Взаимодействия двух радикально пульсирующих пузырьков газа в жидкости
МИНЕСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ТАТАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Математический факультет
Кафедра вычислительной математики, информатики и методики ее преподавания
КУРСОВАЯ РАБОТА
взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости
Выполнил студент 146 группы: Вафин А.А.
Научный руководитель: д. ф. – м. н. Аганин А. А.
Казань – 2007
Содержание
Введение
1. Постановка задачи в рамках уравнений динамики жидкости
2. Математическая модель взаимодействия пузырьков
3. Методика решения
4. Исследование взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости
5. Заключение
6. Литература
7. Приложение. (Программа расчета).
Введение
К настоящему времени довольно хорошо изучена динамика отдельного пузырька газа в жидкости. Полученные в этом отношении результаты имеют важное теоретическое и прикладное значение. Вместе с тем, в реальных жидкостях, как правило, присутствует не один, а множество пузырьков, так что свойства жидкостей существенно зависят от особенностей взаимодействия между пузырьками. В силу большей сложности этот вопрос является менее изученным, хотя он и имеет важное прикладное значение.
В данной курсовой работе исследуется взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости ранние выведенной математической модели. В принципе, такое взаимодействие можно изучать и на основе широко известных уравнений Навье-Стокса методом прямого численного моделирования. Однако такой подход пока не используется в силу больших потребностей компьютерного времени даже на современных компьютерах с высоким быстродействием. В модели, использующейся в курсовой работе, жидкость считается невязкой несжимаемой, пузырьки – осесимметричными. Пузырьки расположены сносно. Их общая ось симметрии направлена вертикально вдоль действия силы тяжести. Пузырьки совершают нелинейные радиальные колебания, а скорости их вертикального пространственного перемещения считаются малыми. Используются три системы отсчета, одна неподвижная и две подвижные. В качестве неподвижной системы приняты декартовые координаты, а в качестве подвижных систем – сферические координаты. Начало отсчета радиальных координат в подвижных сферических системах отсчета связано с центрами пузырьков. Поверхности каждого из пузырьков представляются в виде ряда по поверхностным сферическим гармоникам нулевой, второй, третьей, четвертой и т.д. степеней. При этом сферическая гармоника нулевой степени описывает радиальную составляющую поверхности пузырька, а гармоники второй, третьей и т.д. степеней – отклонения от сферической формы в виде соответствующей гармоники (второй степени – эллипсоидальные отклонения, третьей – грушеобразные и т.д.).
Созданная математическая модель представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно радиусов пузырьков, пространственного положения их центров и амплитуды отклонений от сферической формы пузырьков в виде сферических поверхностных гармоник. При выводе этих уравнений используются частные решения уравнения Лапласа в сферической системе координат и интеграл Коши-Лагранжа.
Постановка задачи в рамках уравнений динамики жидкости
Рассматривается динамика двух газовых пузырьков в неограниченном объеме невязкой несжимаемой жидкости. Динамика жидкости описывается уравнениями
, . (1)
Здесь – время эйлеровых (неподвижных) систем координат , , (нижний индекс означает частную производную), – вектор скорости, – плотность жидкости, – давление, , , , –направляющие векторы пространственных координат. Здесь и далее, если не оговорено противное, по повторяющимся индексам предполагается суммирование (здесь от 1 до 3).
Пузырьки расположены вдоль вертикальной оси неподвижной декартовой системы координат (рис.1).
На поверхности каждого пузырька выполняются следующие условия:
кинематическое
, (2)
и динамическое
. (3)
Здесь – скорость точки поверхности пузырька, – нормаль к поверхности пузырька, верхние знаки указывают на отношение к внешней (+) и внутренней (–) сторонам поверхности.
Газ в пузырьках принимается гомобарическим (с однородным распределением давления) с давлением, изменяющимся по закону (Ван-дер-Ваальса)
, (4)
где – начальное давление газа в пузырьке, – текущий и начальный объемы пузырька, – постоянная, – показатель адиабаты.
На бесконечном удалении от пузырьков давление жидкости совершает гармонические колебания
, (5)
где – статическое давление в жидкости, , – амплитуда и частота колебаний.
