Рассчитаем σ:
1
σ²x= n ∑(хi-х)²=3,044-1,744²=0,0025
1
σy²= n ∑(yi-y)²=3,22-1,769²=0,0906
вычислим значения С и b по формуле:
b= yx-y∙x =(3,1308-1,796*1,744)/0,0025= -0,5696
σ²x
С=Y-b∙X=1,796+0,5696*1,744=2,7894
Получим линейное уравнение Ỹ=2,7894-0,5696*Х, после потенцирования
2,7894 -0,5696 -0,5696
получим: ŷ=10 *х =615,7 *х
Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоритические значения результата ŷx. По ним рассчитываем показатели: тесноты связи – индекс корреляции ρxy и среднюю ошибку аппроксимации Аi
2,7894
Ŷ1=10 *47,1=68,61
2,7894
Ŷ2=10 *59,2=60,24
2,7894
Ŷ3=10 *50,2=66,17
2,7894
Ŷ4=10 *63,8=57,72
2,7894
Ŷ5=10 *60,8=59,33 далее рассчитаем Аi
l (yi-ỹхi)
А= n ∑ Аi = уi ∙100%
А1=4,19/72,8*100%=5,76%
А2=2,96/63,2*100%=4,68%
А3=4,27/61,9*100%=6,90%
А4=0,98/58,7*100%=1,67%
А5=2,33/57,0*100%=4,09%
ρxy=√ l-(∑(yi-ŷх) ² ∕ (∑(y-yср)²=√ l-10,196/30,2776=0,81
определим коэффициент по формуле детерминации:
r²xy=(Pxy)²=(0,81)²=0,6561
Аi=4,62%
Характеристика степенной модели указывают, что она несколько лучше линейной функции описывает взаимосвязь.
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ РЕГРЕССИВНАЯ МОДЕЛЬ
Построению уравнения показательной кривой у=а ·bx предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:
Lg y=lg a+x*lgb
Y=C+Bx где,
Y=lg y., C=lg a., B=lgb
Табл.№4
|
№ п/п |
Y |
X |
YX |
Y² |
X² |
ŷx |
yi-ŷx |
(yi-ŷx)² |
Ai |
|
1 |
1,86 |
47,1 |
87,606 |
3,4596 |
221,41 |
67,96 |
4,84 |
23,42 |
6,65 |
|
2 |
1,80 |
59,2 |
106,56 |
3,24 |
3504,64 |
60,18 |
3,02 |
9,12 |
4,77 |
|
3 |
1,79 |
50,2 |
89,858 |
3,2041 |
2520,04 |
65,87 |
-3,97 |
15,76 |
6,41 |
|
4 |
1,77 |
63,8 |
112,926 |
3,1329 |
4070,44 |
57,45 |
1,25 |
1,56 |
2,12 |
|
5 |
1,76 |
60,8 |
107,008 |
3,0976 |
3696,64 |
59,22 |
-2,22 |
4,92 |
3,89 |
|
Итого |
8,98 |
281,1 |
503,958 |
16,1342 |
16010,17 |
310,68 |
2,92 |
54,78 |
23,84 |
|
Сред.знач |
1,796 |
56,22 |
100,7916 |
3,2268 |
3202,034 |
|
|
|
4,77 |
|
σ |
0,037 |
6,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
σ² |
0,0012 |
41,34 |
|
|
|
|
|
|
|
Значения параметров регрессии А. и В составили:
b= Υ·x - Υ· x =(100,7916-1,796*56,22)/41,34=-0,0043
σ²x
А=Υ-В * х=1,796+0,0043*56,22=2,0378
Получено линейное уравнение : Ỹ=2,0378-0,0043* х далее, исходя из этого уравнения произведем потенцирование и запишем его в обычной форме
2,0378 -0,0043 * х х
ŷ=10 *10 =109,1*0,99
47,1
ŷ1=109,1*0,99 =67,96
59,2
ŷ2=109,1*0,99 =60,18
50,2
ŷ3=109,1*0,99 =65,87
63,8
ŷ4=109,1*0,99 =57,45
60,8
ŷ5=109,1*0,99 =59,22
рассчитаем Аi
l (yi-ỹхi)
А= n ∑ Аi = уi ∙100%
А1=4,84/72,8*100%=6,65%
А2=3,02/63,2*100%=4,77%
А3= 3,97/61,9*100%=6,41%
А4=1,25/58,7*100%=2, 12%
А5=|2,22/57,0*100%=3,89%
Аi=4,77%
Тесноту связи оцениваем через индекс корреляции:
ρxy=√ l-(∑(yi-ŷх) ² ∕ (∑(y-yср)²=√l-10,95/30,2776=0,8
Связь умеренная, но немного хуже чем в предыдущем случае.
Коэффициент детерминации : r²xy=(Pxy)²=(0,8)²=0,64.
Аi=4,77%. Показательная функция чуть хуже, чем степенная- она описывает изучаемую зависимость.
РЕГРЕССИВНАЯ МОДЕЛЬ РАВНОСТОРОННЕЙ ГИПЕРБОЛЫ.
