— условия подобия детерминированно определенных геометрически подобных изотропных сложных систем могут быть распространены на анизотропные геометрически подобные сложные системы, заданные детерминированно, если выполняется дополнительное условие обеспечения одинаковой относительной анизотропии в сопоставляемых системах;
— условия подобия детерминированно определенных геометрически подобных анизотропных сложных систем с переменными или нелинейными параметрами могут быть распространены на геометрически неподобные сложные системы с детерминированно определенными параметрами, если выполняется дополнительное условие обеспечения такого нелинейного подобия пространства параметров, при котором существуют подобные изменения параметров процесса в сходственных точках этого пространства;
— условия подобия сложных геометрически неподобных анизотропных систем с детерминированно определенными нелинейными или переменными параметрами могут быть распространены, на системы с вероятностно (статистически) определенными параметрами, если выполняются дополнительные условия совпадения плотностей вероятностей сходственных параметров и пропорциональности их статистических моментов, степени масштабных коэффициентов при которых совпадают с порядками соответствующих моментов.
4. Моделирование.
Подобие физических процессов и систем широко используется в технике для исследования методом моделирования. В тех случаях когда математическое решение задачи затруднено, а то и попросту невозможно, вполне естественным является обращение к экспериментальному исследованию на моделях с последующим перерасчетом полученных результатов на натуру, которая явилась прототипом модели. При этом модель и натура должны находиться между собой в отношениях подобия.
Исследование на моделях позволяет ускорить или замедлить процессы, которые в натурных условиях развиваются со скоростью, затрудняющих вести наблюдение. При проведении эксперимента непосредственно на натуре почти всегда приходится отказываться от активного поиска оптимальных конструктивных решений, ибо это связано со значительными денежными затратами, а не редко и просто не возможно.
Теория моделирования базируется на принципах, вытекающих из теории подобия. Эти принципы заключаются в соблюдении условий, которые определяют соотношения между параметрами модели и натуры, а так же правила пересчета исследуемых величин с модели на натуру и обратно. Однако, известно, что ни одна модель не может с абсолютной полнотой воспроизвести изучаемый оригинал – для этого должно быть полное их тождество. Поэтому при моделировании стараются соблюсти в модели по крайней мере те характеристики натуры, которые являются наиболее существенными в общей картине физического процесса, обеспечивая заданную точность результатов (например при расчете стержневых конструкций пренебрегают собственным весом, а при проектировании плотины насыпи рассматривают как распределенную нагрузку).
5. Методы подобия в механике.
Движение математического маятника
В качестве первого примера мы рассмотрим классический пример о движении математического маятника.
Математический маятник (рис. 1) представляет собой тяжелую материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити, которая закреплена другим своим концом неподвижно. Совокупность возможных движений мы ограничим условием, что движения маятника плоские.
Рис. 1. Математический маятник.
Введем обозначения: l — длина маятника, φ — угол между нитью и вертикалью, t — время, m — масса груза и N — натяжение нити. Если пренебречь силами сопротивления, то задача о движении маятника приводится к решению уравнений
, (1)
(2)
с начальным условием
при t=0 φ=φ0 и ,
т. е. за начальный момент времени принят тот момент, когда маятник отклонен на угол φ0, а скорость равна нулю.
Из уравнений (1), (2) и начального условия очевидно, что в качестве определяющих параметров можно взять следующую систему:
t, l, g, m, φ0.
Числовые значения всех остальных величин определяются полностью значениями этих параметров. Следовательно, мы можем написать
φ = φ (t, φ0, l, g, m), N=mgf(t, φ0, l, g, m) (3)
где φ и f – безразмерные величины.
Числовые значения функций φ и f не должны зависеть от системы единиц измерения. Вид этих функций можно определить либо решая уравнения (1) и (2), либо экспериментальным способом.
Из общих соображений, изложенных выше, вытекает, что пять аргументов функций φ и f можно свести только к двум аргументам, которые представляют собой безразмерные комбинации, составленные из t, l, g, m и φ0, так как имеются три независимые единицы измерения.
Из величин t, l, g, m и φ0 можно составить две независимые безразмерные комбинации
φ0 и (4)
Все другие безразмерные комбинации, составленные из t, l, g, m и φ0 или вообще из любых величин, определяемых этими параметрами, будут функциями комбинаций (4). Следовательно, можно написать
, (5')
. (5")
Формулы (5), полученные с помощью метода размерности, показывают, что закон движения не зависит от массы груза, а натяжение нити прямо пропорционально массе груза. Эти выводы вытекают также непосредственно из уравнений (1) и (2). Величину можно рассматривать как время, выраженное в специальной системе единиц измерения, в которой длина маятника и ускорение силы тяжести приняты равными единице.