Рассматриваются случай, когда форма пузырьков в интересующем промежутке времени остается относительно близкой к сферической.
Математическая модель взаимодействия пузырьков
В пятом приближении относительно уравнения динамики двух газовых пузырьков в вязкой сжимаемой жидкости представляют собой систему, состоящую из четырех дифференциальных уравнений относительно радиусов пузырьков , координат их центров
;
;
;
;
Методика решения
Имея четыре уравнения второго порядка относительно радиуса и положения центра пузырьков. Вводим замену, чтобы избавится от второго порядка, и запишем уравнения 1 ого порядка:
Получаем систему 8-и уравнений 1-го порядка относительно радиуса, положения центра пузырьков, скорость изменения радиусов и положения центра пузырьков.
;
()/;
/;
/;
/;
/;
/;
;
()/;
()/;
()/;
/;
/;
()/;
;
/;
0;
()/;
()/;
/;
()/;
;
/;
0;
()/;
()/;
/;
()/;
Отсюда получаем данные уравнения в следующем виде:
Решим уравнение методом последовательных приближений.
В нулевом приближении данные уравнения записываются относительно радиуса и положения центра пузырьков.
Подставляя выражения, находим уравнения нулевого приближения:
В первом приближении уравнения записываются относительно радиуса, положения центра пузырьков, скорость изменения радиусов и положения центра пузырьков. Полученное первое приближение добавляем к нулевому приближению. И так находим до пятого приближения.
Исходя из этого, можем записать следующую систему:
Полученные дифференциальные уравнения решаются методом Дортсмана–Принса восьмой степени точности. (Программа приведена ниже).
Исследование взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости
Для учета влияния вязкости и сжимаемости жидкости проводим следующую модификацию математической модели. (По аналогии с работой Дойникова[?]).
1. С учетом сжимаемости жидкости получим следующие уравнения:
;
;
Решение для нулевого приближения для одного пузырька
;
Вводим замены:
; ; ;;
= =;
- начальное давление газа в пузырьке;
; -давление газа в пузырьке.
А - константа Ван-дер-Ваальса;
- коэффициент поверхностного натяжения;
- давление газа в пузырьке;
- статическое давление в жидкости;
- Начальный радиус пузырька;
R - Радиус пузырька;
- Центр пузырька;
u - Вектор скорости жидкости;
-давление в жидкости на большом удалении от пузырька, где
- амплитуда и частота колебаний давления. Рассматривается лишь один период колебаний ().
- Плотность жидкости;
- Скорость звука в жидкости;
- Кинематический коэффициент вязкости
- расстояние между пузырьками.
;
;
Обозначим слагаемые и сомножители через: , ,,,:
; ; ;
; ;
;
;
Добавляем второе уравнение: =0 =>
;
;
Добавляем уравнение второго пузырька
;
; ; ; = =;
;
;
; ; ;
; ;
;
;
Добавляем второе уравнение: =0 =>
;
;
Решение для первого приближения одного пузырька
;
;
;
;
();
;
Добавляем уравнение второго пузырька
;
;
;
;
;
Решение для второго приближения одного пузырька
;
/
;
;
();
;
;
Добавляем уравнение второго пузырька
;
;
;
;
;
;
Решение для третьего приближения одного пузырька
;
)/
;
;
;
;
;
;
;
Добавляем уравнение второго пузырька
;
;
;
;
;
;
;
;
Решение для четвертого приближения одного пузырька
;
)/
;
;
;
;
;
;
;
;
;
Добавляем уравнение второго пузырька
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
Решение для пятого приближения одного пузырька
;
)/
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
Добавляем уравнение второго пузырька
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
2. Для исследования добавляем вязкость и решаем уравнение:
;
;
где , (j = 1, i = 2);
- Кинематический коэффициент вязкости;
,
, , ,
Вводим замену, чтобы избавится от второго порядка, и запишем уравнения 1 ого порядка:
Для первого уравнения:
;
=;
;
;
;
0;
;
;
;
;
Для второго уравнения:
;
=;
;
;
;
0;
;
;
;
;
|
Рис.1. Изменение радиуса пузырька и положения его центра во времени. |
