(9)
где , - валовая прибыль от налогов, по каждому товару.
Равновесие
Сформулируем общую концепцию равновесия для рассматриваемой модели. Равновесие в рассматриваемой квазилинейной экономике составляет набор:
Если:
(1.1) - вектор выпуска, который получается при решение задачи производителя, с ценами из вектора цен :
по ,
(1.2) - вектор спроса на товары со стороны потребителей. Получаем из решения максимизации функции благосостояния:
по для
При условиях:
Где , и , , ;
(1.3) - вектор цен получаемый из условий первого порядка из решения задачи потребителя:
, где
(1.4) - условие уравновешенности рынков. Спрос должен быть равен предложению:
При условиях
, , для i=n+1
Рассмотрим обратную функцию спроса, полученную в уравнении (6). Цена каждого товара зависит от полезности только этого товара. В силу квазилинейной функции полезности, функция спроса соответствующая этим предпочтениям характеризуется отсутствием эффекта дохода. Данная модель равновесия будет рассмотрена как модель частичного равновесия, то есть рассматривается равновесие на рынке одного товара в предположении, что цены всех остальных товаров остаются фиксированными.
Найдем равновесие. Оно представляет собой вектор выпусков товаров из множества S, получаемых из максимизации (8), и удовлетворяющих (2), (3), (4), (5), (9). При этом надо принять во внимание, что производятся только первые n-товаров, для i=1,…,n и для i=n+1…
Для дальнейшего рассмотрения нам понадобятся три предпосылки:
(1) Симметрия. Все продукты производятся при условии симметричности. Симметрия требует, чтобы , , , для всех , и для всех i и j, товаров производимых внутри экономики. Следовательно, симметричные товары производятся по одинаковым технологиям, имеют одинаковые цены, одинаковые издержки, одинаковые характеристики функций спроса, но в тоже время они не являются совершенными субститутами. Кривые безразличия будут симметричны относительно луча 45º исходящего из начала координат.
(2) Рассматриваемая выборка из n элементов настолько большая, что увеличение производимых товаров на 1 является незначительным. Уменьшение или увеличение выпуска одной фирмы в монополистической конкурентной отрасли, настолько мало по отношению к выпуску всей отрасли, что не влияет на q-предельную норму замещения между и V. Условия вхождения в отрасль можно записать как.
(3) Функция прибыли строго вогнута по для всех .
Производители-монополисты, находящиеся в равновесии производят в точке равенства предельного дохода предельным издержкам. Рассмотрим фирмы, действующие на рынке. Если какая либо фирма в отрасли получает положительную прибыль, то любой другой фирме выгодно производить аналогичный товар. В результате свободного входа в отрасль фирмы будут беспрепятственно входить на рынок до тех пор, пока прибыли будут положительны. Следовательно, отрасль будет заполняться новыми фирмами, пока прибыли фирм не станут, равны 0. В итоге все фирмы будут получать нулевую прибыль. Следовательно:
(10)
Запишем задачу производителя:
по (11)
где , подставим в уравнение (10):
по
Выпишем условия первого порядка:
, где (12)
Перепишем (12) в виде:
(12.1)
Описанное равновесие не является оптимальным. Рассмотрим уравнение (12.1), предположим что , тогда монополист производит товары при цене превышающий предельные издержки, и, следовательно, превышающей цену, которая бы сложилась в результате конкурентного рынка. Тогда, потребитель получает меньшее количество товара по большей цене, что ведет к уменьшению его потребительского излишка и уменьшению благосостояния. Для увеличения благосостояния общества необходимо регулирования со стороны государства. Элементом этого регулирования выступит .
Оптимальное распределение
В закрытой экономике с предпосылками (1)-(3) оптимум общественного благосостояния достигается, когда число фирм (обозначим число фирм выпускающих продукцию n) и выпускаемых ими товаров, выбрано таким образом, чтобы максимизировать функцию полезности потребителей при (2) и (4), подставим (2) и (4) в (3), проблема выбора оптимального и сведется к:
по (13)
Условия первого порядка:
(14)
(15)
Упростим выражение (14):
, где ; перепишем (14):
(16)
Упростим выражение (15):
, где ; перепишем (15):
(17)
Сравним условия первого порядка (16), (17) с уравнениями равновесия производителей (10) и (12).