Обозначим через Г какой-нибудь характерный промежуток времени, например время движения маятника между крайним и вертикальным положениями или между двумя одинаковыми фазами, т. е. период колебания, и т. д. (существование периодического движения можно принять как гипотезу или как результат, известный из дополнительных данных). Имеем
функция f2 представляет собой безразмерную величину, а так как из l, g и m нельзя составить безразмерную комбинацию, то очевидно, что функция f2 не зависит от l, g и m. Следовательно,
(6)
Формула (6) устанавливает зависимость времени Г от длины маятника. Получить вид функции f2(φ0) с помощью теории размерности нельзя. Определение f2(φ0) необходимо произвести либо теоретически, на основании уравнения (1), либо экспериментально.
Формулу (6) можно получить непосредственно из соотношений (5'). В самом деле, для периода колебаний соотношение (5') дает
.
Решая это уравнение, получим формулу (6).
Если Г есть период колебания, то из соображений симметрии очевидно, что период Г не зависит от знака φ0, т. е.
f2(φ0)= f2(-φ0).
Следовательно, функция f2 является четной функцией аргумента φ0. Предполагая, что при малых φ0 функция f2(φ0) регулярна, можно написать
f2(φ0) = c1 + c2φ02 + с3φ04 +… (7)
Для малых колебаний члены со степенями φ02 и выше можно отбросить, и для периода Г мы получаем формулу
. (8)
Решение уравнения (1) показывает, что с1 = 2π. Таким образом, мы видим, что для малых колебаний маятника с помощью теории размерности можно получить формулу периода колебания маятника с точностью до постоянного множителя.
Формулы (5) и (6) сохранят свою справедливость и в том случае, если вместо уравнения (1) мы возьмем уравнение
,
где f(φ) есть любая функция угла φ. Вообще справедливость формул (5) и (6) вытекает из единственного условия, которое состоит в том, что состояние движения определяется параметрами
t, l, g, m, φ0.
Для установления этой системы параметров нам послужили уравнения движения, но ее можно указать и не прибегая к уравнениям движения. В самом деле, для характеристики маятника надо указать l и m. Далее необходимо указать g, так как сущность явления определяется силой тяжести. Наконец, необходимо указать φ0 и t, так как конкретное движение и состояние движения определяются углом крайнего отклонения φ0 и рассматриваемым моментом времени t.
Истечение тяжелой жидкости через водослив
Рассмотрим задачу о струйном движении тяжелой жидкости через водослив (рис. 2), который представляет собой вертикальную стенку с треугольным отверстием, расположенным симметрично относительно вертикали, причем угол отверстия α равен 90º. Жидкость вытекает под напором h, который равен высоте уровня жидкости над вершиной треугольника на далеких расстояниях от отверстия водослива. Для простоты мы примем, что сосуд, в котором находится жидкость, очень велик, и поэтому движение жидкости можно считать установившимся. При струйном движении жидкости основное значение имеют свойства инерции и весомости, которые характеризуются значениями плотности ρ и ускорения силы тяжести g.
Рис. 2. Перетекание тяжелой жидкости через водослив.
Установившееся течение жидкости через рассматриваемый водослив полностью определяется следующими параметрами:
ρ, g, h.
Вес жидкости Q, вытекающий через отверстие водослива в единицу времени, может быть функцией только этих параметров
Q = f(ρ, g, h).
С помощью теории размерности нетрудно найти вид этой функции. В самом деле, размерность Q равняется кгс/с. Комбинация также имеет размерность кгс/с. Поэтому отношение
является безразмерной величиной. Это отношение является функцией величин ρ, g, h, из которых нельзя образовать безразмерной комбинации, поэтому можно написать
или
, (9)
где С есть абсолютная постоянная, которую проще всего определить из опыта. Полученная формула полностью определяет зависимость количества протекающей жидкости от напора h и от плотности ρ.
Совокупность рассматриваемых движений можно расширить, допуская водосливы с различными углами α. В этом случае система определяющих параметров дополняется углом α, и формула (9) примет вид
, (10)
т. е. коэффициент С будет зависеть от угла α.
Если водослив имеет прямоугольную форму шириной b, то система определяющих параметров будет
ρ, g, h, b.
Все безразмерные величины определяются параметром h/b. Формула (9) в этом случае заменится следующей:
. (11)
Функцию f(h/b) можно определить опытным путем, наблюдая течение через водослив различной ширины b, но с постоянным h. Определив таким способом функцию f(h/b), формулу (11) можно применять к случаям постоянной ширины b=const, но с различным напором h, т. е. к случаям, в которых опыт не производился.
Этот пример показывает, что соображения, полученные с помощью метода размерности, могут приносить большую пользу при постановке опытов, позволяя ограничивать их количество и получать благодаря этому экономию не только в средствах, но и во времени. Изменение одних величин можно заменять в опытах изменением других величин. На основе опытов, произведенных с водой, можно дать исчерпывающие ответы о явлении вытекания нефти, ртути и т. д.
6. Заключение.
Три теоремы подобия составляют главную основу теории подобия.
Вот краткое содержание изложенной теории подобия:
1)Подобные явления протекают в геометрически подобных системах и описываются буквально одинаковыми уравнениями связи.
Эти уравнения должны быть безусловно или условно однородными.
2)Условно однородными физические уравнения делаются присоединением к ним «обусловливающих равенств», которые устанавливают равенство единице индикаторов подобия, получающихся из уравнений, или, что то же, одинаковость для подобных явлений критерием подобия.
3)Однородные уравнения могут быть представлены как функции степенных комплексов (критериев) и симплексов.
Такие «критериальные» уравнения численно одинаковы для всей группы подобных явлений.
4)Подобны те явления, уравнение связи которых буквенно одинаковы и условия однозначности которых подобны, т. е. у которых одноименные моноваленты (величины, входящие в условия однозначности) находятся в численно постоянном отношении, а одноименные моновалентные (определяющие) критерии одинаковы.
Теория подобия дает, следовательно, общие методические указания, как поступать в каждом отдельном случае при анализе уравнений, описывающих явление, при постановке и обработке данных опыта над ним и при распространении результатов опыта на другие явления. Если же дана натура и исследовать ее хотят на модели, то теория подобия содержит методические указания по расчету и построению модели, подобной натуре.
Основные методические указание о применении теории подобия к опыту, будь то физическое экспериментирование или техническое моделирование, состоит в следующем.
При исследовании явления надо установить для него уравнения связи, дающие взаимную связь физических величин, участвующих в явлении.
Эти уравнения должны быть формулированы для того частного случая, который является объектом исследования. Присоединение к ним условий однозначности делает исследование определенным и позволяет применить теорию подобия.
Поэтому во всех случаях, когда уравнения связи могут быть найдены, метод анализу уравнений есть единственно правильный путь применения теории подобия и только тогда, когда установить математическую зависимость между величинами, характеризующими явление, не удается, надлежит обратиться к методу анализа размерности. Этот путь менее надежен и поэтому результат его необходимо проверять на опыте. Им не следует пренебрегать, так как во многих случаях анализ размерности дает при обработке опытов ценные выводы.
В настоящее время теория подобия имеет следующие направления.
Первым по времени направлением является приложение теории подобия к изучению разнообразных технических сооружений и моделей.
Моделирование стало мощным средством для обнаружения различных недостатков, имеющихся в следующих технических устройствах, и для изыскания путей к их устранению.
Далее моделирование уже стало широко применяться для проверки вновь конструируемых объектов, так что до их выполнения, в процессе проектирования, моделирование позволяет совершенствовать новые, еще не опробованные на практике конструкции.
Теория подобия нашла также применение при обобщении рабочих показателей целых групп однотипных машин и устройств, так что на основании обработки данных многочисленных испытаний оказывается возможным создавать новые, основанные на критериях подобия, способы расчета различных технических объектов, которые приводят к установлению рациональных, связанных с экономией энергии режимов.
Теория подобия стала научной основой обобщения данных физико-технических испытаний, своего рода теорией эксперимента, указывающей во всех тех случаях, когда решение дифференциальных уравнений физики наталкивается на трудности, путь к такой постановке опытов, что их результаты могут быть распространены на всю область изучаемых явлений.
В последнее время теория подобия не только использует уравнения физики для обобщения опытных данных, но и , обратно, при выводе дифференциальных уравнений она дает указания, с одной стороны, о введении в уравнения критериев подобия и безразмерных переменных и, с другой стороны, об использовании обобщения методами теории подобия опытных данных, являющихся исходными для составления уравнений. В качестве примера этого нового направления теории подобия можно привести установлении для турбулентного потока автомодельности отдельно для пограничного слоя и отдельно для турбулентного ядра, что позволяет получить более простую и точную формулу гидравлического сопротивления труб. Таким образом, теория подобия на наших глазах становится неотъемлемой частью теоретической физики.
7. Список использованной литературы.
1. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. — 10-е изд., доп. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987 г. — 432 с.
2. Веников В. А., Веников Г. В. Теория подобия и моделирования (применительно к задачам электроэнергетики): Учебник для вузов по спец. «Кибернетика электр. систем». — 3-е изд., переработанное и доп. — М.: Высшая школа, 1984. — 439 с., ил.
3. Кирпичев М. В. Теория подобия. — Изд. АН СССР, 1953, 94с.
4. Веников В. А. Теория подобия и моделирования. — М.: Высшая школа, 1976. — 479 с.
5. Экспериментальные методы исследования деформаций и напряжений: справочное пособие. Под ред. Б. С. Касаткина. — К., Наукова думка, 1981 г.
