(2.14)
что непосредственно вытекает также из (2.10). Первый коэффициент четвертой строки легко можно найти с помощью выражений (2.9) и (2.13), или же используя свойство якобианов
(2.15)
Из (2.7) с учетом (2.12) получим второй коэффициент
(2.16)
Наконец, последний коэффициент можно получить из (2.5) с учетом выражений (2.15) , (2.16) и (2.2)
(2.17)
Отметим, что, в дальнейшем, при рассмотрении тех или иных вопросов, будем получать общие дифференциальные соотношения, которые позволят, зная уравнения состояния системы, обобщить их для идеальных и реальных систем.
ВЫВОД УРАВНЕНИЯ АДИАБАТИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА ДЛЯ ИДЕАЛЬНОГО И РЕАЛЬНОГО ГАЗОВ.
Процесс, протекающий при постоянной энтропии называется адиабатическим или изоэнтропным
Отметим, что поскольку, то Таким образом, адиабатический процесс мы свели к изотермическому, который для идеального газа можно представить в виде: Учитывая, что для данного газа , получим:
или после разделения переменных и интегрирования
;
откуда
Уравнение адиабатического процесса для газа Ван-дер-Ваальса целесообразно найти из выражения
Для получения этого выражения было использовано известное в термодинамике соотношение, которое, также, легко получить с помощью якобианов
(3.1)
где использовано соотношение (2.12). Принимая во внимание, что для адиабатического процесса, причём постоянную интегрирования, можно принять равной нулю, получим
или
которое для переменных P и V принимает вид:
ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ СКОРОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКА В СРЕДЕ.
Найдем выражение для вычисления скорости распространения звука в среде, являющееся адиабатическим процессом.
где r – плотность среды, S -энтропия, являющаяся функцией параметров P, V и T состояния системы. Этой формулой удобно пользоваться при нахождении скорости звука в газообразной среде. В частности, скорость звука в воздухе, при нормальных условиях можно найти, применяя уравнение состояния идеального газа, для которого
После подстановки этого выражения в исходную формулу получим:
откуда
Подставляя в эту формулу численные значения g, р и r для скорости звука получим U»333 м/с.
Для определения скорости звука в жидких и твёрдых телах необходимо в выражение
подставить значения g, r и из таблиц. Например, для воды U»1400 м/с. Здесь уместно отметить, что скорость звука в морской воде, согласно [5], зависит от температуры, солёности и гидростатического давления. Необходимо также подчеркнуть, что скорость звука – важная величина, во многом характеризующая физические свойства тел. Зная скорость звука, можно определить упругие постоянные твердых тел, их зависимость от температуры, сжимаемость, отношение теплоемкостей для жидкостей и твердых тел.
СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СV ДЛЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА.
Теплоемкость газа при постоянном объёме определяется выражением Найдём связь между изменениями внутренней энергии системы и её температуры при постоянном значении р.
(5.1)
где учтены соотношения (3.1) и (2.2).
Найдём также связь между изменениями внутренней энергии системы и её температуры при адиабатическом процессе.
(5.2)
где использовано соотношение, объединяющее первое и второе начала термодинамики и выражение (2.12).
Отвлекаясь от процессов, протекающих в системе, можно показать, что для идеального газа
Такое же заключение для,
но с помощью статистического метода сделано в [6]. Читателям представляем возможность дать удовлетворительное, с точки зрения законов термодинамики, объяснение равенства выражений (5.3).
Отметим, что для реального газа, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса после подстановки соответствующих частных производных, при замене давления его значением, найдём
ОБ ИЗМЕНЕНИЯХ ВНУТРЕННЕЙ ЭНЕРГИИ ПРИ ДРУГИХ ИЗОПРОЦЕССАХ.
Найдём связь между изменениями энтропии и
внутренней энергии
при постоянных значениях других параметров системы.
, (6.1)
где использовано (5.1).
(6.2)
где применены формулы (3.1) и (2.8).
Из выражения (6.1) вытекает, что для идеального газа
(6.3)
|
(6.3) |
Сравнивая это значение с
(6.4)
придём к выводу, что при изохорическом и изобарическом процессах одинаковому изменению энтропии соответствует неодинаковое изменение внутренней энергии. Нетрудно также заметить, что для идеального газа, согласно (6.2), изменение энтропии, связанное или с изменением объёма, или же давления, не приводят к изменению внутренней энергии.
Найдём связь между изменениями давления и внутренней энергии системы при адиабатическом, изотермическом и изохорическом процессах.
(6.5)
(6.6)
(6.7)
В случае идеального газа формулы (6.5) и (6.7) дают
откуда (6.8)
Это соотношение показывает, что при изохорическом м адиабатическом процессах одинаковому изменению давления соответствуют неодинаковые изменения внутренней энергии. Читателям представляем возможность самим выяснить физическую сущность различия этих величин. Мы только отметим, что при изохорическом процессе система не совершает работы, а изменение давления может происходить за счёт подводимого к системе или отводимого от системы количества теплоты. При адиабатическом же процессе изменение давления может быть обусловлено либо работой системы, против сил, за счет её внутренней энергии, либо же работой, совершенной над системой.
Найдём связь между изменениями объёма системы и её внутренней энергией при изобарическом процессе.
(6.9)
где были учтены (6.1), (2.15) и (2.2).
Для идеального газа выражение (6.9) даёт
(6.10)
Сравним это значение с ранее полученным (3.1) и выражением
(6.11)
Для идеального газа, на основании (3.1),
Из (6.10) и (6.11) следует:
откуда
(6.12)
Объяснение причин различия значений этих величин должно быть подобно объяснению различия величин (6.8). Только в полученном выражении изменения объёма системы и её внутренней энергии при адиабатическом процессе имеют противоположные знаки, а при изобарическом – одинаковые.
ВЫВОД НЕКОТОРЫХ ПОЛЕЗНЫХ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СООТНОШЕНИЙ.
1. Найдём разность теплоёмкостей СР и СV.
откуда
(7.1)
Отметим, что поскольку соответствующие частные производные в выражении (7.1) имеют положительные знаки, то при температурах выше абсолютного нуля СР>CV, а при температурах, близких к абсолютному нулю
поэтому СР = СV , и так как при тех же температурах
то СР =СV=0.
2. Найдём связь между изменениями давления и энтропии при постоянном значении внутренней энергии системы
(7.2)
где использованы соотношения (2.7), (2.12), (2.17) и значения соответствующих частных производных от внутренней энергии. Нетрудно заметить, что для газов, при постоянном значении внутренней энергии, увеличение давления сопровождается уменьшением энтропии. Это и понятно, так как энтропия связана с вероятностью, а при увеличении давления уменьшается вероятность состояния системы.
3. Найдём связь между изменениями отдельных параметров системы при постоянном значении внутренней энергии.
(7.3)
В случае идеального газа имеем:
(7.4)
Этого и следовало ожидать, поскольку внутренняя энергия идеального газа зависит от температуры. Поэтому условию U=const соответствует T=const. Для реальных газов условие (7.4) не выполняется.
(7.5)
|
Гч /-• ^ .6 |
(7.6)
(7.7)
Нетрудно убедиться, что для идеального газа
(7.8)