=
=
Решения не совпадают, вследствие неэффективности рынка из-за наличия монополиста. Цена на произведенные товары зависит от редуцированной функции полезности, и объемов производимых товаров. Появляется необходимость внешнего регулирования со стороны государства, и инструментом для регулирования выступит . Государственное регулирование направленно на: первое- обеспечение производства оптимального объема товаров, второе- выбор оптимального количества фирм производителей, и соответственно товаров из множества S. Посчитаем размер налога, который обеспечит выпуск оптимального равновесного количества товаров. Для этого необходимо равенство оптимального для общества условия наличия количества фирм производителей (17) с условием выпуска для каждой фирмы (10):
(18)
Рассмотрим часть уравнения (18) подробнее см. уравнение (35):
(19)
Где CS – это потребительский излишек. Геометрически потребительский излишек равен площади фигуры лежащей под графиком функции спроса выше цены i-ого блага. Так как CS всегда величина не отрицательная, то (19) всегда больше единицы, при . Тогда перепишем (19) как:
(20)
не приводит внутреннюю экономику к первому наилучшему состоянию, потому что не гарантирует, что для заданного количества фирм производителей производятся оптимальные объемы товаров. Уравнение (18) получено из равенства условия оптимального количества фирм для общества с условием выпуска одной фирмы. При расчете во внимание принимается только количество местных производителей, но не объемы производимой продукции.
Глава 2. Модель открытой экономики. Импорт товаров.
Далее будет рассмотрена модель открытой экономики. Для этого в рассмотренную модель будет добавлен «импортирующий сектор». Который будет импортировать товары из множества S. В равновесии с торговлей внутри страны производятся i=1,…,n товары. Цены и количество этих товаров указаны в преведущем разделе. Другие товары из множества S: j=s,…,s+m импортируются. Цену импортируемых товаров обозначим , а количество импортируемого товара j обозначим. Предположения относительно симметричности и размеров рассматриваемой выборки сохраняются (см. предпосылки (1)-(2)). Добавим пару предпосылок для дальнейшего рассмотрения:
ü Экспорт из внутренней экономики не возможен
ü Экономика принимает мировые рыночные цены на товары как заданные
Перепишем уравнение (2) для открытой экономики:
(21)
где - общая сумма затрат в экономике на покупку импортных товаров.
Функция полезности претерпевает изменения, в результате появления на рынке импортных товаров:
(22)
где , (23)
Цена на импортные товары формируется из рыночной цены и торговой пошлины, устанавливаемой государством:
(24)
где это тариф, выраженный в пропорции от рыночной цены.
Если обозначит общий доход от тарифов , то бюджетное ограничение примет вид:
(25)
Найдем обратную функцию спроса открытой экономики, для этого решим задачу потребителей для открытой экономики при ограничении (25):
по ,
Выпишем лагранжиан:
по ,
Интерес представляет только максимизация лагранжиана по объемам выпуска:
По :
По :
По : получаем
, где
Получаем цены на товары для открытой экономики:
(26)
Теперь получив, полную модель открытой экономики сравним ее с моделью закрытой экономики. Но для этого сделаем следующее дополнение:
(2.1) В дополнение к уже рассмотренным предпосылкам (1)-(3), добавим: равновесие в закрытой и открытой экономике имеют одни общие свойства, редуцированная функция полезности - строго вогнутая, дважды дифференцируемая функция. Цены и количество производимых монополистически конкурентной отраслью товаров одинаково в обоих равновесиях, q-предельная норма замещения между V и x0 одинакова в каждом равновесии (оба равновесия лежат на одной кривой Энгеля).
Доказательство:
Зафиксируем предпосылки (1)-(3) и уравнения (10),(12) в равновесиях закрытой и открытой экономиках. Каждому i соответствует два уравнения одно для , второе для xi . Строгая вогнутость функции прибыли дает единственное решение pi и xi , таким образом, pi и xi одинаковы в каждом равновесии. Из уравнения (2.1) q- постоянна в каждом равновесии, значит, оба равновесия лежат на одной кривой Энгеля U.
Предпосылка (2.1) показывает, что в результате перехода экономики от закрытого типа к открытому изменяется только количество видов производимых товаров и количество фирм производителей. Это изменение получит название – «торговый эффект».
Цены на производимые товары и количество производимых товаров местными производителями не меняется. Количество фирм - производителей изменится, таким образом, чтобы сохранить q не изменой. Исследуем изменение в экономике при переходе от закрытого типа к открытому. Будем использовать оператор Δ для обозначения различий между равновесиями.
