124953,04
3000
154281,66
4000
179177,07
5000
201222,08
6000
221232,99
7000
239696,79
8000
256931,9
9000
273160,15
10000
288543,46
11000
303204,36
12000
317238,21
13000
330721,01
14000
343714,47
15000
356269,54
16000
368428,85
17000
380228,51
18000
391699,43
19000
402868,32
20000
413758,41
По значению Y0 находим графическим путем величину L0. Графическое значение L0 = 3775,08. Сравнивая его со значением L0, полученным аналитически, делаем вывод, что они совпадают.
ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ
2.1. Постановка задачи
В данной работе необходимо определить в простой кейнсианской модели формирования доходов параметры уравнения функции потребления. Исходная система уравнений имеет вид:
Ct = a + b*Yt + ut ; (2.1)
Yt = Ct + It, (2.2)
где t – индекс, указывающий на то, что уравнения (2.1), (2.2) являются системой одновременных уравнений для моментов времени t1-tn;
ut – случайная составляющая;
Ct, Yt – функции потребления и дохода, соответственно являющиеся эндогенными переменными;
It – экзогенно заданная функция, отражающая инвестиционный спрос.
Переменные Ct и Yt являются эндогенными. Эндогенной считается та переменная, значение которой определяется внутри уравнения регрессии, внутри модели. В качестве экзогенной переменной в данной задаче выступают инвестиции It. Экзогенной является та переменная, значение которой определяется вне уравнения регрессии, вне модели и поэтому берется как заданная.
Параметры уравнения регрессии необходимо определить двумя способами:
· косвенным методом наименьших квадратов;
· прямым методом наименьших квадратов.
2.2. Определение параметров уравнения регрессии с
использованием КМНК
Исходные значения величин Ct и It представлены в таблице 5:
Таблица 5
|
t |
Ct |
It |
|
1 |
220063 |
85000 |
|
2 |
231828 |
78115 |
|
3 |
207359 |
71230 |
|
4 |
218337 |
64345 |
|
5 |
207851 |
57460 |
|
6 |
202994 |
50575 |
|
7 |
195524 |
43690 |
|
8 |
203944 |
36805 |
|
9 |
201672 |
29920 |
|
10 |
186648 |
23035 |
|
11 |
187864 |
16150 |
|
12 |
185659 |
9265 |
|
13 |
193932 |
2380 |
|
14 |
187232 |
85 |
Методом наименьших квадратов (МНК) из уравнения (2.1) найти параметры a и b невозможно, так как оценки будут смещёнными. В связи с этим необходимо использовать косвенный метод наименьших квадратов (КМНК).
Для этого эндогенные переменные Ct, Yt выражаем через экзогенную переменную It. С этой целью подставляем выражение (2.1) в (2.2):
Yt = a+b*Yt + ut +It, (2.3)
отсюда получаем:
(2.4)
Подставляем выражение (2.4) в уравнение (2.1) и получаем:
(2.5)
Данное уравнение не содержит в правой части эндогенных переменных, а имеет только экзогенную переменную в виде It (инвестиций). Экзогенная переменная не коррелирует со случайной составляющей ut и, следовательно, параметры этого уравнения могут быть найдены с помощью МНК.
Представим это уравнение в следующем виде:
(2.6)
где
(2.7)
Используя имеющиеся в таблице 5 данные о величинах Ct и It, находим с помощью МНК несмещенные оценки a* и b* из уравнения:
Ct = a1+b1It , (2.8)
где a1 - несмещенная оценка a*;
b1- несмещенная оценка b*.
Для этих целей применяем имеющийся в табличном редакторе Excel пакет прикладных программ, реализующий определение параметров уравнения регрессии методом наименьших квадратов. Активизация этого метода производится командами: «Сервис» – «Анализ данных» – «Регрессия».
a1
b1
184280,63
0,44
После определения значений a1 и b1 необходимо определить несмещенные оценки величин a и b, использовав соотношения:
, (2.9)
где a", b" – соответственно несмещенные оценки a, b.
Сами значения величин a", b" определяем по формулам:
(2.10)
a"
b"
127811,09
0,31
Использовав найденные значения a" и b", записываем уравнение функции потребления (2.1):
C(t)= 127811,09 + 0,31*Yt+ut.