1
Уравнение равносторонней гиперболы у=а+b х линеаризуется при замене
1
Z= х , тогда уравнение равносторонней гиперболы принимает следующий вид: у=а+b*z
Табл.№5
|
№ п/п |
Y |
X |
YX |
Y² |
X² |
ŷx |
yi-ŷx |
(yi-ŷx)² |
Ai |
|
1 |
72,8 |
0,021 |
1,52 |
0,000441 |
5299,84 |
67,63 |
5,17 |
26,72 |
7,1 |
|
2 |
63,2 |
0,017 |
1,07 |
0,000289 |
3994,24 |
61,85 |
1,35 |
1,82 |
2,14 |
|
3 |
61,9 |
0,019 |
1,17 |
0,000361 |
3831,61 |
64,74 |
-2,84 |
8,06 |
4,58 |
|
4 |
58,7 |
0,015 |
0,88 |
0,000225 |
3445,69 |
58,95 |
-0,25 |
0,06 |
0,42 |
|
5 |
57,0 |
0,016 |
0,91 |
0,000256 |
3249 |
60,40 |
-3,4 |
11,56 |
5,96 |
|
Итого |
313,6 |
0,009 |
5,55 |
0,001572 |
19820,38 |
313,6 |
0,03 |
48,22 |
20,2 |
|
Сред знач |
62,72 |
0,018 |
1,11 |
0,000314 |
3964,076 |
|
|
9,644 |
4,04 |
|
σ |
5,5 |
0,0021 |
|
|
|
|
|
|
|
|
σ² |
30,28 |
0,00000424 |
|
|
|
|
|
|
|
1
σy²= n ∑( yi – y )²= 3964,076 - 62,72²=30,2776
σ²z= 0,000314 – 0,0176²=0,00000424
значения параметров регрессии а и b составили:
b= y·z - y · z =(1,11-62,72*0,0176)/0,00000424 = 1445,28
σ²z
а=y - b * z = 62,72-1445,28*0,0176=37,28, получено уравнение
ŷ=37,28+1445,28* z
ŷ1=37,28+1445,28*0,021=67,63
ŷ2=37,28=1445,28*0,017=61,85
ŷ3=37,28=1445,28*0,019=64,74
ŷ4=37,28=1445,28*0,015=58,95
ŷ5=37,28=1445,28*0,016=60,40
Индекс корреляции: ρxy=√ l-(∑(yi-ŷх) ² ∕ (∑(y-yср)²=√l-9,644/30,2776=0,8256
Связь тесная, но хуже чем в предыдущих моделях.
r²xy=(Pxy)²=(0,82)²=0,6816
А=4,04%, т.е остается на допустимом уровне.
P²xy n-m-l 0,6816 0,6561
Fфакт= l-P²xy * m = l- 0,6816 *3 = 0,3184 *3 =6,18
Т.к Fтабл.α=0,05=10,13 следовательно Fфакт< Fтабл отсюда следует, что гипотеза Но принимается. Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В заключении проанализируем полученные в курсовой работе результаты исследований и выберем рабочую модель.
Экономический анализ моделей, по результатам исследования получил следующие значения:
Коэффициент парной корреляции rxy= 0,79 у линейной модели;
Индекса корреляции Pxy =0,81 у степенной модели;
Индекса корреляции Pxy =0,80 у показательной модели;
Индекса корреляции Pxy =0,82 у модели равносторонней гиперболы.
Данные индексы показывают, что связь у(х) (среднесуточная производительность труда от стоимости основных производственных фондов) прямая, тесная, высокая.
С экономической точки зрения, все модели достаточно хороши, т.е у всех моделей при увеличении расходов на подготовку и освоение производства – производительность труда увеличивается. Это значит что на данных предприятиях есть резервы для расширения производства, резервы для введения новых технологий с целью увеличения прибыли.
Руководствуясь целью курсовой работы можно сделать вывод, что из всех рассмотренных моделей линейная модель лучше всех отражает экономический смысл. А теперь сравним регрессивные модели по средней ошибке аппроксимации А ,которая показывает, на сколько фактические значения отличаются от теоретических рассчитанных по уравнению регрессии т.е у и ŷx:
У линейной модели А1=4,7%;
У степенной модели А2=4,62%;
У показательной модели А3=4,77%;
У равносторонней гиперболы А4=4,04%.
Средняя ошибка аппроксимации А1, А2, А3, А4 находятся в допустимом пределе.
Вывод: чем меньше это отличие, тем ближе теоретические значения подходят к эмпирическим данным (лучшее качество модели). По расчетным данным моей работы показательная модель имеет лучшее качество. Сравнивая регрессивные модели по коэффициенту детерминации r²xy линейной, степенной. Показательной и равносторонней гиперболы видим, что статистические характеристики модели равносторонней гиперболы превосходят аналогичные характеристика других моделей, а именно : коэффициент детерминации у линейной модели равен 0,62; у степенной 0,6561; у показательной 0,64 и у равносторонней гиперболы 0,6816. Это означает, что факторы, вошедшие в модель равносторонней гиперболы. Объясняют изменение производительности труда на 68,16%, тогда как факторы, вошедшие в линейную модель на 62%, в показательную на 64% и в степенную на 65,61%, следовательно, значения, полученные с помощью коэффициента детерминации модели равносторонней гиперболы более близки к фактическим. На основании этого, модель равносторонней гиперболы выбирается за рабочую модель в данном примере.
Список используемой литературы:
1) А.М.Беренская – Курс лекций по теме «Математическое моделирование»
2) М.Ш.Кремер –«Исследование операций в эконометрике»
3) И.И.Елисеева - «Практикум по эконометрике»
4) И.И.Елисеева - «Эконометрика»
