Изучение некоторых вопросов термодинамики

                                                                          (2.14)

что непосредственно вытекает также из (2.10). Первый коэффициент четвертой строки легко можно найти с помощью выражений (2.9) и (2.13), или же используя свойство якобианов

                                                                        (2.15)

Из (2.7) с учетом (2.12) получим второй коэффициент

                                                                             (2.16)

Наконец, последний коэффициент можно получить из (2.5) с учетом выражений (2.15) , (2.16) и (2.2)

                                  (2.17)

Отметим, что, в дальнейшем, при рассмотрении тех или иных вопросов, будем получать общие дифференциальные соотношения, которые позволят, зная уравнения состояния системы, обобщить их для идеальных и реальных систем.








ВЫВОД УРАВНЕНИЯ АДИАБАТИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА ДЛЯ ИДЕАЛЬНОГО И РЕАЛЬНОГО ГАЗОВ.

Процесс, протекающий при постоянной энтропии называется адиабатическим или изоэнтропным

Отметим, что поскольку, то Таким образом, адиабатический процесс мы свели к изотермическому, который для идеального газа можно представить в виде: Учитывая, что для данного газа    ,  получим:

или после разделения переменных и интегрирования

откуда 

Уравнение адиабатического процесса для газа Ван-дер-Ваальса целесообразно найти из выражения

Для получения этого выражения было использовано известное в термодинамике соотношение, которое, также, легко получить с по­мощью якобианов

           (3.1)

где использовано соотношение (2.12). Принимая во внимание, что для адиабатического процесса, причём постоянную интегрирования, можно принять равной нулю, получим

или

которое для переменных P и V принимает вид:



ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ СКОРОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКА В СРЕДЕ.

Найдем выражение для вычисления скорости распространения звука в среде, являющееся адиабатическим процессом.

где r плотность среды, S -энтропия, являющаяся функцией пара­метров P, V и T состояния системы. Этой формулой удобно пользоваться при нахождении скорости звука в газообразной среде. В частности, скорость звука в воздухе, при нормальных условиях можно найти, применяя уравнение состояния идеального газа, для которого

После подстановки этого выражения в исходную формулу получим:

откуда

Подставляя в эту формулу численные значения g, р и r для скорости звука получим U»333 м/с.

Для определения скорости звука в жидких и твёрдых телах необходимо в выражение

подставить значения g, r и  из таблиц. Например, для воды U»1400 м/с. Здесь уместно отметить, что скорость звука в морской воде, согласно [5], зависит от температуры, солёнос­ти и гидростатического давления. Необходимо также подчеркнуть, что скорость звука – важная величина, во многом характеризующая физические свойства тел. Зная скорость звука, можно определить упругие постоянные твердых тел, их зависимость от температуры, сжимаемость, отношение теплоемкостей для жидкостей и твердых тел.



















СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СV ДЛЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА.

Теплоемкость газа при постоянном объёме определяется выражением Найдём связь между изменениями внутренней энергии системы и её температуры при постоянном значении р.

(5.1)

где учтены соотношения (3.1) и (2.2).

Найдём также связь между изменениями внутренней энергии системы и её температуры при адиабатическом процессе.

                                         (5.2)

где использовано соотношение, объединяющее первое и второе на­чала термодинамики и выражение (2.12).

Отвлекаясь от процессов, протекающих в системе, можно по­казать, что для идеального газа

Такое же заключение для,

но с помощью статистического метода сделано в [6]. Читателям представляем возможность дать удовлетворительное, с точки зрения законов термодинамики, объяснение равенства выражений (5.3).

Отметим, что для реального газа, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса после подстановки соответствующих частных производных, при замене давления его значением, найдём













ОБ ИЗМЕНЕНИЯХ ВНУТРЕННЕЙ ЭНЕРГИИ ПРИ ДРУГИХ ИЗОПРОЦЕССАХ.

