2.1. Спонтанні та вимушені переходи,
Згідно законам класичної електродинаміки джерелом випромінювання світла може бути заряд, який рухається з прискоренням, причому величина випромінюваної енергії дорівнює:
(2.1)
де - прискорення частинки.
Якщо джерелом випромінювання є одномірний гармонічний осцилятор
то частота випромінювання буде співпадати з механічною частотою коливання осцилятора, а інтенсивність випромінювання пропорційна квадрату амплітуди.
У квантовій механіці підхід до процесу випромінювання інший, оскільки саме випромінювання по квантовій теорії має місце тоді, коли частинка (система) переходить із одного квантового стану в інший, енергетично більш низький, тобто «зверху вниз».
Основні ідеї квантової теорії випромінювання полягають у наступному. Нехай один із електронів якої-небудь атомної системи знаходиться в збудженому стані m з енергією Еm. Тоді для такого електрона існує певна ймовірність Amn спонтанного переходу у більш низький енергетичний стан n з енергією En. При цьому відбувається випромінювання фотона з енергією Якщо число подібних збуджених атомів дорівнює Nm, то енергія випромінювання за одиницю часу за рахунок спонтанних переходів дорівнюватиме:
(2.2)
Якщо атоми зазнаватимуть дії зовнішнього електромагнітного випромінювання, то виникатимуть вимушені переходи зверху вниз, і знизу вгору, причому переходи знизу вгору будуть відбуватися з поглинанням фотонів.
Позначимо імовірність вимушеного (індукованого) переходу з стану m в стан n через Bmn, а з стану n в стан m через Bnm. Оскільки число вимушених переходів пропорційне спектральній густині падаючого випромінювання, знайдемо значення енергії випромінювання і поглинання:
(2.3)
(2.4)
де Nm – число станів у стані n. Розглянемо випадок термодинамічної рівноваги між нагрітими атомами і випромінюваним ними світлом (чорне випромінювання). Тоді:
. (2.5)
Покладемо, що розподіл електронів по станам задаються розподілом Максвелла. Тоді маємо:
(2.6)
У результаті математичних перетворень одержимо:
(2.7)
Тоді з порівняння знаходимо:
(2.8)
Звідси видно, що імовірності вимушених переходів як зверху вниз, так і знизу вгору виявляються рівними і пропорційними коефіцієнту спонтанного переходу Amn. Тому для описання випромінювання атомів або молекул достатньо визначити лише один із цих коефіцієнтів.
У загальних рисах квантова теорія випромінювання зводиться до наступного. В рамках теорії Шредінгера можна пояснити лише вимушені переходи, що відбуваються у результаті взаємодії електронів атома із зовнішньою електромагнітною хвилею. Спонтанні переходи із збуджених енергетичних станів у більш низькі залишаються у цьому випадку фактично не поясненими, оскільки відсутня зовнішня дія, яка б могла привести до цих переходів. Відповідь на це питання було знайдено тільки після створення квантової теорії випромінювання, у якій був використаний апарат квантування електромагнітного поля. При цьому електрони і поле випромінювання розглядаються як дві взаємодіючі квантові системи, причому ця взаємодія не зникає навіть при відсутності реальних фотонів.
2.2. Імовірність переходу під впливом зовнішньої дії,
Розглянемо атом, який з деякого моменту t=0 зазнає дії поля світлової хвилі. Покладемо, що хвиля строго монохроматична, лінійно поляризована по осі x і поширюється вздовж осі z. Електричне поле цієї хвилі діє на електрон атома з силою:
(2.9)
де Е – напруженість електричного поля монохроматичної хвилі, - довжина хвилі.
Виберемо початок координат у центрі атома. Тому відношенням можна знехтувати і вираз (10.14) перепишеться як:
(2.10)
Дій силі відповідатиме потенціал:
(2.11)
Це і буде зовнішнє збурення, що діє на атом.
Нехай, як ми і припускали, в момент t=0 атом знаходиться у стаціонарному стані з енергією En. Під впливом збурення буде буде здійснюватися перехід в інші стани. Знайдемо імовірність переходу En – Em за проміжок часу 0 – t. Для цього потрібно розв’язати нестаціонарне рівняння Шредінгера: (2.12), де гамільтоніан , .
Розв’язок будемо шукати у вигляді: (2.13)
Підставивши (2.13) у рівняння (2.12) і провівши нескладні викладки отримаємо:
(2.14).
Підставляючи в цю рівність замість φm функції φ1, φ2,…отримаємо систему рівнянь, за яких можна знайти всі коефіцієнти С1, С2,…, тобто значення ймовірностей. Ці рівняння є тотожними, поскільки ніяких наближень не робилося.
Практично знайти коефіцієнти Cm з точного рівняння (2.14) неможливо, оскільки рівняння утворюють систему з нескінченним числом невідомих. Для отримання першого наближення можна скористатися тим, що коефіцієнти Ск (t) змінюються з часом повільно, а тому можна прийняти, що в час, близький до t=0, коефіцієнти Ск зберігають ті значення, які вони мали при t=0. Наприклад, якщо пр t=0 атом знаходиться у стаціонарному стані з енергією En, то для t=0 коефіцієнт Cn рівний одиниці, а решта рівні
,
Оскільки для цього моменту з достовірністю відомо, що атом знаходиться у стані . Допускаємо, що ці значення коефіцієнтів зберігаються при достатньо малих значеннях t >0. Тому одержимо:
(2.15)
Переходи, які здійснюються в атомі під впливом поля випромінювання, можуть ати двоякий характер. Якщо Em > En, то атом буде поглинати енергію із поля, якщо Em <En – то атом віддає енергію полю – відбувається вимушене випромінювання. В першому випадку додатне, у другому від’ємне. У кожному випадку одним із двох членів у дужках виразу (2.15) можна знехтувати першим доданком, а у випадку вимушеного випромінювання – другим.
Розглянемо випадок поглинання, тоді з (2.15) матимемо:
(2.16)
Квадрат модуля Сm характеризує імовірність переходу, тому
(2.17)
(Сm)2 пропорційно квадрату дипольного моменту переходу результат аналогічний класичній теорії випромінювання з тією різницею, що замість дипольного моменту ex входить матричний елемент exmn.
Імовірність матиме максимальне значення при , тобто падаюча хвиля спричиняє перехід En→ Em тільки у тому випадку, коли її частота співпадає з або дуже близька до .
Розглянутий випадок є ідеалізованим. Дійсно, ми розглядали стани з різко визначеними значеннями енергії Em і En, а отже і - строго визначена частота. В дійсності ж, стани мають скінченну ширину, а тому лінія поглинання теж має скінченну ширину, тобто є вузькою ділянкою суцільного спектру. Тому для отримання повної імовірності переходу, що відповідає всій ширині лінії, а не тільки її максимуму, необхідно (2.17) про інтегрувати по частотам в межах ширини лінії. Тоді одержимо:
(2.18)
Знайдена повна імовірність переходу за t секунд пропорційна часу, а тому імовірність переходу за одиницю часу є величиною постійною.
2.3. Інтенсивність та ширина спектральних ліній випромінювання.
Якщо атом знаходиться у збудженому стані m, то можливий спонтанний перехід на рівень п із випромінюванням кванта світла.
У загальному випадку для інтенсивності випромінювання можна записати формулу:
(2.19)
Для довільної точки ми можемо записати для інтенсивності випромінювання формулу: (2.20), де .
Перетворюючи попередній вираз для напівширини спектральної лінії одержимо, що: (2.21). Оскільки коефіцієнт затухання коливань γ рівний: , то вираз (2.21) отримає вигляд: (2.22).
Ширина спектральної лінії визначається формулою (2.22) та носить назву природної ширини спектральної лінії випромінювання. Вона залежить тільки від затухання коливань атома внаслідок коливання та не залежить від інших причин, які можуть викликати розширення спектральних ліній випромінювання. Розрахунок дає значення .
Необхідно також відмітити, що на ширину спектральної лінії впливає густина частинок у випромінюваному об’ємі та ефект Доплера. Ширина спектральних ліній зумовлена ефектом Доплера в багато разів більша за величину природної ширини лінії.
2.4. Кут розбіжності лазерного пучка.
У лазерах для створення зворотного зв’язку використовують системи дзеркал.
Нехай коефіцієнти відбивання для них рівні R1 та R2. сучасні багатошарові покриття дзеркал дозволяють одержати .
Як правило одне із дзеркал має нижчий показник відбивання для виводу випромінювання назовні. Лазерний промінь має здатність розфокусовуватися, але якщо виміряти кутову відстань для променя лазера, то вона виявиться рівною близько . Тому лазерний промінь розфокусовується у значній мірі лише на великих відстанях. Наприклад розфокусовування лазерних променів виявляють під час вимірювання відстаней до Місяця.
Розділ 3. Методи створення інверсного заселення рівнів.
Створення в активній речовині інверсії населеності проводиться різноманітними методами (11). Найчастіше використовують вплив на речовину електромагнітного випромінювання (оптична накачка), електричного розряду, електронних пучків із енергією від кількох десятків еВ до МеВ, (електронний удар), високотемпературний нагрів речовини із наступним швидким охолодженням (теплова накачка), екзотермічні хімічні процеси в речовині, інжекцію носіїв заряду в р-п-область в напівпровідниках під дією електричного поля.
Оптичну накачку здійснюють із допомогою газорозрядних ламп в імпульсному чи неперервному режимах роботи. Оскільки їх випромінювання має широкий спектр, то в якості активного середовища слід використовувати матеріали із широкою смугою поглинання. Однак із зростанням ширини спектральної лінії зменшується переріз σ і тому важко досягти порогових значень , які рівні: . Тому реалізації інверсної населеності використовують домішкові атоми, наприклад хрому в кристалах рубіна.
Аналогічна схема накачки і для лазерів на основі скла та ітрій-алюмінієвого граната, активованого неодимом Nd та деяких твердо тільних лазерів, в яких для створення інверсної населеності використовують енергетичні рівні домішкових атомів. Оптичну накачку використовують також в лазерах на органічних барвниках (рідкі активні середовища).
Інша схема оптичної накачки заснована на тому, що при поглинанні широкополосного спектру випромінювання відбувається фотоліз із появою радикалів та збуджених атомів, останні й утворюють активне середовище лазерів. Наприклад при фотолізі молекули при дії ультрафіолетового випромінювання із довжиною хвилі 200- 250 нм виникає збуджений атом І в стані :
При переході атома йоду І в стан випромінюється фотон із довжиною хвилі 1,315 мкм:
