Расчет симметричных автоколебаний нелинейной САР

 τгр=0.00115

Расчёт и построение кривых WЛЧ(jw) и ZНЭ(A) осуществляем с помощью ЭВМ. Построим с помощью ППП Mathcad 2001 кривые WЛЧ (jω) и ZНЭ (А) при различных значениях варьируемого параметра τ.

При τ< τгр графики Wлч(jw) и Zнэ(A) пересекаться не будут.  Решение уравнения (2) не существует, и автоколебания в нелинейной системе невозможны.


При τ= τгр=0.00115 Wлч(jw) и Zнэ(A) касаются друг друга в точке с координатой -0.05 на вещественной оси,  колебания  находятся на грани своего возникновения и исчезновения.

При τ=0.008

 

При τ=0.03

 

При τ=0.08

 При τ=0.135

 При τ=0.3

       При 0.444>τ>τгр рассматриваемые функции Wлч(jw) и Zнэ(A) имеют одну точку пересечения.

Анализ устойчивости этих решений в точках пересечения кривых WЛЧ(jw) и ZНЭ(A) осуществили по взаимному расположению этих кривых. Периодический режим устойчив, если двигаясь по характеристике  НЭ в сторону возрастания амплитуды А, переходим из неустойчивой области в устойчивую область D-разбиения, и наоборот. Проанализировав приведенные выше графики делаем вывод, что при А≥b и 0.444>τ>τгр периодический режим устойчив, а при a≤А≤b неустойчив.

Из полученных графиков найдем значения амплитуды А и частоты ω при различных значения параметра τ.

Ниже представлен расчет при  А≥b и τ = 0.00115:


Теперь представим расчеты при a ≤А≤b и τ = 0.3


Остальные значения, приведенные в таблицах 2 и 3, получены по аналогии:

Таблица 2.                                                                          Таблица 3.

τ

ω

А≥b

0.00025

-//-

-//-

0.00115

13.904

1.166

0.008

12.696

1.653

0.03

10.182

2.637

0.08

7.333

4.569

0.135

5.722

6.47

0.3

3.525

11.768

τ

ω

a ≤А≤b

0.00025

-//-

-//-

0.00115

13.904

1.11

0.008

12.696

0.83

0.03

10.182

0.579

0.08

7.333

0.451

0.135

5.722

0.408

0.3

3.525

0.364











2.1. Применение численных методов решения системы двух алгебраических уравнений.


Характеристика НЭ, входящего в заданную нелинейную систему, однозначна (q(A)), поэтому основное уравнение (1) метода гармонической линеаризации распадается на два уравнения:

{

 
 


          ,

    ;           (6)

      Найдем решение системы уравнений (6) при условии, что А≥b с помощью пакета прикладных программ MathCAD 2001.

                              

Теперь найдем решение системы уравнений (6) при условии, что a ≤А≤b



                               

Сведем полученные данные в таблицу 4.


Таблица 4.

τ

ω

А≥b

a ≤А≤b

0.00025

-//-

-//-

-//-

0.00115

13.904

1.165

1.12

0.008

12.696

1.64

0.836

0.03

10.182

2.634

0.579

0.08

7.333

4.56

0.451

0.135

5.722

6.485

0.407

0.3

3.525

11.77

0.364

Сравнив таблицу 4 с таблицами 2 и 3, можно сделать вывод, что погрешность между расчетами графо-аналитическим методом гармонического баланса и расчетами численным методом решения системы двух алгебраических уравнений не велика.


Построим зависимости параметров автоколебаний от варьируемого параметра.

Зависимость амплитуды и частоты от времени запаздывания при условии А≥b:




Зависимость амплитуды и частоты от времени запаздывания при условии a ≤А≤b:


Проанализировав зависимость частоты и амплитуды от параметра τ при А≥b не трудно заметить, что при увеличении транспортного запаздывания увеличивается амплитуда автоколебаний и вследствие чего уменьшается их частота.

При условии a ≤А≤b периодический режим неустойчив рассматривать зависимость амплитуды и частоты от параметра τ не имеет смысла.

3. Цифровое моделирование системы и получение временной диаграммы ее переходного процесса на ЭВМ.  Построение проекции фазовой траектории.

 

Моделирование осуществляем с помощью пакета программы MathLab 6.5.