Найдём связь между изменениями энтропии и внутренней энергии
при постоянных значениях других параметров системы.

 ,                             (6.1)

где использовано (5.1).

                        (6.2)

где применены формулы (3.1) и (2.8).

Из выражения (6.1) вытекает, что для идеального газа

                                                                                                                     (6.3)


 (6.3)


Сравнивая это значение с

                                                                                                                        (6.4)

придём к выводу, что при изохорическом и изобарическом процессах одинаковому изменению энтропии соответствует неодинаковое изме­нение внутренней энергии. Нетрудно также заметить, что для идеального газа, согласно (6.2), изменение энтропии, связанное или с изменением объёма, или же давления, не приводят к изменению внутренней энергии.

Найдём связь между изменениями давления и внутренней энергии системы при адиабатическом, изотермическом и изохорическом процессах.

                               (6.5)

            (6.6)

                                                                   (6.7)

В случае идеального газа формулы (6.5) и (6.7) дают


откуда                                                                                                (6.8)

Это соотношение показывает, что при изохорическом м адиабати­ческом процессах одинаковому изменению давления соответствуют неодинаковые изменения внутренней энергии. Читателям представ­ляем возможность самим выяснить физическую сущность различия этих величин. Мы только отметим, что при изохорическом про­цессе система не совершает работы, а изменение давления может происходить за счёт подводимого к системе или отводимого от системы количества теплоты. При адиабатическом же процессе изменение давления может быть обусловлено либо работой системы, против сил, за счет её внутренней энергии, либо же работой, со­вершенной над системой.

Найдём связь между изменениями объёма системы и её внут­ренней энергией при изобарическом процессе.

            (6.9)

где были учтены (6.1), (2.15) и (2.2).

Для идеального газа выражение (6.9) даёт

                                                                                    (6.10)

Сравним это значение с ранее полученным (3.1) и выражением

                                                                                                                        (6.11)

Для идеального газа, на основании (3.1),

            Из (6.10) и (6.11) следует:

откуда

                                                                                                         (6.12)

Объяснение причин различия значений этих величин должно быть подобно объяснению различия величин (6.8). Только в полученном выражении изменения объёма системы и её внутренней энергии при адиабатическом процессе имеют противоположные знаки, а при изобарическом – одинаковые.

















ВЫВОД НЕКОТОРЫХ ПОЛЕЗНЫХ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СООТНОШЕНИЙ.

1. Найдём разность теплоёмкостей СР  и СV.


откуда


                                                                                    (7.1)

Отметим, что поскольку соответствующие частные производные в выражении (7.1) имеют положительные знаки, то при температурах выше абсолютного нуля СР>CV, а при температурах, близких к абсолютному нулю

поэтому СР = СV , и так как при тех же температурах

то СР =СV=0.

2. Найдём связь между изменениями давления и энтропии при постоянном значении внутренней энергии системы

                   (7.2)

где использованы соотношения (2.7), (2.12), (2.17) и значения соответствующих частных производных от внутренней энергии. Нетрудно заметить, что для газов, при постоянном значении внут­ренней энергии, увеличение давления сопровождается уменьшением энтропии. Это и понятно, так как энтропия связана с вероятностью, а при увеличении давления уменьшается вероятность состояния системы.

3. Найдём связь между изменениями отдельных параметров сис­темы при постоянном значении внутренней энергии.

   (7.3)

В случае идеального газа имеем:

                                                                                                                     (7.4)

Этого и следовало ожидать, поскольку внутренняя энергия идеаль­ного газа зависит от температуры. Поэтому условию U=const соответствует T=const. Для реальных газов условие (7.4) не вы­полняется.

     (7.5)


Гч   /-• ^ .6


                    (7.6)

      (7.7)

Нетрудно убедиться, что для идеального газа

                                                                      (7.8)

Страницы: 1, 2, 3



Реклама
В соцсетях
рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать