колдует над кипящей ретортой. Он решил обратиться к последнему
средству. Произнесена магическая формула, раздается взрыв, и в облаке дыма
появляется интеллигентного вида дьявол (его блестяще играет молодой
Кайдановский). Помахивая хвостом, нечистый вежливо спрашивает, что угодно
клиенту в обмен на бессмертную душу. “Я хочу знать, верна или не верна
теорема Ферма”- устало ответствует математик. “Простите, кто кому не
верна?”- переспрашивает ошарашенный дьявол. “Великая или Последняя теорема
Ферма. Это математическое утверждение. Оно либо справедливо, либо ошибочно.
Я должен это узнать любой ценой”. Дьявол осторожно интересуется насчет
более традиционных пожеланий - земные блага, вечная молодость и все такое.
Но математик упрямо требует ответа на проклятый вопрос. Дьявол, обреченно
вздыхая, соглашается вникнуть в суть проблемы. Математик пускается в
объяснения: “Уравнение Ферма может быть решено в целых числах, если
показатель равен двум. Например, три в квадрате плюс четыре в квадрате
равно пяти в квадрате. Но если показатель равен трем... ”
“Подождите,- перебивает его дьявол. - Как Вы сказали? Три в квадрате плюс
четыре в квадрате... ”, и дьявол рисует кончиком хвоста:
+
Математик с изумлением взирает на посланника ада. Дьявол безнадежно отстал
и не знает элементарной алгебры! Придется начинать с самого начала. Через
несколько минут дьявол (а заодно и зритель) уясняет формулировку теоремы и
проникается ее интригующей историей. Он полон оптимизма, ему не терпится
приступить к решению загадки: “Я всего лишь должен найти три числа? Три
обычных числа, которые удовлетворяют уравнению г-на Ферма для некоторого
показателя, например, для трех”. “Да, этого достаточно, чтобы отвергнуть
теорему”- отвечает математик, но дьявол уже исчез. Через несколько минут он
вновь сидит в кресле: “Я перебрал биллионы чисел для тысячи показателей, но
нужных цифр среди них не было” - заявляет он обиженно. Математик улыбается:
“Зря старались. Известно, что теорема Ферма верна для всех показателей не
превосходящих 100000. Попытайтесь доказать теорему, используя знания,
накопленные людьми”. Час спустя дьявол появляется вновь. Вид у него самый
озабоченный. Он в очках, на нем модная водолазка. “Да, Вы правы. Эта штучка
жжет почище адского пламени. - говорит он задумчиво - Я полностью овладел
математическим анализом, я изучил теорию квадратичных вычетов, ряды
Дирихле, диофантовы уравнения, дзета-функции, поля классов и многое другое.
И я знаю, что близок к цели. Я пришел просить отсрочки еще на час”. Он
возвращается лишь поздно ночью, разбудив задремавшего математика.
“Послушайте, - шепчет возбужденно дьявол, - а Вы пробовали рассматривать
алгебраические кривые в проективной плоскости инвариантные относительно
бирациональных преобразований в хаусдорфовой топологии. Шансов немного, но
... ”. “Позвольте, - прерывает его математик, - разве это возможно в случае
произвольных полей”. Дьявол в ответ раскрывает научный журнал: “Так Вы не
видели свежей работы Серра по когомологиям Вейля? Вот, взгляните”. И они,
забыв о сделке, углубляются в формулы, обмениваясь репликами на жутковатом
профессиональном жаргоне.
Забавный фильм вполне точно подмечает инфернальный характер наследия
Ферма. “Великая теорема” обернулась проклятием для десятков, может быть
сотен тысяч людей, имевших несчастье вникнуть в ее формулировку и
заразиться желанием испытать свои силы. Вступившие на эту стезю уже не
внимали никаким доводам рассудка. Иллюстрацией может служить анекдотичная
телеграмма, пришедшая в Президиум АН СССР: “Доказал теорему Ферма. Основная
идея перенести игрек энной в правую часть. Подробности письмом”.
Ведущие математики всех времен и народов неоднократно объясняли, что
элементарное доказательство теоремы Ферма во-первых не существует, а во-
вторых не будет иметь никакого значения для науки. Оно всего лишь закроет
проблему. Подлинное значение “Великой теоремы” в том, что при попытках ее
доказательства были выкованы мощные средства, приведшие к созданию новых
обширных разделов математики.
Движение “ферматистов” приняло невероятный размах, после того, как в
1908 г. немецкий любитель математики Вольфскель завещал 100000 марок тому,
кто докажет теорему Ферма. Право присуждения премии предоставлялось
Гетингенской академии Германии. Немедленно тысячи людей стали
бомбардировать научные общества и редакции журналов рукописями, якобы
содержащими доказательство “Великой теоремы”. Только в Геттингенское
математическое общество за первые три года после объявления завещания
Вольфскеля пришло более тысячи “доказательств”. Педантичные немцы даже
заготовили бланки: “Ваше доказательство содержит ошибку на стр. ____ ,
которая заключатся в том, что ____________”
После первой мировой войны во время инфляции премия Вольфскеля
обесценилась, но поток “ферматистских доказательств” не прекратился.
Финал этой истории банален. В 1993 г. все ведущие информационные
агентства передали сообщение о том, что двум американским математикам
удалось доказать теорему Ферма в общем виде. Через полгода в нашей прессе
выступил крупнейший алгебраист акад. Фадеев, который подтвердил факт
доказательства . XX век покончил с “Великой теоремой Ферма” тихо и
буднично. При помощи обычной теории идеалов.
Литература
1. П.Ферма. Исследования по теории чисел и диофантову анализу. М., “Наука”,
1992.
2. М.М.Постников. Теорема Ферма.М., “Наука”, 1978.
3. В.А. Никифоровский, Л.С. Фрейман. Рождение новой математики. М.,
“Наука”, 1976.
4.Р. Тиле. Леонард Эйлер.Киев, “Вища школа”, 1983.
5. В.Ф. Асмус. Декарт. М., Госполитиздат, 1956.
6. И. Г. Башмакова, Е.И. Славутин. История диофантова анализа от Диофанта
до Ферма. М., “Наука”, 1984.
-----------------------
4
3
