|
в) |
|
Равномерное распределение вероятностей Нr = Hmax Дифференцировка вероятностей при соблюдении условия i=N S pi = 1 i=1 Hmax > Hr > 0 Предельный случай дифференцировки вероятностей Нr = 0 |
|
Рис. 1 |
При подстановке этих значений в функцию энтропии :
Hr =
i = N
pi log pi
(3.11)
S
i = 1
получаем :
Hr=0 (3.12)
Подставляя (3.9) в (3.4), получаем :
D IS = Hmax (3.13)
|
|
Все стадии перехода от состояния максимальной энтропии, описываемого условиями (3.4), (3.5), (3.6), к состоянию жесткой детерминации, которому соответствуют условия ( 3.9 ) + (3.13) можно представить в виде дуги, соединяющей исходное состояние Н с конечным состоянием К (рис. 2).
|
На рис.3 изображена расширяющаяяся иерархическая спираль, которая может служить моделью формирования иерархических упорядоченных структур.
Пусть нижний уровень этой спирали (п = 0) соответствует начальному алфавиту, состоящему из N0 различных элементов (букв, атомов, нуклеотидов и др.).
|
|
|
|
рис. 3
Тогда на уровне N = 1 из этого алфавита можно составить N1 «слов». Если каждое слово состоит из K1 букв, то из N0 букв можно составить число слов, равное:
N1 = N0K1 (3.14)
Соответственно, на уровне п = 2 из N1 «слов» можно составить количество «фраз», равное:
N2=N1K2=N0K1K2 (3.15)
где Кг - число входящих в каждую «фразу» «слов»
Для упрощения математических выражений мы уже приняли одно допущение, сказав, что все слова содержат одинаковое количество букв (К1), а все фразы содержат одинаковое количество слов (К2). Очевидно, что в реальных системах (например, в письменных текстах ) эти условия не соблюдаются. Однако для выполнения общих свойств нашей информационно -энтропийной модели подобные упрощения вполне допустимы, поэтому мы введем еще одно допущение:
K1 = К2 = К (3.16)
Подставив (3.16) в (3.15), мы получим :
N2=N0K2 (3.17)
Проводя аналогичные операции для любой (п-ой) ступени при условии:
K1 = K2 = … = Кп = К,
получим:
Nn = N0K2 (3.18)
Рассмотрим пример, иллюстрирующий увеличение разнообразия (числа различимых элементов) с переходом на более высокие уровни изображенной на рис . 3.3 спирали в соответствии с формулами (3.14) + (3.18).
Если алфавит (уровень п = 0) содержит 30 букв (N0 = 30), а каждое «слово» искусственного текста состоит из 6 букв (К = 6), то общее число таких «слов» составит:
N1 = N0K1 = 306 = 729 ·106
Среди указанного количества «слов» большинство составят бессмысленные или даже непроизносимые «слова» (из 6-ти гласных, 6-ти согласных и т.п.).
Но если хотя бы 0,01% от общего числа буквенных комбинаций составят осмысленные слова, общий лексикон составит 72 900 слов.
Еще более прогрессивно возрастает число комбинаций с переходами на более высокие уровни n = 2, п = 3 и т.д.
Для определения возрастания информационной емкости по мере перехода на более высокие уровни изображенной на информационно-энтропийной спирали напомним , что максимальное количество структурной информации A/s' накапливается при переходе от Нr′ = Нmax к Нr′′ = 0, т.е. равно:
D IS = Нr′ – Нr′′ = Hmax
Величина максимальной энтропии для п - ой ступени определяется как:
Нпmax = log Nn = Кn log N0 (3.19)
Сопоставляя величину Нпгнх с величиной энтропии ступени n = О
H0max = log N0 (3.20)
убеждаемся, что в результате перехода с уровня n = 0 на уровень n , максимальная энтропия возросла в Кn раз :
Нпmax =Кn Н0max (3.21)
При переходе от исходного состояния Н в конечное состояние К энтропия уменьшается от Нr = Нmax до Нr = 0, а величина накапливаемой системой информации соответственно возрастает от I=0 до D IS = Нmax (см. рис 1).
При переходе с уровня n = О на уровень n в соответствии с увеличением энтропии в Кn раз увеличивается значение DISmax то есть возрастает потенциальная емкость:
(D ISmax)0 = Kn(D ISmax)0 (3.22)
В качестве примера подсчитаем с помощью формулы (3.22), как будут возрастать размеры витков спирали по мере увеличения номера ступени п .
Приняв условно диаметр витка при n = 0 за 1 см., получим размеры вышележащих витков, сведенные в таблицу 2.
Таблица 2
п
1
2
3
4
5
6
Диаметры витков в см.
1
6
36
216
1296
7776
Таблица 2 дает наглядное представление о степени прогрессивности роста информационной емкости по мере перехода на вышележащие витки. Нетрудно заметить, что при n = 3 , размеры витка (36 см.) близки к размерам раскрытой книжки, при n = 5 – к размерам довольно просторной залы (с диаметром 12,96 м ) , а при п = 6 – к размерам городской площади (с диаметром 77,76 м ).
Вследствие роста информационной емкости система, поднимаясь в процессе развития на все более высокие уровни иерархической спирали и постоянно стремясь к состоянию жесткой детерминации, оказывается тем дальше от этого состояния (в смысле потенциальной возможности накопления информации), чем больше витков в этой спирали ей удается пройти.
Как уже отмечалось, системы в своем развитии, как правило, не достигают состояния жесткой детерминации. Условием их динамичного равновесия оказывается сочетание частично детерминированных , а частично вариабельных (вероятностых) внутренних связей. Соотношение степени детерминации и вариабельности внутренних связей может быть выражено количественно как отношение величины остаточной энтропии Нr к количеству накопленной и сохраняемой структурной информации D IS:
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