Сравниваем найденные по формуле (2.10) значения a" и b" с величинами a и b, заданными в таблице 1 (aтабл. = 127500, bтабл. = 0,31) и рассчитываем проценты несовпадения данных величин по формулам:
(2.11)
,
.
2.3. Определение параметров уравнения регрессии с использованием МНК
Для определения параметров уравнения регрессии с помощью прямого МНК, необходимо определить по формуле (2.2)значения величин Yt (для t в пределах от t1 до t14), используя значения Ct и It из таблицы 5. Полученные значения заносим в таблицу 6.
Таблица 6
t
Yt
1
305063
2
309943
3
278589
4
282682
5
265311
6
253569
7
239214
8
240749
9
231592
10
209683
11
204014
12
194924
13
196312
14
187317
Приняв в качестве исходных данных имеющиеся значения Ct и Yt, определяем с помощью МНК смещённые оценки aсм и bсм величин a и b, используя уравнение (2.1). Для этого используем имеющийся в табличном редакторе Excel пакет прикладных программ, реализующий определение параметров уравнения регрессии методом наименьших квадратов. Активация этого метода осуществляется командами: «Сервис» - «Анализ данных» - «Регрессия».
В рассматриваемой задаче:
aсм
bсм
123638,32
0,32
Далее сравниваем полученные значения aсм и bсм с табличными значениями a и b, и находим проценты несовпадения данных величин по формулам:
(2.12)
,
.
2.4. Экономический анализ полученных результатов
Сравнивая значения процентов несовпадения параметров модели, полученных в случае определения уравнения регрессии с помощью КМНК (для a – 0,24%, для b –1,15%) и с помощью МНК (для a –3,03%, для b –4,39%), видно, что в первом случае проценты несовпадения значительно меньше, чем во втором. Это говорит о том, что при использовании КМНК полученное уравнение регрессии более точное, чем уравнение регрессии, полученное с помощью МНК.
Оценка достоверности зависимости Ct от a и b производится по величине R2 (коэффициент множественной детерминации). Полученное в первом случае значение R2 = 0,79 меньше значения R2 = 0,90, полученного во втором случае. Но оба эти значения близки к единице и подтверждают достоверность наличия зависимости. Во втором случае достоверность зависимости выше.
Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза Но, что коэффициент регрессии b равен нулю. В данной задаче значимость F при нахождении уравнения регрессии методом КМНК равна 2,33E-05, а при нахождении уравнения регрессии методом МНК она равна 2,35E-07. Оба значения близки к нулю, т.е. такова вероятность принятия нулевой гипотезы. Следовательно, в обоих случаях нулевую гипотезу можно отвергнуть, особенно для уравнения регрессии, найденного с помощью МНК.
Оценка достоверности и статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии производится по t-критерию Стьюдента. В обоих случаях значение t - критерия Стьюдента превышает его табличное значение, что говорит о достоверности коэффициентов уравнений регрессий.
Заключение
В данной работе была рассмотрена кейнсианская модель в которой предполагается, что существует три вида активов: деньги, облигации, физический капитал.
Были произведены расчеты различных показателей, построение графиков и нахождение графических значений этих показателей и было произведено сравнение графических значений показателей с расчетными. В результате получили, что графические и расчетные показатели практически совпадают.
В данной работе было также произведено определение параметров уравнения регрессии двумя способами:
· косвенным методом наименьших квадратов;
· прямым методом наименьших квадратов.
Сравнивая полученные результаты, можно сделать вывод о том, что при определении параметров модели с помощью косвенного МНК полученное уравнение регрессии более точное, чем уравнение регрессии, полученное с помощью прямого МНК, и коэффициенты уравнения регрессии являются наиболее достоверными и статистически значимыми.
Список использованной литературы
1. Венецкий И.Г., Венецкая В.И. Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе.
2. Колемаев В.А. Математическая экономика: учебник для вузов. - М: ЮНИТИ, 1998. - 240 с.
3. Курицкий, Поиск оптимальных решений в EXCEL – М., 2000, 245 с.
4. Пучков В.Ф. Математические модели макроэкономики: учебное пособие. –Гатчина: Издательство ЛОИЭФ, 2005. – 157 с.
5. Экономико-математические методы и прикладные модели: Уч. пособие / В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
