Разработка программно-методического комплекса для анализа линейных эквивалентных схем в частотной об...
1. Обзор методов
Цель метода:
1. Составляем (или уже имеем) эквив. схему.
Эквив. схема отображает: способ связи элементов друг с другом, физическая сущность отдельных элементов, граф же только - способ связи.
Введем правила построения эквив. схем:
1) Эквив. схема, как и граф, состоит из множества ветвей и узлов.
2) Каждая ветвь относится к одному из 5-ти возможных типов:
а. б. в. г. д. е. ж. з.
II IU UU
3) Каждой ветви соответствует компонентное уравнение:
а.
dU
I=C*
dt
I, U - фазовые переменные типа потока и разности потенциалов (напряжения) в рассматриваемой ветви, С - емкость.
б.
dI
U=L*
dt
L - индуктивность
в.
U=R*I
R - сопротивление
г.
U=f1(V,t)
U - вектор фазовых переменных,
t - время, в частном случае возможное U=const
д.
I=f2(V,t)
U - вектор фазовых переменых,
I - м.б. I=const
Зависимая ветвь - ветвь, параметр которой зависит от фазовых переменных.
4) Каждому узлу схемы соответствует определенное значение фазовой переменной типа потенциала, каждой ветви - значения переменных I и U, фигурирующих в компонентных уравнениях. Соединение ветвей друг с другом (т.е. образование узлов) должно отражать взаимодействие элементов в системе. Выполнение этого условия обеспечивает справедливость топологических уравнений для узлов и контуров.
В качестве фазовых переменных нужно выбирать такие величины, с помощью которых можно описывать состояния физических систем в виде топологических и компонентных уравнений.
В ЭВМ эта схема представляется в табличном виде на внутреннем языке.
Граф электрич. схем характеризуется некоторыми так называемыми топологическими мат-рицами, элементами которых являются (1, 0, -1). С помощью них можно написать независимую систему уравнений относительно токов и напряжений ветвей на основании законов Кирхгофа. Соединения ветвей с узлами описываются матрицей инциденции А . Число ее строк равно числу узлов L, а число столбцов - числу ветвей b. Каждый элемент матрицы a(i, j):
ì -1 - i-я ветвь входит в j-й узел,
a(i, j) = í 1 - i-я ветвь выходит из j-го узла,
î 0 - не соединена с j-м узлом.
Легко видеть, что одна строка матрицы линейно зависит от всех остальных, ее обычно исключают из матрицы, и вновь полученную матрицу называют матрицей узлов А. Закон Кирхгофа для токов с помощью этой матрицы можно записать в виде:
А * i = 0, где i - вектор, состоящий из токов ветвей.
Для описания графа схемы используют еще матрицы главных сечений и главных контуров. Сечением называется любое минимальное множество ветвей, при удалении которых граф распадается на 2 отдельных подграфа. Главным называется сечение, одна из ветвей которого есть ребро, а остальные - хорды. Главным контуром называется контур, образуемый при подключении хорды к дереву графа. Число главных сечений равно числу ребер, т.е. L-1, а число главных контуров - числу хорд m=(b-(L-1)). Матрицей главных сечений П называется матрица размерностью (L-1) * b, строки которой соответствуют главным сечениям, а столбцы - ветвям графа. Элементы матрицы a(i, j)=1, если j-я ветвь входит в i-е сечение в соответствии с направлением ориентации для сечения; a(i, j)=-1, если входит, но против ориентации, и a(i, j)=0, если не входит в сечение.
Закон Кирхгофа для токов можно выразить с помощью матрицы главных сечений.
Пi = 0
Матрицей главных контуров Г называется матрица размерностью (b-(L-1))*b, строки которой соответствуют главным контурам, а столбцы - ветвям графа. Элемент этой матрицы a(i, j)=1, если j-я ветвь входит в i-й контур в соответствии с направлением обхода по контуру, -1, если ветвь входит в контур против направления обхода, и 0, если ветвь не входит в контур.
Закон Кирхгофа для напряженй выражается с помощью матрицы главных контуров в виде:
Пи = 0
Располагая в матрицах П и Г сначала столбцы, соответствующие ветвям-ребрам, а затем столбцы, соответствующие ветвям- хордам, можно записать:
П = [E, Пх] Г = [Гр, Е]
где Пх содержит столбцы, соответствующие хордам; матрица Гр - столбцы, соответствующие ребрам, а Е - единичные матрицы [размерность матрицы Е, входящей в П, (L-1)*(L-1), а входящей в Г, (b-(L-1))*(b-(L-1))].
Матрицы Гр и Пх связаны следующим соотношением:
Гр=-Пxт , где т - знак транспонирования матрицы, или, обозначая Гр=F, получаем Пх=-Fт.
Если для расчета электрической схемы за искомые переменные принять токи i и напряжения u ветвей, то уравнения:
Ai = 0 или Пi = 0
Гu = 0 Гu = 0
совместно с компонентами уравнений:
Fj(I,U,dI/dt,dU/dt,x,dX/dt,t)=0
составят полную систему уравнений относительно 2b переменных.
То есть полная система в общем случае представляет собой набор обыкновенных линейных дифференциальных уравнений.(в случае линейных схем)
Число переменных и уравнений можно уменьшить следующим образом. Токи ребер Ip и напряжения хорд Ux можно выразить через токи хорд Ix и напряжения ребер Up:
Ip= F * Ix Ux = -Fu
Если подставить эти уравнения в уравнение:
Fj(I,U,dI/dt,dU/dt,x,dX/dt,t)=0
то число уравнений и переменных можно уменьшить до числа ветвей b.
Обозначения: L - число вершин (узлов),
b - число ветвей,
p - число ребер,
m - число хорд.
Для связного графа справедливы следующие отношения:
p = L - 1 m = b - (L-1)
хорда - ребро, не вошедшее в дерево.
Оценим эффективность использования вышеописанных матриц описания схем с точки зрения размерности, для ЭВМ это проблема экономии памяти.
Пусть имеем: число вершин (узлов) L = 500,
число ветвей b = 1000.
Оценим размеры матриц:
Инцидентности:
L * b = 500 * 1000 = 500000
Главных сечений:
(L-1) * b = p * b = 499 * 1000 = 499000
Главных контуров:
(b-(L-1)) * b = (b-p) * b = (1000-(500-1)) * 1000 = (1000-499) * 1000= 501000
Из вышеприведенных нехитрых вычислений следует, что для описания схемы выгоднее использовать матрицу главных сечений.
2 - Эквив.схема преобразуется в программу решения линейных дифференциальных уравнений.
Для решения таких систем необходимо организовать иттерационный процесс, решая на каждом шаге иттераций систему линейных уравнений.
Схема организации вычислит. процесса:
Ввод исходной информации
Трансляция исходной информации.
Заполнение массивов в соответствии с
внутр. формой представления данных
Построение матем. модели схемы
Решение системы линейных уравнений
Обработка и выдача результатов
Задачи:
1. Получить АЧХ, ФЧХ (АФЧХ) решением системы дифф. уравнений
2. Построить характеристики по АЧХ и ФЧХ
Построение модели эквивалентной схемы.
Модель схемы может быть построена в одном из 4-х координатных базисов:
1. ОКБ - однородный координатный базис
2. РОКБ - расширенный однородный координатный базис
3. СГКБ - сокращенный гибридный координатный базис
4. ПГКБ - полный гибридный координатный базис
1) Модель представляет собой систему алгебро-интегро-дифференциальных уравнений. Неизвестные величины - напряжения U в узлах.
2) Система обыкновенных дифф. уравнений первого порядка, в неявной форме.
Неизвестные величины:
Uс
Il
3) Модель - система обыкновенных дифф. уравнений в форме Коши (в явной форме). Неизвестные величины:
