τгр=0.00115
Расчёт и построение кривых WЛЧ(jw) и ZНЭ(A) осуществляем с помощью ЭВМ. Построим с помощью ППП Mathcad 2001 кривые WЛЧ (jω) и ZНЭ (А) при различных значениях варьируемого параметра τ.
При τ< τгр графики Wлч(jw) и Zнэ(A) пересекаться не будут. Решение уравнения (2) не существует, и автоколебания в нелинейной системе невозможны.
При τ= τгр=0.00115 Wлч(jw) и Zнэ(A) касаются друг друга в точке с координатой -0.05 на вещественной оси, колебания находятся на грани своего возникновения и исчезновения.
При τ=0.008
При τ=0.03
При τ=0.08
При τ=0.135
При τ=0.3
При 0.444>τ>τгр рассматриваемые функции Wлч(jw) и Zнэ(A) имеют одну точку пересечения.
Анализ устойчивости этих решений в точках пересечения кривых WЛЧ(jw) и ZНЭ(A) осуществили по взаимному расположению этих кривых. Периодический режим устойчив, если двигаясь по характеристике НЭ в сторону возрастания амплитуды А, переходим из неустойчивой области в устойчивую область D-разбиения, и наоборот. Проанализировав приведенные выше графики делаем вывод, что при А≥b и 0.444>τ>τгр периодический режим устойчив, а при a≤А≤b неустойчив.
Из полученных графиков найдем значения амплитуды А и частоты ω при различных значения параметра τ.
Ниже представлен расчет при А≥b и τ = 0.00115:
Теперь представим расчеты при a ≤А≤b и τ = 0.3
Остальные значения, приведенные в таблицах 2 и 3, получены по аналогии:
Таблица 2. Таблица 3.
|
τ |
ω |
А≥b |
|
0.00025 |
-//- |
-//- |
|
0.00115 |
13.904 |
1.166 |
|
0.008 |
12.696 |
1.653 |
|
0.03 |
10.182 |
2.637 |
|
0.08 |
7.333 |
4.569 |
|
0.135 |
5.722 |
6.47 |
|
0.3 |
3.525 |
11.768 |
|
τ |
ω |
a ≤А≤b |
|
0.00025 |
-//- |
-//- |
|
0.00115 |
13.904 |
1.11 |
|
0.008 |
12.696 |
0.83 |
|
0.03 |
10.182 |
0.579 |
|
0.08 |
7.333 |
0.451 |
|
0.135 |
5.722 |
0.408 |
|
0.3 |
3.525 |
0.364 |
2.1. Применение численных методов решения системы двух алгебраических уравнений.
Характеристика НЭ, входящего в заданную нелинейную систему, однозначна (q(A)), поэтому основное уравнение (1) метода гармонической линеаризации распадается на два уравнения:
|
,
; (6)
Найдем решение системы уравнений (6) при условии, что А≥b с помощью пакета прикладных программ MathCAD 2001.
Теперь найдем решение системы уравнений (6) при условии, что a ≤А≤b
Сведем полученные данные в таблицу 4.
Таблица 4.
|
τ |
ω |
А≥b |
a ≤А≤b |
|
0.00025 |
-//- |
-//- |
-//- |
|
0.00115 |
13.904 |
1.165 |
1.12 |
|
0.008 |
12.696 |
1.64 |
0.836 |
|
0.03 |
10.182 |
2.634 |
0.579 |
|
0.08 |
7.333 |
4.56 |
0.451 |
|
0.135 |
5.722 |
6.485 |
0.407 |
|
0.3 |
3.525 |
11.77 |
0.364 |
Сравнив таблицу 4 с таблицами 2 и 3, можно сделать вывод, что погрешность между расчетами графо-аналитическим методом гармонического баланса и расчетами численным методом решения системы двух алгебраических уравнений не велика.
Построим зависимости параметров автоколебаний от варьируемого параметра.
Зависимость амплитуды и частоты от времени запаздывания при условии А≥b:
Зависимость амплитуды и частоты от времени запаздывания при условии a ≤А≤b:
Проанализировав зависимость частоты и амплитуды от параметра τ при А≥b не трудно заметить, что при увеличении транспортного запаздывания увеличивается амплитуда автоколебаний и вследствие чего уменьшается их частота.
При условии a ≤А≤b периодический режим неустойчив рассматривать зависимость амплитуды и частоты от параметра τ не имеет смысла.
3. Цифровое моделирование системы и получение временной диаграммы ее переходного процесса на ЭВМ. Построение проекции фазовой траектории.
Моделирование осуществляем с помощью пакета программы MathLab 6.5.
рис.4 Моделирование в программе Simulink
После задания параметров всех элементов схемы строим фазовые портреты и переходные характеристики.
Фазовые траектории и переходные характеристики при τ>τгр :
τ=0.03
рис.5 фазовая траектория при τ=0.03
Фазовая траектория имеет один устойчивый предельный цикл, что соответствует устойчивому режиму автоколебаний
рис. 6 переходная характеристика при τ=0.03
Из графика рассчитаем значение А=2.6; w=2π/Т w=2·3.14/0.65=9.66
При переходной процесс имеет колебательный характер, при этом устанавливаются автоколебания
τ=0.3
рис.7 фазовая траектория при τ=0.3
Фазовая траектория имеет один устойчивый предельный цикл, что соответствует устойчивому режиму автоколебаний
рис. 8 переходная характеристика при τ=0.3
Из графика рассчитаем значение А=12; w=2π/Т w=2·3.14/1.8=3.48
При переходной процесс имеет колебательный характер, при этом устанавливаются автоколебания.
Сравним расчетные значения и значения полученные в результате моделирования:
|
τ |
А расчетнае |
А модел. |
w расчетнае |
w модел. |
|
0.003 |
2.637 |
2.6 |
10.182 |
9.66 |
|
0.3 |
11.768 |
12 |
3.525 |
3.48 |
Фазовая траектория при <
τ=0.00025
рис.9 фазовая траектория при τ=0.00025
Проекция фазовой траектории на фазовую плоскость Х1 имеет сходящийся характер, что говорит об отсутствии автоколебаний
рис. 10 переходная характеристика при τ=0.00025
При переходной процесс имеет колебательный затухающий характер.
4. Выводы по работе
В работе проведено исследование следящей системы отработки угловых перемещений с местной обратной связью по скорости двигателя. Определен диапазон варьирования параметра 0≤τ≤0.444 и рассчитано значение τгр=0.00115 (при τ = τгр колебания в системе находятся на грани своего возникновения и исчезновения).
Показано, что при значении 0.444>τ>τгр и условии А≥b в системе наблюдается устойчивый периодический режим с определённой амплитудой и частотой. При условии при a ≤А≤b периодический режим неустойчив.
Параметры автоколебаний были найдены вначале приближённым графоаналитическим методом, исходя из точек пересечения годографов WЛЧ(jw) и ZНЭ(A). В следующем пункте эти параметры были уточнены с помощью численного расчёта. Расхождение в числовых выражениях оказалось небольшим (см. таблицы 2,3 и 4).
При τ<τгр наблюдается сходящийся процесс, любое воздействие на систему приводит к затухающим колебаниям, т.е. автоколебания не возможны при любых начальных условиях.
При математическом моделировании системы на ЭВМ были получены переходные характеристики и фазовые траектории системы при разных значениях варьируемого параметра. Эти характеристики дают наглядное представление о качестве регулирования. При этом были также найдены приближенные значения амплитуды и частоты при τ=0.03 и τ=0.3.
Небольшие расхождения между искомыми значениями при использовании графоаналитического метода и цифрового моделирования это объясняется возникновением погрешности в расчетах (погрешность метода, погрешность ЭВМ) а также погрешность построения. При аналитическом расчете использовались итерационные методы решения, которые не гарантируют точного результата за конечное число операций (итераций), т.е. здесь особенно выражена погрешность метода, также есть и погрешность ЭВМ.
Изучив зависимость частоты и амплитуды от параметра τ при А≥b не трудно заметить, что при увеличении транспортного запаздывания (в данной работе мы рассматривали 0.444>τ>τгр) увеличивается амплитуда автоколебаний и вследствие чего уменьшается их частота.
Список литературы.
1. Методические указания к курсовой работе по дисциплине «Теория автоматического управления» – Савин М.М., Пятина О.Н., Елсуков В.С. - НГТУ Новочеркасск 1994 г.
2. Теория автоматического управления: Учеб. для ВУЗов: в 2 ч. /Под ред.
А.В. Нетушила. М.:Высш.шк., 1983. Ч.2.432 с.
3. Теория автоматического управления» – Савин М.М., Елсуков В.С., Пятина О.Н.,. - Новочеркасск 2005 г.
Страницы: 1, 2
