Так, на рис.1.14 приведены УГО элемента исключающее ИЛИ с тремя входами, УГО элемента логического порога «=2 из 4-х», карты Карно их выходных функций и функциональные эквивалентные схемы.
Анализируя приведённые карты Карно функций X и Y, замечаем, что
минимальных дизъюнктивных алгебраических форм у этих функций нет (о визуально-матричном способе минимизации логических функций будет сказано ниже). Поэтому функциональные схемы названных элементов можно построить, найдя алгебраические выражения в ДСНФ либо в других формах.
Так, схема рис.1.14,д получена по следующему выражению:
X = . (1.17)
Это ДСНФ функции «исключающее ИЛИ». Если бы аналогично находить выражение функции Y, то оно состояло бы из 6 дизъюнктивных членов (слагаемых), каждый из которых представлял бы произведение всех 4-х аргументов. Тогда функциональная схема элемента логического порога «=2 из 4-х» состояла бы из элемента 6ИЛИ, шести логических элементов 4И и из 4-х элементов НЕ. Схема же на рис.1.14,е получена по следующему логическому выражению:
Y = (aÅd)(bÅc) + (aÅb)(cÅd). (1.18)
О правилах получения подобного рода алгебраических выражений по булевым матрицам логических функций речь будет идти ниже. Сейчас же уместно напомнить, что сумма по mod2 отображается на картах Карно шахматным узором расположения единиц и нулей. Так, выражение (1.18) получено по выделенным различной заливкой «частным шахматным узорам» (рис.1.14,г) для функции Y с применением операции выноса за скобки общих сомножителей. Аналогичное выражение можно было бы получить и для функции «исключающее ИЛИ» по карте рис.1.14,б.
Следует отметить, что в частном случае, когда число входов у элемента «исключающее ИЛИ» равно двум, то эта функция тожественно равна функции сложения по mod2 от двух аргументов (2Å). К сожалению, в интегральном исполнении логические элементы «исключающее ИЛИ» и «логического порога» при числе входов более двух не выпускаются.
1.3.13. Логические элементы «ИМПЛИКАТОРЫ»
Эти логические элементы описываются функцией «импликация» (табл.1.3 функции V11 и V14).
V11 = b ® a = ,
V14 = a ® b = . (1.19)
Первая из функций называется «импликация b», а вторая - «импликация а». На рис.1.15 приведены условные графические обозначения логического элемента ИМПЛИКАТОР а и карта Карно его выходной функции. Правые части выражений (1.19) свидетельствуют о том, что функция импликации в то же самое время является инверсией функции ЗАПРЕТ.
Из карты рис.1.15,в следует, что функция импликации ложна только в том случае, когда один из аргументов принимает ложное значение, а другой - истинное.
В интегральном исполнении ИМПЛИКАТОРЫ в сериях ИМС широкого применения практически не выпускаются. Вместе с тем, согласно УГО рис.1.15,а и в, функцию импликации можно реализовать элементом 2ИЛИ, подав сигнал на его один из входов через инвертор, либо - на элементе ЗАПРЕТ, включив на его выход инвертор. Эти функциональные эквивалентные схемы мы не приводим, из-за их тривиальности.
Следует отметить, что входы у логических элементов импликаторов логически неравнозначны, поэтому порядок подачи входных сигналов строго фиксирован.
1.3.14. Многофункциональные логические элементы
Выше были рассмотрены «простые» логические элементы, которые реализуют простые либо достаточно простые логические операции. Вместе с тем, в интегральном исполнении выпускаются более сложные логические элементы (ЛЭ), которые способны реализовать (одновременно, либо путём перекоммутации входов к шинам лог.0 или лог.1) несколько простых функций. По сути, эти элементы допускают возможность реализации многоместных логических функций по фрагментам их нормальных дизъюнктивных, либо нормальных конъюнктивных алгебраических форм. В табл.1.2 уже были приведены названия интегральных схем по функциональному назначению и их условные обозначения. Рассмотрим только наиболее широко применяемые многофункциональные ЛЭ.
Логические элементы И-ИЛИ-НЕ
Такие элементы реализуют инверсию дизъюнктивных нормальных форм (ДНФ) алгебраических выражений функций, что эквивалентно реализации конъюнктивных нормальных форм (КНФ) этих функций. Так, на рис.1.16 приведены УГО микросхем К155ЛР1 и К155ЛР3. В микросхеме К155ЛР1 содержится два элемента 2-2И-2ИЛИ-НЕ, а микросхема К155ЛР3 представляет собой один элемент 2-2-2-3И-4ИЛИ-НЕ, расширяемый по ИЛИ.
