Закон сохранения энергии.
Первоначально в механике были введены кинетическая энергия (обусловленная движением тела) и потенциальная (обусловленная взаимодействиями между телами и зависящая от их расположения в пространстве). Конкретное математическое выражение для потенциальной энергии определяется взаимодействиями между объектами. В большинстве механических систем механическая энергия (сумма кинетической и потенциальной) сохраняется во времени (например в случае мяча, упруго ударяющегося о пол). Однако нередки и такие системы, в которых механическая энергия изменяется (чаще всего убывает). Для описания этого были введены диссипативные силы (например силы вязкого и сухого трения и др.). Со временем выяснилось, что диссипативные силы описывают не исчезновение или возникновение механической энергии, а переходы ее в другие формы (тепловую, электромагнитную, энергию связи и т.д.). История развития естествознания знает несколько примеров того, как кажущееся нарушение закона сохранения энергии стимулировало поиск ранее неизвестных каналов ее преобразования, что в результате приводило к открытию ее новых форм (так, например, "безвозвратная" потеря энергии в некоторых реакциях с участием элементарных частиц послужила указанием на существование еще одной неизвестной ранее элементарной частицы, впоследствии получившей название нейтрино).
Закон сохранения энергии имеет большое практическое значение, поскольку существенно ограничивает число возможных каналов эволюции системы без ее детального анализа. Так на основании этого закона оказывается возможным априорно отвергнуть любой весьма проект весьма экономически привлекательного вечного двигателя первого рода (устройства, способного совершать работу, превосходящую необходимые для его функционирования затраты энергии).
В основе закона сохранения энергии лежит однородность времени, т.е. равнозначность всех моментов времени, заключающаяся в том, что замена момента времени t1 моментом времени t2 без изменения значений координат и скоростей тел не изменяет механических свойств системы. Поведение системы, начиная с момента t2, будет таким же, каким оно было бы, начиная с момента t1.
Закон сохранения энергии имеет всеобщий характер. Он применим ко всем без исключения процессам, происходящим в природе. Полное количество энергии в изолированной системе тел и полей всегда остается постоянным; энергия лишь может переходить из одной формы в другую. Этот факт является проявлением неуничтожаемости материи и ее движения.
Причиной изменения скорости тела всегда является его взаимодействие с другими телами. При взаимодействии двух тел всегда изменяются скорости, т.е. приобретаются ускорения. Отношение ускорений двух тел одинаково при любых взаимодействиях. Свойство тела, от которого зависит его ускорение при взаимодействии с другими телами, называется инертностью. Количественной мерой инертности является масса тела. Отношение масс взаимодействующих тел равно обратному отношению модулей ускорений. Второй закон Ньютона устанавливает связь между кинематической характеристикой движения – ускорением, и динамическими характеристиками взаимодействия – силами. , или, в более точном виде, , т.е. скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на него силе. При одновременном действии на одно тело нескольких сил тело движется с ускорением, являющимся векторной суммой ускорений, которые возникли бы при воздействии каждой из этих сил в отдельности. Действующие на тело силы, приложенные к одной точке, складываются по правилу сложения векторов. Это положение называют принципом независимости действия сил. Центром масс называется такая точка твердого тела или системы твердых тел, которая движется так же, как и материальная точка массой, равной сумме масс всей системы в целом, на которую действуют та же результирующая сила, что и на тело. . Проинтегрировав это выражение по времени, можно получить выражения для координат центра масс. Центр тяжести – точка приложения равнодействующей всех сил тяжести, действующих на частицы этого тела при любом положении в пространстве. Если линейные размеры тела малы по сравнению с размером Земли, то центр масс совпадает с центром тяжести. Сумма моментов всех сил элементарных тяжести относительно любой оси, проходящей через центр тяжести, равна нулю.
Потенциальная энергия характеризует взаимодействующие тела, кинетическая – движущиеся. И та, и другая возникают в результате взаимодействия тел. Если несколько тел взаимодействую между собой только силами тяготения и силами упругости, и никакие внешние силы на них не действуют (или же их равнодействующая равна нулю), то при любых взаимодействиях тел работа сил упругости или сил тяготения равна изменению потенциальной энергии, взятой с противоположным знаком. В то же время, по теореме о кинетической энергии (изменение кинетической энергии тела равно работе внешних сил) работа тех же сил равна изменению кинетической энергии. . Из этого равенства следует, что сумма кинетической и потенциальной энергий тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой силами тяготения и упругости, остается постоянной. Сумма кинетической и потенциальной энергий тел называется полной механической энергией. Полная механическая энергия замкнутой системы тел, взаимодействующих между собой силами тяготения и упругости, остается неизменной. Работа сил тяготения и упругости равна, с одной стороны, увеличению кинетической энергии, а с другой – уменьшению потенциальной, то есть работа равна энергии, превратившейся из одного вида в другой.
Гидростатика. Равновесие жидкостей и газов.
Гидростатика – наиболее простой раздел гидроаэромеханики, который исследует ситуации, когда движение отсутствует или скорость пренебрежимо мала. Гидростатика позволяет понять некоторые свойства такой важной гидродинамической величины, как давление. Давление на опору оказывают и твёрдые, и сыпучие вещества, но оно отличается от гидростатического. Давление твёрдого тела определяется его весом, давление жидкости – её глубиной. Сила давления р на дно сосуда не зависит от его формы, а определяется только уровнем налитой в сосуд жидкости в соответствии с гидростатической формулой:
p = ро + рgh
где р – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения, h – глубина погружения, ро – атмосферное давление.
Сыпучие тела, подобно жидкости и газу, могут оказывать давление на боковую поверхность, но для такого давления не выполняется закон Паскаля, утверждающий, что давление в любом месте покоящейся жидкости ил газа по всем направлениям одинаково, причём давление одинаково передаётся по всему объёму жидкости или газа. В законе Паскаля вес жидкости или газа не учитывается.
К основным законам гидростатики, помимо закона Паскаля и гидростатической формулы, можно отнести закон Архимеда: на погружённое в жидкость или газ тело действует выталкивающая сила, равная по величине весу вытесненной жидкости (или газа), направленная против силы тяготения и приложенная к центру тяжести вытесненного объёма.
Закон Архимеда и гидростатическую формулу можно вывести, используя стандартный для механики приём, иногда называемый правилом РОЗУ. РОЗУ это сокращёние до начальных букв алгоритма – РАЗРЕЖЕМ, ОТБРОСИМ, ЗАМЕНИМ, УРАВНОВЕСИМ. Например, с помощью алгоритма РОЗУ, закон Архимеда выводится так:
Если погружённое в жидкость тело заменить такой же жидкостью, то получиться состояние равновесия – на поверхность тела действует сила давления жидкости, которая уравновешивает вес жидкости внутри поверхности.
Движение жидкостей и газов.
Движение жидкостей и газов, как и все другие виды движения, рассматриваемые в механике, можно полностью охарактеризовать, оперируя единицами измерения длины, времени и силы. Так, диаметр парашюта можно измерять в метрах, время снижения, скажем, на 100 метров – в секундах, а вес груза – в ньютонах. Точно так же входное сечение насоса можно измерять в квадратных метрах, объемный расход среды – в кубических метрах в секунду, а мощность – в ньютон-метрах (джоулях) в секунду. Существует много способов измерения таких характеристик течения с использованием различных – механических и электрических – эквивалентов линейки, часов и пружинных весов. Например, скорость жидкостей и газов можно оценивать по числу оборотов в единицу времени проградуированной крыльчатки (гидрометрическая вертушка и анемометр) или по изменению электросопротивления нагреваемой проходящим током проволоки (проволочный термоанемометр); давление можно определять по вызываемому им отклонению изогнутой трубки или мембраны (манометр Бурдона и барометр-анероид) либо по току, генерируемому пьезокристаллом.
Прогнозирование характеристик течения.
Если бы такие измерения движения жидкостей и газов были единственным занятием гидроаэромеханики, это была бы дисциплина довольно узкого профиля. Гораздо более важное значение, чем измерение, имеет точное прогнозирование характеристик течения при заранее известных или предполагаемых условиях. Очевидно, что недостаточно уметь просто измерить пропускную способность построенного водослива, – нужно сначала надежно спроектировать водослив, рассчитанный на максимально возможный поток; точно так же измерить лагом скорость судна в плавании проще, чем заранее указать мощность двигателей, которые потребуются новому судну для поддержания заданной крейсерской скорости; напечатать в газете скорость ветра и атмосферное давление, измеренные вчера, гораздо легче, чем предсказать погодные условия на завтрашний день. Короче говоря, истинный предмет гидроаэромеханики – установление соотношений между различными характеристиками течения, позволяющих определить любую из них, коль скоро заданы другие характеристики, от которых она зависит.
Уравнение неразрывности.
Хотя гидроаэродинамика основана на трёх хорошо известных в механике законах сохранения массы, импульса и энергии, формулировки этих законов в ней выглядят сложнее. Например, обычное определение закона сохранения массы гласит, что масса системы тел остаётся неизменной. Для жидкости, текущей в трубе, этот закон используется в форме, называемой уравнением неразрывности. Уравнение неразрывности - соотношение между скоростью течения, объемным расходом среды и расстоянием между линиями тока. Это уравнение выражает один из основных законов гидроаэромеханики, согласно которому объемный расход во всякой трубке тока, ограниченной соседними линиями тока, должен быть в любой момент времени одинаков во всех ее поперечных сечениях. Поскольку объемный расход Q равен произведению скорости текущей среды V на площадь A поперечного сечения трубки тока, уравнение неразрывности имеет следующий вид:
