(1.1.17)
Для узла и электрической цепи рис. 1.6 этот закон даёт выражение:
,
Рис.1.6
Первый закон описывает тот факт, что заряды одного знака не могут накапливаться в узле.
Второй закон Кирхгофа
Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи. Он формулируется следующим образом: алгебраическая сумма падения напряжения на всех сопротивлениях замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, входящих (включённых) в этот контур.
, (1.1.18)
Где n-число резисторов в контуре,
m- число источников ЭДС в контуре.
При записи этого выражения (1.18) задаются произвольно направления обхода и все слагаемые Vk, Ek cовпадающие с направлением обхода берутся со знаком плюс, а не совпадающие – со знаком минус.
Для контура рис 1.7 это выражение будет иметь вид:
Рис. 1.7
Второй закон Кирхгофа описывает тот факт, что при обходе контура и возвращении в конечную точку, потенциал этой точки не мажет измениться, так - как иначе не соблюдался бы закон сохранения энергии.
11 Эквивалентные преобразования пассивных участков электрической цепи
В зависимости от назначении электрической цепи, её элементы могут соединяться между собой последовательно, параллельно, последовательно – параллельно (по смешанной схеме), треугольником или звездой.
Последовательным называют соединение при котором ток в каждом элементе один и тот же. При таком соединении “n” резисторов (рис. 1.8а) могут быть заменены одним резистором (рис. 1.8б) с эквивалентным сопротивлением Rэ, при котором ток I в обоих схемах будет одинаков (при равенстве напряжения U на входах схем).
а) б)
рис. 1.8
Для схемы рис. 1.8а)
,
а для схемы рис. 1.8б)
Таким образом (из равенства напряжений на входах) получаем, что:
(1.1.19)
Эквивалентное сопротивление последовательного соединения резисторов равно сумме сопротивлений этих резисторов.
Параллельным называют соединение при котором все участки цепи присоединяются к одной паре узлов, т.е. находятся под воздействием одного и того же напряжения. При таком соединении рис. 1.9а) “n” параллельных резисторов можно заменить одним эквивалентным рис. 1.9б) сопротивление RЭ которое обеспечивает равенство токов I.
В неразветвлённых участках цепи:
Рис.1.9.
Для схемы рис.1.9(а) по первому закону Кирхгофа можно записать:
Так как для каждой ветви по закону Ома
,то :
, или
(1.1.20)
Поскольку
; ; ,…,
То окончательно получаем:
(1.1.21)
Эквивалентная проводимость параллельно соединённых резистивных элементов равна сумме проводимостей этих элементов.
Из (1.20) следует, что при параллельном соединении двух резисторов их общее (эквивалентное) сопротивление равно:
(1.1.22)
Токи I1 и I2 двух параллельных ветвей выражаются через ток I в неразветвлённом участке цепи рис.1.10 формулами:
Рис.1.10
(1.1.23)
Сопротивления (1.1.23) называют формулами и разброса токов. Они могут быть получены также из системы уравнений:
(1.1.24)
Смешанное (последовательно-параллельное) соединение резистивных элементов приведено на рис.1.11
Рис.1.11
Из рис. 1.11 следует, что величина электрического сопротивления ,при котором ток в обоих схемах одинаков, равна :
(1.1.25)
Соединение треугольником и звездой .
В некоторых электрических цепях встречаются соединения элементов, которые нельзя отнести ни к одному из выше рассмотренных. Пример такой цепи приведён на рис.1.22(а):
а) б)
рис.1.12
Резисторы Rab, Rbc и Rcd на рис.1.12(а) соединены треугольником, а на рис. 1.22 (б) резисторы Ra, Rb, Rc - соединены звездой. Схема рис.1.12(б) проще для расчёта,чем схема рис.1.12(а),поэтому следует получить выражение Ra, Rb, Rc через Rab, Rbc, Rca и наоборот.
При эквивалентной замене обоих схем, токи Ia, Iab, Icd равны и, следовательно, равны напряжения Uab, Ubc, Ucd.
Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для треугольника abc рис.1.12(а):
(1.1.26)
Для узлов a и b в треугольнике по первому закону Кирхгофа:
, (1.1.27)
Подставив (1.27) в (1.26),получим:
(1.1.28)
Для звезды рис.1.12 (б):
(1.1.29)
Из сравнения (1.28) с (1.29) следует, что:
; (1.1.30)
По аналогии можно получить, что:
(1.1.31)
Формулы (1.30) И (1.31) позволяют преобразовать треугольник сопротивлений в эквивалентную звезду сопротивлений.
Формулы обратного перехода звезды сопротивлений в треугольник сопротивлений можно получить заменив в формулах (1.30) и (1.31) все сопротивления проводимостями. При этом получим:
; ; (1.1.32)
Переходя к сопротивлениям, получим:
; ; ; (1.1.33)
12 Расчёт электрической цепи постоянного тока с одним источником ЭДС
Метод эквивалентных преобразований (МЭП).
Рассмотрим электрическую цепь рис.1.13(а).