По функциональной схеме (рис.1.16,б) одного из элементов микросхемы К155ЛР1 можно составить следующее алгебраическое выражение его выходной функции:
F = = . (1.20)
Таким образом, эта функция от 4-х аргументов, причём правая часть выражения (1.20) соответствует минимальной конъюнктивной нормальной форме функции F (МКНФ). Левая часть этого выражения непосредственно соответствует УГО элемента 2-2И-2ИЛИ-НЕ. Второй такой же элемент этой микросхемы имеет «нелогические» входы расширения по ИЛИ. Они помечены в левом дополнительном поле УГО метками «э» - эмиттера вывод и «к» - коллектора вывод. Нелогическими выводами (входы либо выходы) принято называть такие, на которых сигналы могут принимать значения нестандартных уровней напряжения. Такие выводы помечаются на УГО логических элементов (либо микросхем) специальным указателем в виде «крестика» ´. В частности, у рассматриваемых ИМС эти выводы выполнены от коллектора и эмиттера транзистора фазорасщепляющего каскада базового логического элемента серий ИМС ТТЛ. Подключая к ним выходы соответствующих ИМС «расширителей по ИЛИ», можно наращивать число входов элемента ИЛИ-НЕ, входящего в состав многофункционального элемента. Например, для рассматриваемых микросхем коэффициент объединения по входу равен 8, а расширители по ИЛИ реализуют логическое произведение нескольких входных сигналов. По существу расширители по ИЛИ являются многовходовыми элементами И с той лишь разницей, что выходные сигналы не имеют стандартных уровней лог.0 и лог.1. Отмеченное позволяет записать по аналогии с выражением (1.20) алгебраическое выражение выходной функции V для второго элемента:
V = . (1.21)
Максимальное число последующих слагаемых в выражении (1.21) может быть равным 8 (в соответствии с коэффициентом объединения по входам), а каждое слагаемое может быть отображено конъюнкцией максимально от восьми аргументов. Таким образом, выражения (1.20) и (1.21) определяют логико-математическую модель микросхемы К155ЛР1.
Предлагаем Вам самостоятельно найти логико-математическую модель микросхемы К155ЛР3, используя для этого показанное на рис.1.16,г её условное графическое обозначение.
Логические элементы ИЛИ-И
Эти логические элементы реализуют фрагменты конъюнктивных нормальных форм (КНФ) булевых функций, то есть логическое произведение логических сумм от нескольких аргументов. Например, самым простым будет элемент 2-2ИЛИ-2И. Такой элемент описывается функцией вида
X = (a + b)(c + d). (1.22)
На рис.1.17 приведено УГО этого элемента, карта Карно его выходной функции X и функциональная эквивалентная схема.
В интегральном исполнении выпускаются подобные ЛЭ, например, в серии ИМС ЭСЛ есть микросхема К500ЛС118, представляющая собой два логических элемента 2-3ИЛИ-2И с одним общим входом. На рис.1.17,г показано УГО этой микросхемы. По условному её графическому обозначению можно составить следующие логические выражения выходных функций Y и Z:
Y = (x1 + x2 + x3)(x4 + x5 + x6), (1.23)
Z = (x6 + x7 + x8)(x9 + x10 +x11).
Выражения (1.23) являются логико-математической моделью рассматриваемой микросхемы. Наличие общего входа x6 даёт возможность использовать микросхему К500ЛС118 в качестве двух независимых элементов вида 2-3ИЛИ-2И (при x6=0),
либо в качестве двух независимых элементов 3ИЛИ (при x6 =1). В этом легко убедиться, подставив соответствующие значения x6 в выражения (1.23).
Логические элементы ИЛИ-НЕ / ИЛИ
По существу, эти элементы являются элементами ИЛИ с двумя выходами - прямым и инверсным. Поэтому они реализуют одновременно дизъюнкцию и инверсию дизъюнкции от одного и того же множества входных сигналов и описываются одноимёнными логическими функциями. Так на рис.1.18,а показано УГО элемента 3ИЛИ-НЕ / 3ИЛИ и условные графические обозначения микросхем серии К500, содержащих подобные логические элементы. На рисунке также приведены карты Карно выходных функций указанного элемента, функциональная эквивалентная его схема (рис.1.18,б) и УГО микросхем К500ЛМ105 (рис.18,д), К500ЛМ109 (рис.1.18,е) и К500ЛМ101 (рис.1.18,ж). Следует отметить, приведённый вариант функциональной схемы не единственный - вместо элемента 3ИЛИ-НЕ может быть использован элемент 3ИЛИ и также элемент НЕ. По условным графическим обозначениям перечисленных микросхем нетрудно уяснить, что ИМС К500ЛМ105 содержит три независимых элемента: два элемента 2ИЛИ-НЕ/ 2ИЛИ и один элемент 3ИЛИ-НЕ /3ИЛИ.
