Модель Стоуна
Модель Стоуна
Москва
2007
Содержание
Решение задачи Стоуна для случая двух товаров. 4
Минимизация расходов потребителя: обратная задача. 7
Решение задачи Стоуна для случая трех товаров. 9
Введение
Пусть U – функция полезности потребителя. Задачу потребительского выбора можно записать в виде
(*)
,
(Доход мы нормировали на единицу, не теряя общности). Набор товаров можно рассматривать в качестве минимальной корзины потребления. Для приобретения минимального набора необходимо, чтобы доход был больше стоимости этого набора, т.е.
(**)
Показатели степеней ai > 0 характеризуют относительную "ценность" соответствующих товаров для потребителя. Добавив к функции (*) бюджетные ограничения (**), получим задачу потребительского выбора, которую называют моделью Р. Стоуна.
Решение задачи Стоуна для случая двух товаров
Выведем оптимум потребителя при покупке им двух благ X и Y (при необходимости число благ можно расширить до сколь угодно большого количества). Тогда наша задача состоит в том, чтобы максимизировать функцию полезности потребителя от этих двух благ – U (X, Y). Однако наш потребитель ограничен своим доходом (бюджетом), который он тратит без остатка на приобретение этих благ. В результате бюджет потребителя можно представить как I = PXX + PYY.
Затем мы решаем задачу на условный локальный максимум (максимум с ограничением) методом множителей Лагранжа. Составляем следующее уравнение
L = U (X, Y) + l(I - PXX - PYY), (1)
где l - так называемый «множитель Лагранжа». Его экономический смысл станет нам ясен несколько позже. Первое условие максимума с ограничениями получается в результате нахождения частных производных первого порядка по X, Y и l из уравнения (1) и приравнивания их к нулю.[1] Получаем систему уравнений (2)
(2)
Последнее уравнение из (2) говорит нам о том, что доход (бюджет) потребителя расходуется на блага X и Y без остатка. Однако нас больше интересуют первые два уравнения из (3.А.2). Из них следует, что
(3)
Правые части в (3) есть ни что иное, как MUX и MUY, то есть предельные полезности благ X и Y . Отсюда получаем сформулированное в основном тексте главы 2 условие оптимума потребителя.
, (4)
где l может быть интерпретирована как предельная полезность денежной единицы. Ведь для любого блага n MUn/Pn может трактоваться как темп возрастания полезности по мере увеличения затрат денег на покупку этого блага.
Для того, чтобы найти точки оптимума (или, что тоже самое, спрос на блага X и Y), надо знать функцию полезности. Допустим, U = XY. Тогда по методу Лагранжа получаем
(5)
Решая систему уравнений (5) относительно X и Y получаем
,
Пусть, например, доход потребителя равен 100 д.е, PX = 2 д.е, PY = 5 д.е. Тогда X* = 25, Y* = 10. Если предположить, что PX стало равно 5 д.е., а PY снизилось до 4 д.е., то новые значения спроса на эти блага X* = 10, а Y* = 12,5.
Заметим, что в нашем случае функции спроса достаточно простые. Спрос зависят только от цены благ и дохода потребителя. В то же время они позволяют заметить, что
а) каждому значению цены блага и дохода отвечает одно значение спроса;
б) если все цены и доходы меняются в одной и той же пропорции, то спрос на блага не меняется.
Минимизация расходов потребителя: обратная задача
В предыдущем разделе математического приложения ставилась задача максимизировать полезность потребителя при ограниченном доходе. Теперь ставится обратная задача: как минимизировать расходы потребителя при постоянном значении функции полезности.
Эта проблема не является какой-то искусственно созданной математической задачей. Ей можно дать экономическое толкование. Представим данную кривую безразличия и соответствующее ей значение функции полезности как задающие определенный уровень жизни или уровень реального дохода потребителя. Тогда есть смысл спросить: каковы минимальные расходы, позволяющие достичь данный уровня жизни при некоторых фиксированных ценах? Такой подход также позволяет анализировать эффект ценовых изменений на эти расходы.
Теперь мы минимизируем I = PXX + PYY при ограничении U (X, Y) = , где - определенный фиксированный уровень полезности. Составляем уравнение Лагранжа для этого случая
L = ( PXX + PYY) - m [U (X, Y) - ]
Тогда имеем
(1)
Возьмем первые два уравнения из (1). Из них получаем
, (2)
где m - величина обратная предельной полезности денежной единицы, то есть равна 1/l. Если заменить в (2) m на 1/l и возвести уравнение в степень - 1, то получим знакомое нам условие оптимума потребителя, совпадающее с (4).
Решение задачи Стоуна для случая трех товаров
Пример 1
Пусть функция полезности имеет вид
Бюджетное ограничение
составим фунцию Лагранжа
Найдем частные производные
решение системы
Пример 2
Пусть функция полезности имеет вид
Бюджетное ограничение
составим функцию Лагранжа
Найдем частные производные
решение системы
Пример 3
Пусть функция полезности имеет вид
Бюджетное ограничение
составим функцию Лагранжа
Найдем частные производные
решение системы
Пример 4
Пусть функция полезности имеет вид
Бюджетное ограничение
составим функцию Лагранжа
Найдем частные производные
решение системы
Пример 5
Пусть функция полезности имеет вид
Бюджетное ограничение
составим фунцию Лагранжа
Найдем частные производные
решение системы
Литература
1. Экономика. Учебник / Под ред. А. С. Булатова. – М.: Юристъ, 2001.
2. Микроэкономика. Учебники МГУ им. М. В. Ломоносова / Под ред. А. В. Сидоровича. – М.: ДИС, 2002.
3. Экономическая теория (политэкономия). Учебник / Под ред. В. И. Видянина, Г. П. Журавлевой. – М.: РЭА, 2000.
4. Курс экономики. Учебник / Под ред.Б. А. Райзберга. – М.: ИНФРА-М, 2000.
5. Экономическая теория. Учебник / Под ред. В. Д. Камаева. – М.: Владос, 2001.
6. Экономическая теория. Учебник / Под ред. В. И. Видянина, А. И. Добрынина, Г. П. Журавлевой, Л. С. Тарасевича. – М.: ИНФРА-М, 2000.
7. Микроэкономика. Учебник / Под ред. Е. Строганова, И. Андреева. – М.: Питер, 2002.
[1] Условия второго порядка базируются на сложных математической технике и ничего дополнительно изучающему начальный курс экономики не дают.