Электрические сопротивления всех резисторов и ЭДС источника. Требуется определить токи во всех ветвях. Такие задачи решаются методом эквивалентных преобразований:
Рис.1.13
На первом этапе в этом методе исходную схему рис.1.13(а) сворачивают к эквивалентной рис.1.13(б), заменяя параллельно соединённые ветви одной эквивалентной ветвью:
, где
Из сравнения схем рис.1.13(б) и рис.1.13(в) следует, что:
, где
На втором этапе определяются токи в ветвях переходом от схемы (в) к схеме (б) и далее к исходной схеме (а).
Из рис.1.13(в) следует, что:
Из схемы рис.1.13(б) следует, что:
Тогда ;
Из рис.1.13(а) :
; ; .
13. Анализ сложных электрических цепей с несколькими источниками ЭДС
Метод непосредственного применения законов Кирхгофа(ПЗК)
Законы Кирхгофа наиболее общие универсальные законы, описывающие решение электрической цепи. Эти законы применимы к расчёту решения электрической цепи любой сложности.
Пусть, к примеру, задана электрическая цепь рис.1.14, в которой 5 ветвей (N b=5),4 узла ( Ny=4).
Рис 1.14
Число уравнений, которое потребуется составить, по закону Кирхгофа равно числу неизвестных токов, т.е. необходимо составить 6 уравнений.
Последовательность решения задачи:
- Производится разметка схемы, т.е. обозначаются узлы буквами (или цифрами) и указываются (стрелками и буквами) положительное направление токов в ветвях;
- По первому закону Кирхгофа составляется Ny-1- уравнение;
- По второму закону Кирхгофа составляется Nb-(Ny-1)- уравнение.
В результате получается система из Nb -уравнений относительно токов в ветвях, решив которую находят величину и действительное направление всех токов .Отрицательное значение тока в какой-либо ветви свидетельствует о том, что истинное его направление противоположно указанному на схеме.
Для схемы рис.1.14 система уравнений по законам Кирхгофа имеет вид:
Узел а: I1-I2-I3=0
Узел b: -I1+I2+I3=0
Узел c: I3-I5-I6=0 (1.1.34)
Контур R1,R2,E1,R02: I1(R1+R01)+I2R2=E1
Контур R2,R3,R5,R4: I3R3+I5R5+I4R4-I2R2=0
Контур R5,R6,R02,E2: -I5R5+I6(R6+R02)=-E2
При записи уравнений по второму закону Кирхгофа для определения знаков слагаемых используются заранее выбираемые направления обхода каждого контура(указываются дугами рис.1.14).
6. Знак, перед ЭДС или перед произведением, IR берётся положительный, если направление ЭДС Е или тока I совпадает с выбранным направлением обхода контура.
Метод контурных токов
Метод контурных токов позволяет сократить число совместно решаемых уравнений до числа независимых контуров в схеме электрической цепи
Nk= Nb- (Ny-1).В этом методе, уравнения по второму закону Кирхгофа составляются относительно контурных токов, равных по величине токам во внешних ветвях каждого контура.
Последовательность решения задачи:
- Производится разметка схемы;
- Задаются(дугами) положительные направления контурного тока в каждом из независимых контуров, обозначив эти токи буквами с двойными индексами I11,I22.
- Задаются направления обхода в каждом контуре и записывают систему уравнений по второму закону Кирхгофа, учитывая падение напряжения в смежных ветвях (входящих одновременно в два контура) от контурных токов соседних контуров;
Решают систему уравнений относительно контурных токов и определяют далее токи в ветвях, алгебраически суммируя контурные токи в каждой ветви.
Проиллюстрируем метод контурных токов (МКТ) для схемы рис. 1.15.
Рис.1.15
В схеме три независимых контура Nk = 3, для которых вводим контурные токи I11,I22,I33.
Система уравнений имеет вид :
(1.1.35)
Подставив заданные значения сопротивлений резисторов и ЭДС источников, и вычислив контурные токи, определяют токи в ветвях:
I1=I11; I2 = I22 - I11; I3=I33; I4=I22 ; I3 = I22 – I33; (1.1.36)
При записи уравнений, знаки ЭДС Е и при произведениях IR берутся положительными при совпадении направлений ЭДС и токов с направлением обхода контура.
Метод условных потенциалов (МУП)
Если в схеме много ветвей и контуров, но мало узлов, то целесообразно решить задачу методом узловых потенциалов, число уравнений в котором равно Ny – 1. Все уравнения в этом методе составляются только по первому закону Кирхгофа.
Рассмотрим частично случай этого метода, когда в электрической цепи только два потенциальных узла, либо когда схема может быть преобразована к эквивалентной цепи с двумя узлами.
Последовательность решения задачи:
Исходную схему преобразуют к эквивалентной с двумя узлами, применяя переход от соединения треугольником, например, к соединению резисторов эквивалентной звездой;
Исходную и эквивалентную (преобразованную) схемы размечают (буквами или цифрами – узлы и буквами – токи в ветвях);
Потенциал одного из двух узлов в преобразованной схеме принимают равный нулю и записывают уравнение по первому закону Кирхгофа для незаземлённого узла (второго узла);