Аналогично можно уяснить состав микросхемы К500ЛМ109
(рис.1.18,е).
Обратите внимание на УГО микросхемы К500ЛМ101(рис.1.18,ж). Микросхема содержит 4 однотипных элементов типа 2ИЛИ-НЕ /2ИЛИ с раздельными выходами и с одним общим входом х5. Если сигнал по этому входу х5 = 0, то микросхему можно рассматривать как набор из 4-х элементов НЕ и, в то же самое время, как набор из четырёх повторителей сигналов по входам х1, х2, х3 и х4. Если же х5 = 1, то независимо от значений других входных сигналов на прямых выходах установятся сигналы лог.1, а на инверсных выходах сигналы лог.0. Таким образом, каждый элемент в микросхеме играет роль управляемого инвертора-повторителя.
Дополнительно отметим, что в серии К500 имеются логические элементы вида ИЛИ-И-НЕ/ИЛИ-И, например микросхема К500ЛК117. Это - практически, аналог микросхемы К500ЛС118 (рис.1.17,г) с тем отличием, что каждый элемент 2-2ИЛИ-2И имеет прямой и инверсный выходы.
Мы рассмотрели практически все широко используемые при построении цифровых устройств логические элементы. Анализируя изложенный материал, можно придти к следующим выводам:
1. Существует возможность однозначного перехода от аналитического описания ЛЭ к его условному графическому обозначению либо к функциональной эквивалентной его схеме.
2. Существует возможность однозначного перехода от УГО элемента либо от его функциональной схемы к аналитическому его описанию. При этом функционирование элемента описывается алгебраическими выражениями логических функций, реализуемых элементом.
3. Функциональные схемы сложных ЛЭ можно построить на различных более простых (менее сложных) логических элементах, причём существует неоднозначность (многовариантность) построения функциональных эквивалентных схем для одного и того же ЛЭ.
Поскольку логические устройства по существу представляют собой совокупность взаимосвязанных логических элементов, то сформулированные выводы можно с успехом распространить и на устройства.
Вместе с тем возникает проблема, - каким образом можно построить устройство с минимальным количеством ЛЭ и на элементах минимальной номенклатуры. Другими словами, как построить устройство с минимальными аппаратурными затратами.
Решение этой проблемы основывается на знании функционально полных наборов логических элементов и выборе по определённым критериям соответствующего набора.
1.3.15. Функционально полные наборы логических элементов
Функционально полным называется такой набор ЛЭ, на которых (из которых) можно построить любое логическое устройство сколь сложно оно ни было бы. Функциональная полнота некоторого набора логических элементов, в свою очередь, определяется полнотой некоторой системы логических функций, которые являются логико-математическими моделями выбранного набора ЛЭ.
В булевой алгебре существует теорема Поста-Яблонского, согласно которой устанавливаются критерии полноты некоторой системы логических функций. Сущность этой теоремы сводится к следующему.
Некоторая система логических функций будет полной, если она содержит:
а) функцию, не сохраняющую логическую константу 0,
f (x1, x2, ¼xn) = f (0, 0, ¼0) ¹ 0;
б) функцию, не сохраняющую логическую константу 1,
f (x1, x2, ¼xn) = f (1, 1, ¼1) ¹ 1;
в) функцию, не являющуюся самодвойственной,
¹ ;
г) функцию, не являющуюся линейной,
f (x1, x2, ¼xn) ¹ х1 Å х2 Å ¼Å хn Åх1 х2 Å ¼ Å х1 х2¼xn;
д) функцию, не являющуюся монотонной.
Если Х1 есть некоторый фиксированный набор значений аргументов функции f (x1,x2,x3,x4), например Х1 = <x1, x2, x3, x4> = <1,1,0,1>, а Х2 = <x1, x2, x3, x4> = <0,0,0,1> - другой набор этих аргументов, то можно считать, что Х1 > Х2, т.е. набор Х2 меньше набора Х1.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