рис.4 Моделирование в программе  Simulink


После задания параметров всех элементов схемы строим фазовые портреты и переходные характеристики.

Фазовые траектории и переходные характеристики при τ>τгр :

τ=0.03

рис.5 фазовая траектория при τ=0.03

Фазовая траектория имеет один устойчивый предельный цикл, что соответствует устойчивому режиму автоколебаний


рис. 6 переходная характеристика при τ=0.03


Из графика рассчитаем значение А=2.6; w=2π/Т  w=2·3.14/0.65=9.66

При  переходной процесс имеет колебательный характер, при этом устанавливаются автоколебания



τ=0.3

рис.7 фазовая траектория при τ=0.3


Фазовая траектория имеет один устойчивый предельный цикл, что соответствует устойчивому режиму автоколебаний


рис. 8 переходная характеристика при τ=0.3


Из графика рассчитаем значение А=12; w=2π/Т  w=2·3.14/1.8=3.48

При  переходной процесс имеет колебательный характер, при этом устанавливаются автоколебания.


Сравним расчетные значения и значения полученные в результате моделирования:


τ

А расчетнае

А модел.

w расчетнае

w модел.

0.003

2.637

2.6

10.182

9.66

0.3

11.768

12

3.525

3.48


Фазовая траектория при  <

τ=0.00025

рис.9 фазовая траектория при τ=0.00025

  Проекция фазовой траектории на фазовую плоскость Х1 имеет сходящийся характер, что говорит об отсутствии автоколебаний

рис. 10 переходная характеристика при τ=0.00025


При  переходной процесс имеет колебательный затухающий характер.



4. Выводы по работе


В работе проведено исследование следящей системы отработки угловых перемещений с местной обратной связью по скорости двигателя. Определен диапазон варьирования параметра 0≤τ≤0.444 и рассчитано значение τгр=0.00115 (при τ = τгр колебания в системе находятся на грани своего возникновения и исчезновения).

Показано, что при значении 0.444>τ>τгр и условии А≥b в системе наблюдается устойчивый периодический режим с определённой амплитудой и частотой. При условии при a ≤А≤b периодический режим неустойчив.

 Параметры автоколебаний были найдены вначале приближённым графоаналитическим методом, исходя из точек пересечения годографов WЛЧ(jw) и ZНЭ(A). В следующем пункте эти параметры были уточнены с помощью численного расчёта. Расхождение в числовых выражениях оказалось небольшим (см. таблицы 2,3 и 4).

При τ<τгр наблюдается сходящийся процесс, любое воздействие на систему приводит к затухающим колебаниям, т.е. автоколебания не возможны при любых начальных условиях.

При математическом моделировании системы на ЭВМ были получены переходные характеристики и фазовые траектории системы при разных значениях варьируемого параметра. Эти характеристики дают наглядное представление о качестве регулирования. При этом были также найдены приближенные значения амплитуды и частоты при τ=0.03 и τ=0.3.

Небольшие расхождения между искомыми значениями при использовании графоаналитического метода и цифрового моделирования это объясняется возникновением погрешности в расчетах (погрешность метода, погрешность ЭВМ) а также погрешность построения. При аналитическом расчете использовались итерационные методы решения, которые не гарантируют точного результата за конечное число операций (итераций), т.е. здесь особенно выражена погрешность метода, также есть и погрешность ЭВМ.

Изучив зависимость частоты и амплитуды от параметра τ при А≥b не трудно заметить, что при увеличении транспортного запаздывания (в данной работе мы рассматривали 0.444>τ>τгр) увеличивается амплитуда автоколебаний и вследствие чего уменьшается их частота.

Список литературы.


1.                 Методические указания к курсовой работе по дисциплине «Теория автоматического управления» – Савин М.М., Пятина О.Н., Елсуков В.С. - НГТУ Новочеркасск 1994 г.

2.                 Теория автоматического управления: Учеб. для ВУЗов: в 2 ч. /Под ред.

      А.В. Нетушила. М.:Высш.шк., 1983. Ч.2.432 с.

3.                 Теория автоматического управления» – Савин М.М., Елсуков В.С., Пятина О.Н.,. - Новочеркасск 2005 г.



Страницы: 1, 2



Реклама
В соцсетях
рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать рефераты скачать